Dùng ánh xạ trong các bài toán Tổ hợp


Để đếm số phần tử của một tập hữu hạn A, ta tìm một tập hữu hạn B có cùng số phần tử như A nhưng dễ đếm hơn.

Nguyên lý ánh xạ. Cho AB là các tập hữu hạn khác rỗng và f:A\to B là một ánh xạ. Khi đó

a)Nếu f là đơn ánh thì |A|\leq |B|;

b)Nếu f là toàn ánh thì |A|\geq |B|;

c)Nếu f là song ánh thì |A|=|B|.

Continue reading “Dùng ánh xạ trong các bài toán Tổ hợp”

Kỳ thi Olimpic Toán Hà Nội mở rộng lần thứ 8 năm 2011


Nhằm giúp học sinh trung học phổ thông say mê học toán và làm quen, hội nhập khu vực quốc tế về mặt toán học, hàng năm Hội Toán học Hà Nội tổ chức kỳ thi Olympic Toán Hà Nội mở rộng (HOMO) giải toán bằng tiếng Anh, bắt đầu từ năm 2004 đến nay. Cuộc thi nhận được sự hưởng ứng tích cực của Hà Nội và các tỉnh, ngày càng phát triển.
Kỳ thi HOMO lần thứ 8 năm 2011 đã được tổ chức vào Chủ nhật 20/02/2011 tại Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội. 16 tỉnh, thành phố có học sinh đăng ký tham gia HOMO đã về dự đầy đủ. Các tỉnh dù xa xôi như Lào Cai, Hà Giang, Điện Biên… cũng không vắng mặt một em nào. Thí sinh tham dự kỳ thi năm nay có 194 em gồm 102 thí sinh lứa tuổi Junior (lớp 8 THCS) và 92 thí sinh tuổi Senior (lớp10 THPT). Thí sinh các tỉnh tham gia dự thi ở đội tuyển Senior là chủ yếu, mỗi đội tuyển 5 em. Các tỉnh có cả hai đội tuyển Junior và Senior gồm Vĩnh Phúc, Phú Thọ, Thái Bình, Hưng Yên và Hà Nội. Đông thí sinh nhất vẫn là Hà Nội (83 thí sinh Junior và 20 thí sinh Senior). Năm nay có hai tỉnh lần đầu tiên tham gia là Hưng Yên và Điện Biên.

Continue reading “Kỳ thi Olimpic Toán Hà Nội mở rộng lần thứ 8 năm 2011”

IMO 2010


Ngày thứ nhất

1. Tìm tất cả các hàm f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} thoả mãn f([x]y)=f(x) [f(y) ]\forall x,y\in\mathbb{R}. Ở đây [u] là phần nguyên của số thực u.

2. Cho tam giác ABC với I là tâm nội tiếp và \Gamma là đường tròn ngoại tiếp tam giác. AI cắt \Gamma tại điểm thứ hai D, E là một điểm trên cung BDCF nằm trên đoạn BC sao cho \widehat{BAF}=\widehat{CAE}<\dfrac{1}{2}\widehat{BAC}. Chứng minh giao điểm của EIDG nằm trên \Gamma. Ở đây G là trung điểm của IF.

3. Tìm tất cả các hàm g:\mathbb{N}\to\mathbb{N} sao cho (g(m)+n)(m+g(n)) là một số chính phương với mỗi m,n\in\mathbb{N}.

Ngày thứ hai

 

4. Giả sử P là điểm nằm trong tam giác ABC. Các đường thẳng AP,BP,CP cắt lại đường tròn ngoại tiếp tam giác tại K,L,M tương ứng. Tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại C cắt đường thẳng AB tại S. Chứng minh rằng nếu SC=SP thì MK=ML.

5. Mỗi hộp trong sáu hộp B_i ban đầu chứa một đồng xu. Cho phép tiến hành hai loại phép toán sau đây

Loại 1: Chọn một hộp khác rỗng B_j(1\leq j\leq 5), lấy một đồng xu ra khỏi B_j và bỏ thêm hai đồng xu vào hộp B_{j+1}.

Loại 2: Chọn một hộp khác rỗng B_k(1\leq k\leq 4), lấy một đồng xu ra khỏi B_k và tráo đổi số đồng xu trong các hộp B_{k+1},B_{k+2}.

Có hay không một dãy hữu hạn các phép toán trên sao cho khi thực hiện liên tiếp các phép toán này ta được kết quả là B_1,B_2,B_3,B_4,B_5 đều rỗng nhưng B_6 chứa đúng 2010^{2010^{2010}} đồng xu?

6. Giả sử (a_n) là một dãy các số thực dương. Biết rằng với số nguyên dương s cố định nào đó ta có a_n=\max\{a_k+a_{n-k}|1\leq k\leq n-1\}\forall n>s. Chứng minh rằng có các số nguyên dương l,N sao cho l\leq sa_n=a_l+a_{n-l}\forall n\geq N.

