Đề thi chọn đội IMO 2017 của Iran (Iran TST 2017) – Phần 3


Các bạn có thể xem phần 2 ở link https://nttuan.org/2017/05/17/iran-tst-2017-2/

Ngày thứ nhất

Bài 1. Cho số nguyên n>1. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên n-1 \ge m \ge \left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor sao cho phương trình sau có nghiệm nguyên thỏa mãn a_m>0:

\displaystyle\frac{a_{m}}{m+1}+\frac{a_{m+1}}{m+2}+ \cdots + \frac{a_{n-1}}{n}=\frac{1}{\textrm{lcm}\left ( 1,2, \cdots , n \right )}.

Bài 2. Cho P là một điểm nằm trong tứ giác ABCD sao cho

\angle BPC=2\angle BAC \ \ ,\ \ \angle PCA = \angle PAD \ \ ,\ \ \angle PDA=\angle PAC.

Chứng minh rằng \angle PBD= \left | \angle BCA - \angle PCA \right |.

Bài 3. Tìm tất cả các hàm f: \mathbb {R}^+ \times \mathbb {R}^+ \to \mathbb {R}^+ thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau với mỗi ba số thực dương x,y,z:

1) f\left ( f(x,y),z \right )=x^2y^2f(x,z).

2) f\left ( x,1+f(x,y) \right ) \ge x^2 + xyf(x,x).

Ngày thứ hai

Bài 4. Cho 6 điểm nằm trên mặt phẳng sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng. Biết rằng trong 4 điểm bất kỳ trong các điểm đã cho, tồn tại một điểm có phương tích đối với đường tròn đi qua ba điểm còn lại bằng một hằng số k. Chứng minh rằng cả 6 điểm đã cho cùng nằm trên một đường tròn. Continue reading “Đề thi chọn đội IMO 2017 của Iran (Iran TST 2017) – Phần 3”

Đề thi chọn đội IMO 2017 của Iran (Iran TST 2017) – Phần 2


Các bạn có thể xem phần đầu ở link https://nttuan.org/2017/05/15/iran-tst-2017-1/

Ngày thứ nhất

Bài 1. Cho tứ giác ABCD là hình thang với AB \parallel CD. Các đường chéo của hình thang cắt nhau tại P. Gọi \omega _1 là đường tròn qua B và tiếp xúc với AC tại A. Gọi \omega _2 là đường tròn qua C và tiếp xúc với BD tại D. Gọi \omega _3 là đường tròn ngoại tiếp tam giác BPC. Chứng minh rằng dây chung của các đường tròn \omega _1,\omega _3 và dây chung của các đường tròn \omega _2, \omega _3 cắt nhau tại một điểm trên AD.

Bài 2. Tìm số nguyên dương n lớn nhất sao cho tồn tại n số nguyên dương thỏa mãn: Không có hai số nào chia hết cho nhau nhưng trong mỗi ba số, một số chia hết tổng hai số còn lại.

Bài 3. Xét 27 tấm thẻ thỏa mãn đồng thời hai điều kiện:

1) Mỗi tấm thẻ có đúng 1 hoặc 2 hoặc 3 hình tròn hoặc hình vuông hoặc hình tam giác trên nó và các hình này mang đúng một trong ba màu trắng, xám hoặc đen;

2) Trên mỗi tấm thẻ chỉ có một loại hình: hình tròn, hình vuông, hoặc hình tam giác.

Một bộ ba các tấm thẻ được gọi là phù hợp nếu các tấm thẻ có số lượng hình bằng nhau hoặc đôi một khác nhau, có cùng loại hình hoặc các loại hình đôi một khác nhau, và có màu của các hình giống hoặc đôi một khác nhau.

Hỏi ta có thể chọn ra nhiều nhất bao nhiêu tấm thẻ để không thể tạo thành một bộ ba phù hợp từ các tấm thẻ này?

