IMO 2017 training (2)


Chào các bạn đồng nghiệp,

đây là một số bài toán tôi dùng để luyện cho đội IMO 2017. Tuyển tập này gồm nhiều phần, đây là phần thứ hai.

Các bạn có thể xem phần đầu ở https://nttuan.org/2017/08/01/imo-2017-training-1/


Bài 1. Cho số nguyên dương \displaystyle n>1 và dãy số Fibonacci xác định như sau \displaystyle f_1=f_2=1, \displaystyle f_{k+2}=f_{k+1}+f_k,\,\forall k\in\mathbb{N}^*. Chứng minh rằng nếu \displaystyle a\displaystyle b là các số nguyên dương sao cho \displaystyle \dfrac{a}{b} nằm giữa hai phân số \displaystyle \dfrac{f_n}{f_{n-1}}\displaystyle \dfrac{f_{n+1}}{f_{n}} thì \displaystyle b\geq f_{n+1}.
Bài 2. (VMO 2013) Cho trước một số số tự nhiên được viết trên một đường thẳng. Ta thực hiện các bước điền số lên đường thẳng như sau: tại mỗi bước, trước tiên xác định tất cả các cặp số kề nhau hiện có trên đường thẳng theo thứ tự từ trái qua phải, sau đó điền vào giữa mỗi cặp một số bằng tổng của hai số thuộc cặp đó. Hỏi sau \displaystyle 2013 bước, số \displaystyle 2013 xuất hiện bao nhiêu lần trên đường thẳng trong các trường hợp sau:
a) Các số cho trước là: \displaystyle 1\displaystyle 1000?
b) Các số cho trước là: \displaystyle 1,2,...,1000 và được xếp theo thức tự tăng dần từ trái qua phải?
Bài 3. Dãy hữu hạn các số nguyên \displaystyle a_1, a_2, \dots, a_n được gọi là chính quy nếu tồn tại số thực \displaystyle x thỏa mãn \displaystyle \left\lfloor kx \right\rfloor = a_k với mọi \displaystyle k=1, 2,\cdots, n. Cho dãy chính quy \displaystyle a_1, a_2, \dots, a_n, với \displaystyle 1 \le k \le n ta nói \displaystyle a_k là số hạng bắt buộc nếu dãy \displaystyle a_1, a_2, \dots, a_{k-1}, b chính quy khi và chỉ khi \displaystyle b = a_k. Tìm số lớn nhất các số hạng bắt buộc của một dãy chính quy dài \displaystyle 1000.
Bài 4. Cho \displaystyle \nu là một số vô tỷ dương, và \displaystyle m là một số nguyên dương. Một cặp \displaystyle (a,b) các số nguyên dương được gọi là tốt nếu
\displaystyle a \left \lceil b\nu \right \rceil - b \left \lfloor a \nu \right \rfloor = m. Một cặp tốt \displaystyle (a,b) được gọi là rất tốt nếu không cặp nào trong hai cặp \displaystyle (a-b,b), \displaystyle (a,b-a) là tốt. Chứng minh rằng số cặp rất tốt bằng tổng các ước dương của \displaystyle m.
Bài 5. Cho \displaystyle m,n là các số nguyên dương thỏa mãn \displaystyle m \ge n. Gọi \displaystyle S là tập tất cả các cặp \displaystyle (a,b) các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau thỏa mãn \displaystyle a,b \le m\displaystyle a+b > m. Với mỗi \displaystyle (a,b)\in S, xét nghiệm tự nhiên \displaystyle (u,v) của phương trình \displaystyle au - bv = n sao cho \displaystyle v nhỏ nhất, và gọi \displaystyle I(a,b) là khoảng \displaystyle (v/a, u/b). Chứng minh rằng \displaystyle I(a,b) \subset (0,1) với mọi \displaystyle (a,b)\in S và mỗi số vô tỷ \displaystyle \alpha\in(0,1) thuộc \displaystyle I(a,b) với đúng \displaystyle n cặp phân biệt \displaystyle (a,b)\in S.
Bài 6. Một số nguyên dương \displaystyle q được gọi là mẫu phù hợp của số thực \displaystyle \alpha nếu \displaystyle \displaystyle |\alpha - \dfrac{p}{q}|<\dfrac{1}{10q} với số nguyên \displaystyle p nào đó. Chứng minh nếu hai số vô tỷ \displaystyle \alpha\displaystyle \beta có cùng tập các mẫu phù hợp thì \displaystyle \alpha+\beta hoặc \displaystyle \alpha- \beta là một số nguyên. Continue reading “IMO 2017 training (2)”

IMO 2016 Shortlist (*.pdf, full)


Tôi gửi tặng mọi người 2 file pdf: Một file là bản tiếng Việt ISL 2016 do tôi dịch, file còn lại là bản tiếng Anh chính thức.

Nếu có chỗ nào sai, hãy báo cho tôi.

