## Đề thi chọn HSG Quốc gia của Nhật năm 2019

Bài 1. Tìm tất cả các bộ ba các số nguyên dương $\displaystyle (a,\ b,\ c)$ sao cho $\displaystyle a^2+b+3=(b^2-c^2)^2.$
Bài 2. Cho số nguyên lẻ $\displaystyle n\geq 3$. Ta sẽ chơi một trò chơi trên bảng vuông $\displaystyle n\times n$ như sau: Ở mỗi bước ta chọn một ô vuông con chưa được viết số và viết vào đó một số nguyên thuộc tập $\displaystyle [n^2]$, mỗi số nguyên được dùng đúng một lần. Như vậy trò chơi sẽ kết thúc sau $\displaystyle n^2$ bước. Khi kết thúc, với mỗi ô vuông con, nếu hàng hoặc cột chứa nó có tổng các số chia hết cho $\displaystyle n$ thì ta nhận được $\displaystyle 1$ điểm (nếu cả hai có tổng các số trên đó chia hết cho $\displaystyle n$ thì ta có $\displaystyle 2$ điểm). Hỏi ta có thể nhận được nhiều nhất bao nhiêu điểm?
Bài 3. Tìm tất cả các hàm số $\displaystyle f:(0;+\infty)\to (0;+\infty)$ sao cho $\displaystyle f\left(\frac{f(y)}{f(x)}+1\right)=f\left(x+\frac{y}{x}+1\right)-f(x),\quad \forall x;y\in (0;+\infty).$
Bài 4. Cho tam giác $\displaystyle ABC$ với tâm nội tiếp $\displaystyle I$, đường tròn nội tiếp $\displaystyle w$, và $\displaystyle M$ là trung điểm của $\displaystyle BC$. Đường thẳng qua $\displaystyle A$ vuông góc với $\displaystyle BC$ cắt đường thẳng qua $\displaystyle M$ vuông góc với $\displaystyle AI$ tại $\displaystyle K$. Chứng minh rằng đường tròn đường kính $\displaystyle AK$ tiếp xúc với $\displaystyle w$. Continue reading “Đề thi chọn HSG Quốc gia của Nhật năm 2019”

## Đề thi chọn HSG Quốc gia của Nhật năm 2017

Bài 1. Cho các số nguyên dương $a,b$ $c$. Chứng minh rằng $[a,b]\not= [a+c,b+c].$
Bài 2. Cho số nguyên dương $N$ và các số nguyên dương $a_{1}, a_{2},\cdots, a_{N}$ sao cho không có số nào là bội của $2^{N+1}$. Với mỗi số nguyên $n\geq N+1$, xác định $a_{n}$ như sau: Nếu dư khi chia $a_{k}$ cho $2^{n}$ là bé nhất trong các dư khi chia $a_{1},\cdots, a_{n-1}$ cho $2^{n}$, thì $a_{n}=2a_{k}$ (nếu có nhiều số $k$ thỏa mãn, ta lấy số lớn nhất). Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương $M$ sao cho $a_{n}=a_{M}$ với mọi $n\geq M$.
Bài 3. Cho tam giác nhọn $ABC$ với tâm ngoại tiếp $O$. Gọi $D,E$ $F$ lần lượt là chân các đường cao qua $A,B$ $C$, và $M$ là trung điểm của $BC$. $AD$ cắt $EF$ tại $X$, $AO$ cắt $BC$ tại $Y$, và $Z$ là trung điểm của $XY$. Chứng minh $A,Z$ $M$ thẳng hàng.
Bài 4. Cho số nguyên $n$ thỏa mãn $n \geq 3$. Có $n$ người và một cuộc họp được tổ chức mỗi ngày một lần sao cho các điều kiện sau được thỏa mãn đồng thời:
(1) trong mỗi cuộc họp, có ít nhất ba người tham gia.
(2) mỗi thành viên tham gia một cuộc họp đều bắt tay với tất cả những người còn lại tham dự cuộc họp đó.
(3) sau cuộc họp thứ $n$, mỗi cặp trong $n$ người bắt tay nhau đúng một lần.
Chứng minh rằng số người tham gia các cuộc họp là bằng nhau. Continue reading “Đề thi chọn HSG Quốc gia của Nhật năm 2017”

## Problems From the Book

Tôi giới thiệu với các bạn chuẩn bị tham dự kì thi chọn đội tuyển Toán Việt Nam tham dự IMO (Vietnam TST) hai cuốn sách sau đây:

1) “Problems From the Book” của Titu Andreescu và Gabriel Dospinescu.

Đây là đoạn mô tả trên trang của nhà xuất bản XYZ: “The authors provide a combination of enthusiasm and experience which will delight any reader. In this volume they present innumerable beautiful results, intriguing problems, and ingenious solutions. The problems range from elementary gems to deep truths. A trully delightful and highly instructive book, this will prepare the engaged reader not only for any mathematics competition they may enter but also for a life time of mathematical enjoyment. A must for the bookshelves of both aspiring and seasoned mathematicians.”

Bạn mua từ nhà xuất bản hoặc tìm E-book.

2) “Straight from the Book” của Titu Andreescu và Gabriel Dospinescu.