Ngày thứ hai

Bài 4. Một bộ các đa thức n biến với hệ số thực \left(h_1,h_2, \cdots, h_{n+1}\right) được gọi là tốt nếu nó có tính chất: với mỗi n hàm f_1,f_2, \cdots ,f_n : \mathbb R \to \mathbb R, nếu với mọi 1 \le i \le n+1, P_i(x)=h_i \left(f_1(x),f_2(x), \cdots, f_n(x) \right) là một đa thức biến x thì f_1(x),f_2(x), \cdots, f_n(x) cũng là các đa thức.

a) Chứng minh với mỗi số nguyên dương n, có bộ tốt \left(h_1,h_2, \cdots, h_{n+1}\right) sao cho bậc của tất cả h_i lớn hơn 1.

b) Chứng minh không có số nguyên n>1 để có bộ tốt \left(h_1,h_2, \cdots, h_{n+1}\right) sao cho tất cả h_i là các đa thức đối xứng. Continue reading “Đề thi chọn đội IMO 2017 của Iran (Iran TST 2017) – Phần 2”

Đề thi chọn đội IMO 2017 của Iran (Iran TST 2017) – Phần 1


Ngày thứ nhất

Bài 1. Cho a,b,c,d là các số thực dương với a+b+c+d=2. Chứng minh rằng

\displaystyle \frac{(a+c)^{2}}{ad+bc}+\frac{(b+d)^{2}}{ac+bd}+4\geq 4\left ( \frac{a+b+1}{c+d+1}+\frac{c+d+1}{a+b+1} \right ).

Bài 2.13 học sinh tham gia kỳ thi chọn đội IMO của một quốc gia. Họ đã làm 6 bài kiểm tra và điểm đã được công bố. Giả sử không có hai học sinh có điểm bằng nhau ở một bài kiểm tra. Để chọn ra đội tuyển, hội đồng quyết định chọn một hoán vị của 6 bài kiểm tra và bắt đầu từ bài kiểm tra đầu tiên, ai có điểm cao nhất trong bài này thì được chọn,… Hỏi theo cách này, mọi học sinh đều có thể được chọn? (Đội IMO sẽ gồm 6 học sinh).

Bài 3. Cho tam giác ABC với I_a là tâm đường tròn bàng tiếp góc A. Gọi \omega là một đường tròn bất kỳ qua A,I_a và cắt phần kéo dài của các cạnh AB,AC (kéo dài từ B,C) tại X,Y tương ứng. Gọi S,T là các điểm trên các đoạn I_aB,I_aC tương ứng sao cho \angle AXI_a=\angle BTI_a\angle AYI_a=\angle CSI_a. Các đường thẳng BT,CS cắt nhau tại K. Các đường thẳng KI_a,TS cắt nhau tại Z. Chứng minh rằng X,Y,Z thẳng hàng.

Ngày thứ hai

Bài 4. Gọi p_i là số nguyên tố thứ i. Cho n_1<n_2<\cdots là dãy các số nguyên dương sao cho với mỗi i=1,2,3,\cdots, phương trình x^{n_i} \equiv 2 \pmod {p_i} có nghiệm. Liệu các phương trình này có thể có nghiệm chung không? Continue reading “Đề thi chọn đội IMO 2017 của Iran (Iran TST 2017) – Phần 1”

Đề thi chọn HSG Quốc gia của Iran năm 2016 – Vòng 3 (Iran MO 2016, 3rd Round)


Đại số

Bài 1. Cho dãy số thực (a_n) thỏa mãn a_1=1007a_{i+1}\geq a_i+1\,\,\forall i\in\mathbb{N}^*. Chứng minh rằng

\displaystyle \frac{1}{2016}>\sum_{i=1}^{2016}\frac{1}{a_{i+1}^{2}+a_{i+2}^2}.

Bài 2. Tìm tất cả các hàm số f:\mathbb{N}^*\rightarrow\mathbb{N}^* sao cho

\forall a,b\in\mathbb{N}^*,\quad (f(a)+b) f(a+f(b))=(a+f(b))^2.