Continue reading “IMO 2016 Shortlist (*.pdf, full)”

IMO 2017 training (1)


Chào các bạn đồng nghiệp,

đây là một số bài toán tôi dùng để luyện cho đội IMO 2017. Tuyển tập này gồm nhiều phần, đây là phần thứ nhất.

Bài 1. Cho n-giác đều P. Chứng minh rằng nếu 3 trong các đỉnh của P là điểm nguyên và hai trong chúng là kề nhau thì P là hình vuông.
Bài 2. (Vietnam TST 2011) Có một con cào cào đậu ở điểm (1,1) trên mặt phẳng tọa độ Oxy. Từ điểm đó nó sẽ nhảy đến điểm nguyên khác theo quy tắc: nhảy được từ A đến B khi và chỉ khi diện tích của tam giác AOB bằng 1/2.
(a) Tìm tất cả các điểm nguyên dương (m,n) sao cho con cào cào có thể đến đó sau hữu hạn lần nhảy, bắt đầu từ (1,1).
(b) Nếu (m,n) thỏa mãn điều kiện trên. Chứng minh rằng con cào cào có thể đến (m,n) từ (1,1) sau nhiều nhất |m-n| lần nhảy.
Bài 3. Cho số nguyên n \ge 5. Xét các số nguyên a_i,b_i (i = 1,2, \cdots ,n) thỏa mãn đồng thời hai điều kiện:
(a) Các cặp (a_i,b_i) với i = 1,2,\cdots,n đôi một khác nhau;
(b) |a_1b_2-a_2b_1| = |a_2b_3-a_3b_2| = \cdots = |a_nb_1-a_1b_n| = 1.
Chứng minh rằng tồn tại các chỉ số i,j sao cho 1<|i-j|<n-1|a_ib_j-a_jb_i|=1.
Bài 4. Trong mặt phẳng tọa độ, tô màu các điểm nguyên với hoành độ và tung độ chẵn bởi màu đen và các điểm nguyên còn lại bởi màu trắng. Cho P là một đa giác lồi có các đỉnh là các điểm nguyên màu đen. Chứng minh rằng mỗi điểm nguyên trắng nằm bên trong hoặc trên biên của P sẽ nằm giữa hai điểm nguyên đen nằm trong hay trên biên của P. Continue reading “IMO 2017 training (1)”

IMO 2016 Shortlist – Geometry


Các bạn có thể xem các phần trước ở các link dưới đây:
https://nttuan.org/2017/07/21/imo-2016-shortlist-number-theory/
https://nttuan.org/2017/07/20/imo-2016-shortlist-algebra/
https://nttuan.org/2017/07/23/imo-2016-shortlist-combinatorics/
——–
G1. Cho tam giác BCF vuông tại B. Gọi A là một điểm trên đường thẳng CF sao cho FA=FBF nằm giữa A,C. Lấy D sao cho DA=DCAC là phân giác của \angle{DAB}. Điểm E được chọn sao cho EA=EDAD là phân giác của \angle{EAC}. Gọi M là trung điểm của CF. Gọi X là điểm sao cho AMXE là hình bình hành. Chứng minh BD,FXME đồng quy.
G2. Cho tam giác ABC với đường tròn ngoại tiếp \Gamma, tâm nội tiếp I. Gọi M là trung điểm của BC. Các điểm D, E, F lần lượt nằm trên các cạnh BC, CA, AB sao cho ID \perp BC, IE\perp AI, IF\perp AI. Biết (AEF) cắt \Gamma tại hai điểm phân biệt XA. Chứng minh XDAM cắt nhau trên \Gamma.
G3. Cho B = (-1, 0)C = (1, 0). Một tập con S khác rỗng và bị chặn của mặt phẳng được gọi là tốt nếu
\text{(i)}T trong S sao cho với mỗi Q trong S, đoạn TQ nằm trong S; và
\text{(ii)} với mỗi tam giác P_1P_2P_3, tồn tại duy nhất A trong S và hoán vị \sigma của \{1, 2, 3\} để ABCP_{\sigma(1)}P_{\sigma(2)}P_{\sigma(3)} đồng dạng.
Chứng minh tồn tại hai tập con tốt khác nhau SS' của \{(x, y) : x \geq 0, y \geq 0\} thỏa mãn: nếu A \in SA' \in S' là các điểm tồn tại duy nhất trong \text{(ii)}, thì BA \cdot BA' là hằng số không phụ thuộc tam giác P_1P_2P_3. Continue reading “IMO 2016 Shortlist – Geometry”