Cuốn 1) có rất nhiều bài tập về nhà, và nhiều bài rất khó. Cuốn 2) sẽ có lời giải của hầu hết các bài tập về nhà trong 1). Đây là đoạn mô tả trên trang của nhà xuất bản XYZ: “This book is a compilation of many suggestions, much advice, and even more hard work. Its main objective is to provide solutions to the problems which were originally proposed in the first 12 chapters of “Problems from the Book”. The volume is far more than a collection of solutions. The solutions are used as motivation for the introduction of some very clear expositions of mathematics. And this is modern, current, up-to-the-minute mathematics. This is absolutely state-of-the-art material. Everyone who loves mathematics and mathematical thinking should acquire this book.”

Editorial Reviews

(Đoạn này được lấy từ amazon. )

This is an exceptionally well-written book. The material is arranged in small chapters, with brief theory in the beginning of each chapter followed by a set of exceptionally difficult problems with solutions. These solutions are elegant, innovative and beautiful. You learn a lot from the solutions. In every page, you will discover one or more clever steps/tricks that will make you wonder “How come I could not think of that?”. If you are preparing for Mathematics Olympiads, working through this book will boost your confidence 100 fold. If you are a math enthusiast, you will enjoy the material – most of it is “Mathematical poetry”. Grab it before it gets sold out! –Dr S Muralidharan

Problems from the Book is rife with elegant mathematical pursuits that are well worth the effort of exploring and solving. For high schoolers up through University students, the book’s problems will illustrate important concepts and provide hours of fun at every sitting. –David Cordeiro

This book is a treasure of the mathematical gems: many many very nice problems and results, historic notes and useful comments. Readers will also find many very interesting original problems from the authors of the book and from others. If you want to develop your mathematical skills in problem solving and your knowledge in diverse mathematical branches, you will definitely find many instructive topics throughout this book. Many thanks to Prof. Andreescu and his colleagues for their invaluable books and problems. I do highly recommend this book and all other books by Prof. Andreescu to all mathematics lovers: from the pupils preparing to participate in mathematical contests to people searching excitement in mathematics. The book contains the following 23 chapters, in addition to preface, bibliography and index: 1. Some Useful Substitutions 2. Always Cauchy-Schwarz … 3. Look at the Exponent 4. Primes and Squares 5. T2’s Lemma 6. Some Classical Problems in Extremal Graph theory 7. Complex Combinatorics 8. Formal Series Revisited 9. A Brief Introduction to Algebraic Number Theory 10. Arithmetic Properties of Polynomials 11. Lagrange Interpolation Formula 12. Higher Algebra in Combinatorics 13. Geometry and Numbers 14. The Smaller, The Better 15. Density and Regular Distribution 16. The Digit Sum of Positive Integer 17. At the Border of Analysis and Number Theory 18. Quadratic Reciprocity 19. Solving Elementary Inequalities Using Integrals 20. Pigeonhole Principle Revisited 21. Some Useful Irreducibility Criteria 22. Cycles, Paths and Other Ways 23. Some Special Applications of Polynomials –H. A. Shah Ali.

Bạn mua từ nhà xuất bản hoặc tìm E-book. Continue reading “Problems From the Book”

## Một số trang về Olympic Toán

Tôi có post một số trang về Olympic Toán trên facebook  nhưng nó cứ chìm xuống khi đăng một bài khác, vì thế nên tôi lập topic này để lưu các link đó lại.

P. S. Hãy góp link bằng cách comment các bạn nhé! 🙂

## Japan Mathematical Olympiad Finals 2013

1. Let $n,\ k$ be positive integers with $n\geq k$. There are $n$ persons, each person belongs to exactly one of group $1$, group $2,\ \cdots$, group $k$ and more than or equal to one person belong to any  groups. Show that $n^2$ sweets can be delivered to $n$ persons in such way that all of  the following condition are satisfied.

a/. At least one sweet are delivered to each person.

b/. $a_i$ sweet are delivered to each person belonging to group $i\ (1\leq i\leq k).$

c/. If $1\leq i, then $a_i>a_j.$

2. Find all functions $f:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{R}$ such that  the equality $f(m)+f(n)=f(mn)+f(m+n+mn)$ holds for all $m,n\in\mathbb{Z}.$

3. Let $n\geq 2$ be a positive integer. Find the minimum value of positive integer $m$ for which there exist positive integers $a_1,\ a_2,\ \cdots, a_n$ such that :

a/. $\ a_1

b/. $\displaystyle\frac{a_1^2+a_2^2}{2},\ \frac{a_2^2+a_3^2}{2},\ \cdots,\ \frac{a_{n-1}^2+a_n^2}{2}$ are all square numbers.

4. Given an acute-angled triangle $ABC$, let $H$ be the orthocenter. A cirlcle passing through the points $B,\ C$ and a cirlcle with a diameter $AH$ intersect at two distinct points $X,\ Y$. Let $D$ be the foot of the perpendicular drawn from $A$ to line $BC$, and let $K$ be the foot of the perpendicular drawn from $D$ to line $XY$. Show that $\angle{BKD}=\angle{CKD}$.