Bài 3. Tồn tại hay không dãy vô hạn điểm (x_1,y_1),(x_2,y_2),... sao cho với mọi dãy b_1,b_2,... các số thực, tồn tại P(x,y)\in \mathbb{R}[x,y] thỏa mãn điều kiện \forall i\in\mathbb{N}^*,\quad P(x_{i},y_{i})=b_{i}.

Hình học

Bài 4. Cho tam giác ABC, P là giao điểm của đường cao qua C và tiếp tuyến tại A của đường tròn (ABC). Phân giác của góc A cắt BC tại D. PD cắt AB tại K, nếu H là trực tâm của tam giác, chứng minh HK\perp AD.

Bài 5. Cho tam giác ABC. Gọi E,E là hai điểm trên AB,AC tương ứng sao cho khoảng cách từ chúng đến trung điểm của BC bằng nhau. Gọi P là giao điểm thứ hai của (ABC)(AEF). Các tiếp tuyến tại E,F của (AEF) cắt nhau tại K. Chứng minh \angle KPA = 90^{\circ}.

Bài 6. Cho tam giác ABC với các đường cao AD,BE,CF. Hạ các đoạn vuông góc FA_{1},DB_{1},EC_{1} đến BC,AC,AB tương ứng. Chứng minh tam giác ABC đồng dạng với tam giác A_{1}B_{1}C_{1}.

Số học

Bài 7. Cho F là một tập con của tập các số nguyên dương với ít nhất hai phần tử và P(x) \in \mathbb Z[X] thỏa mãn: Với mọi a,b\in F, ta có a+b \in F\gcd(P(a),P(b))=1. Chứng minh P(x) là đa thức hằng.

Bài 8. Ta nói P(x)\in Z[x]tốt nếu có vô hạn số nguyên tố q sao cho tập \{P(n) \pmod{q} | n\in \mathbb{N}^*\} có ít nhất \dfrac{q+1}{2} phần tử. Chứng minh x^3+x là tốt.

Bài 9. Ta nói số nguyên dương ađẹp theo modulo m nếu \gcd (a,m)=1 và tồn tại số nguyên dương x sao cho x^x \equiv a \pmod m. Cho a là đẹp theo modulo n^n. Chứng minh a cũng là đẹp theo modulo n^{n^n}.

Tổ hợp

Bài 10. Tìm số các hoán vị p của \left \{ 1,2,\cdots ,n \right \} sao cho tồn tại duy nhất i \in \left \{ 1,2,\cdots ,n \right \} thỏa mãn p(p(i)) \geq i.

Bài 11. Liệu có thể chia bảng vuông cỡ 7\times 7 thành một vài phần liên thông có cùng chu vi? (Một nhóm các ô vuông con được gọi là liên thông nếu từ mỗi ô trong nhóm có thể đến các ô khác bằng cách đi qua các cạnh của các ô vuông con).

Bài 12.24 robot trên mặt phẳng, mỗi robot có góc nhìn 70^{\circ}. Có nhiều nhất bao nhiêu quan hệ quan sát? (Quan sát là quan hệ một chiều).

Continue reading “Đề thi chọn HSG Quốc gia của Iran năm 2016 – Vòng 3 (Iran MO 2016, 3rd Round)”

Problems From the Book


Tôi giới thiệu với các bạn chuẩn bị tham dự kì thi chọn đội tuyển Toán Việt Nam tham dự IMO (Vietnam TST) hai cuốn sách sau đây:

1) “Problems From the Book” của Titu Andreescu và Gabriel Dospinescu.

Đây là đoạn mô tả trên trang của nhà xuất bản XYZ: “The authors provide a combination of enthusiasm and experience which will delight any reader. In this volume they present innumerable beautiful results, intriguing problems, and ingenious solutions. The problems range from elementary gems to deep truths. A trully delightful and highly instructive book, this will prepare the engaged reader not only for any mathematics competition they may enter but also for a life time of mathematical enjoyment. A must for the bookshelves of both aspiring and seasoned mathematicians.”