Kết quả


China National Olympiad 2010


1. Các đường tròn \Gamma_1\Gamma_2 cắt nhau tại hai điểm AB. Một đường thẳng qua B cắt \Gamma_1\Gamma_2 tại các điểm C and D tương ứng. Đường thẳng qua B khác cắt \Gamma_1\Gamma_2 tại các điểm E and F tương ứng. Đường thẳng CF cắt \Gamma_1\Gamma_2 tại các điểm P and Q tương ứng. Cho MN là trung điểm của các cung nhỏ \widehat{PB}\widehat{QB}. Chứng minh rằng nếu CD=EF, thì C, F, M, N đồng viên.

2. Cho k \ge 3 là một số nguyên. Dãy \{ a_n \} được xác định như sau: a_{k}=2k, và với mỗi n > k, a_{n}=a_{n-1}+1, nếu (a_{n -1},n)=1;a_{n}=2n, nếu (a_{n-1},n) > 1. Chứng minh rằng dãy \{ a_n-a_{n-1} \} chứa vô hạn số nguyên tố.

3. a,bc là các số phức thoả mãn với mỗi số phức z, nếu |z| \le 1, thì |az^2+bz+c| \le 1. Tìm giá trị lớn nhất của |bc|.

4. mn là các số nguyên cho trước lớn hơn 1. {a_1} < {a_2} < \cdots < {a_m} là các số nguyên cho trước. Chứng minh rằng tồn tại một tập con của \mathbb Z ký hiệu bởi T, sao cho |T| \le 1+\dfrac {a_{m}-a_1}{2n+1} và với mỗi i \in \{ 1,2,...,m \}, tồn tại t\in Ts\in [-n,n] thoả mãn a_{i}=t+s.

5. Ta có thể di chuyển các tấm thẻ tại các điểm A_1, A_2, \cdots ,A_n và điểm O. Một bước di chuyển có thể thực hiện như sau:

(1) Nếu có ít nhất 3 tấm thẻ tại điểm A_i (1 \le i \le n), thì lấy 3 tấm thẻ từ A_i và đặt chúng vào các điểm A_{i-1}, A_{i+1}O, tương ứng. (A_0=A_n, A_{n+1}=A_1)

(2) Nếu có ít nhất n tấm thể tại O, thì lấy n tấm thẻ từ điểm O và đặt chúng vào các điểm A_1, A_2, \cdots ,A_n, tương ứng.

Chứng minh rằng nếu có không ít hơn n^2+3n+1 tấm thể trên toàn bộ n+1 điểm, thì ta có thể thực hiện một số hữu hạn các di chuyển trên để có không ít hơn n+1 tấm thẻ tại mỗi điểm.

6. Cho a_1,a_2,a_3,b_1,b_2,b_3 là các số nguyên dương đôi một khác nhau sao cho với mỗi số nguyên dương n,

(n+ 1)a_{1}^{n}+{n}a_{2}^{n}+(n-1)a_{3}^{n} | (n+1)b_{1}^{n}+{n}b_{2}^{n}+(n-1)b_{3}^{n}.

Chứng minh rằng có số nguyên dương k sao cho b_i =k{a_i} với i=1,2,3.

Đề thi chọn học sinh giỏi Quốc gia môn Toán năm học 2009-2010


Câu 1. Giải hệ phương trình

x^4-y^4=240

x^3-2y^3=3(x^2-4y^2)-4(x-8y).
Câu 2. Cho dãy số (a_n) xác định bởi  a_1=5, a_n=(a_{n-1}^{n-1}+2^{n-1}+2.3^{n-1})^{\dfrac{1}{n}}\forall n\geq 2.
a. Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy;
b. Chứng minh rằng dãy này là dãy giảm.
Câu 3. Cho đường tròn (O). Hai điểm B,C cố định trên đường tròn, BC không phải đường kính. Lấy A là một điểm trên đường tròn không trùng với B,CAD,AE là các đường phân giác trong và ngoài. I là trung điểm của DE. Qua trực tâm tam giác ABC  kẻ đường thẳng vuông góc với AI  cắt AD,AE tại M,N.
a. Chứng minh rằng MN luôn đi qua một điểm cố định;
b. Tìm A  sao cho S(AMN) lớn nhất.
Câu 4. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n phương trình x^2+15y^2=4^n có ít nhất n nghiệm tự nhiên.
Câu 5. Cho bảng 3\times 3n là một số nguyên dương cho trước. Tìm số các cách tô màu không như nhau khi tô mỗi ô bởi một trong n  màu. Hai cách tô màu gọi la như nhau nếu một cách nhận được từ cách kia bởi một phép quay quanh tâm.

Nguồn MathScope (đã chỉnh sửa).