Bạn mua từ nhà xuất bản hoặc tìm E-book.

2) “Straight from the Book” của Titu Andreescu và Gabriel Dospinescu.

Cuốn 1) có rất nhiều bài tập về nhà, và nhiều bài rất khó. Cuốn 2) sẽ có lời giải của hầu hết các bài tập về nhà trong 1). Đây là đoạn mô tả trên trang của nhà xuất bản XYZ: “This book is a compilation of many suggestions, much advice, and even more hard work. Its main objective is to provide solutions to the problems which were originally proposed in the first 12 chapters of “Problems from the Book”. The volume is far more than a collection of solutions. The solutions are used as motivation for the introduction of some very clear expositions of mathematics. And this is modern, current, up-to-the-minute mathematics. This is absolutely state-of-the-art material. Everyone who loves mathematics and mathematical thinking should acquire this book.”

Editorial Reviews

(Đoạn này được lấy từ amazon. )

This is an exceptionally well-written book. The material is arranged in small chapters, with brief theory in the beginning of each chapter followed by a set of exceptionally difficult problems with solutions. These solutions are elegant, innovative and beautiful. You learn a lot from the solutions. In every page, you will discover one or more clever steps/tricks that will make you wonder “How come I could not think of that?”. If you are preparing for Mathematics Olympiads, working through this book will boost your confidence 100 fold. If you are a math enthusiast, you will enjoy the material – most of it is “Mathematical poetry”. Grab it before it gets sold out! –Dr S Muralidharan

Problems from the Book is rife with elegant mathematical pursuits that are well worth the effort of exploring and solving. For high schoolers up through University students, the book’s problems will illustrate important concepts and provide hours of fun at every sitting. –David Cordeiro

This book is a treasure of the mathematical gems: many many very nice problems and results, historic notes and useful comments. Readers will also find many very interesting original problems from the authors of the book and from others. If you want to develop your mathematical skills in problem solving and your knowledge in diverse mathematical branches, you will definitely find many instructive topics throughout this book. Many thanks to Prof. Andreescu and his colleagues for their invaluable books and problems. I do highly recommend this book and all other books by Prof. Andreescu to all mathematics lovers: from the pupils preparing to participate in mathematical contests to people searching excitement in mathematics. The book contains the following 23 chapters, in addition to preface, bibliography and index: 1. Some Useful Substitutions 2. Always Cauchy-Schwarz … 3. Look at the Exponent 4. Primes and Squares 5. T2’s Lemma 6. Some Classical Problems in Extremal Graph theory 7. Complex Combinatorics 8. Formal Series Revisited 9. A Brief Introduction to Algebraic Number Theory 10. Arithmetic Properties of Polynomials 11. Lagrange Interpolation Formula 12. Higher Algebra in Combinatorics 13. Geometry and Numbers 14. The Smaller, The Better 15. Density and Regular Distribution 16. The Digit Sum of Positive Integer 17. At the Border of Analysis and Number Theory 18. Quadratic Reciprocity 19. Solving Elementary Inequalities Using Integrals 20. Pigeonhole Principle Revisited 21. Some Useful Irreducibility Criteria 22. Cycles, Paths and Other Ways 23. Some Special Applications of Polynomials –H. A. Shah Ali.

Bạn mua từ nhà xuất bản hoặc tìm E-book. Continue reading “Problems From the Book”

Một số trang về Olympic Toán


Tôi có post một số trang về Olympic Toán trên facebook  nhưng nó cứ chìm xuống khi đăng một bài khác, vì thế nên tôi lập topic này để lưu các link đó lại.

P. S. Hãy góp link bằng cách comment các bạn nhé! 🙂

Continue reading “Một số trang về Olympic Toán”