IMO 2016 Shortlist – Combinatorics


Các bạn có thể xem hai phần trước ở các link dưới đây:
Số học https://nttuan.org/2017/07/21/imo-2016-shortlist-number-theory/
Đại số https://nttuan.org/2017/07/20/imo-2016-shortlist-algebra/
—-
C1. Trưởng đoàn của một đội IMO chọn hai số nguyên dương \displaystyle n\displaystyle k thỏa mãn \displaystyle n>k, và gửi chúng đến phó đoàn và một thí sinh trong đoàn. Sau đó trưởng đoàn bí mật gửi cho phó đoàn một xâu nhị phân độ dài \displaystyle n, và phó đoàn viết ra một xâu nhị phân độ dài \displaystyle n khác xâu của trưởng đoàn đúng \displaystyle k vị trí. Thí sinh được nhìn xâu của phó đoàn và phải đoán xâu của trưởng đoàn. Hỏi thí sinh cần đoán ít nhất bao nhiêu lần để có câu trả lời đúng?
C2. Tìm tất cả các số nguyên dương \displaystyle n sao cho tất cả các ước dương của \displaystyle n có thể đặt vào các ô của bảng chữ nhật để các điều kiện sau được thỏa mãn đồng thời:
(a) mỗi ô chứa một ước phân biệt;
(b) tổng các số trên mỗi hàng bằng nhau;
(c) tổng các số trên mỗi cột bằng nhau.
C3. Cho số nguyên dương \displaystyle n nguyên tố cùng nhau với \displaystyle 6. Ta tô các đỉnh của một \displaystyle n-giác đều bởi ba màu (mỗi đỉnh tô đúng một màu) sao cho với mỗi màu, có một số lẻ đỉnh mang màu đó. Chứng minh rằng tồn tại một tam giác cân có ba đỉnh khác màu.
C4.Tìm tất cả các số nguyên dương \displaystyle n sao cho trên mỗi ô vuông con của bảng \displaystyle n \times n ta có thể viết một trong các chữ cái \displaystyle I,M\displaystyle O để hai điều kiện sau được thỏa mãn đồng thời:
1) trên mỗi dòng và mỗi cột, một phần ba là I, một phần ba là M và một phần ba là O;
2) trên mỗi đường chéo có số ô là bội của 3, một phần ba là I, một phần ba là M và một phần ba là O.
Chú ý. Các dòng và các cột của một bảng \displaystyle n \times n được đánh số từ \displaystyle 1 đến \displaystyle n theo cách tự nhiên. Như vậy mỗi ô tương ứng với một cặp số nguyên dương \displaystyle (i,j) với \displaystyle 1 \le i,j \le n. Khi \displaystyle n>1, bảng có \displaystyle 4n-2 đường chéo. Các đường chéo này có hai kiểu, kiểu thứ nhất chứa các ô \displaystyle (i,j) với \displaystyle i+j là hằng số, kiểu thứ hai chứa các ô \displaystyle (i,j) với \displaystyle i-j là hằng số. Continue reading “IMO 2016 Shortlist – Combinatorics”

IMO 2016 Shortlist – Number theory


Các bạn có thể xem phần đầu ở https://nttuan.org/2017/07/20/imo-2016-shortlist-algebra/

N1. Với mỗi số nguyên dương \displaystyle k, gọi \displaystyle S(k) là tổng các chữ số của \displaystyle k khi viết trong hệ thập phân. Tìm tất cả \displaystyle P(x)\in\mathbb{Z}[x] sao cho với mỗi số nguyên \displaystyle n\geq 2016, số \displaystyle P(n) là số nguyên dương và \displaystyle S(P(n))=P(S(n)).
N2. Với mỗi số nguyên dương \displaystyle n, gọi \displaystyle \tau (n) là số ước dương của \displaystyle n\displaystyle \tau_1(n) là số ước dương của \displaystyle n chia cho \displaystyle 3\displaystyle 1. Tìm tất cả các giá trị nguyên có thể của \displaystyle \dfrac{\tau (10n)}{\tau_1(10n)}.
N3. Một tập hợp các số nguyên dương được gọi là tập hương nếu tập hợp đó có ít nhất hai phần tử và mỗi phần tử của nó đều có ước nguyên tố chung với ít nhất một trong các phần tử còn lại. Đặt \displaystyle P(n)=n^{2}+n+1. Hãy tìm số nguyên dương \displaystyle b nhỏ nhất sao cho tồn tại số nguyên không âm \displaystyle a để tập hợp \displaystyle \left \{ P(a+1);P(a+2);...;P(a+b) \right \} là tập hương.
N4. Cho các số nguyên dương \displaystyle n,m,k\displaystyle l thỏa mãn \displaystyle n\not=1\displaystyle n^k+m.n^l+1 chia hết \displaystyle n^{k+l}-1. Chứng minh rằng
(a) \displaystyle m=1\displaystyle l=2k hoặc
(b) \displaystyle l|k\displaystyle m=\dfrac{n^{k-l}-1}{n^l-1}.
N5. Cho \displaystyle a là số nguyên dương không chính phương. Gọi \displaystyle A là tập tất cả các số nguyên dương \displaystyle k sao cho \displaystyle k=\dfrac{x^2-a}{x^2-y^2},\quad (1) ở đây \displaystyle x\displaystyle y là các số nguyên thỏa mãn \displaystyle x>\sqrt{a}. Gọi \displaystyle B là tập tất cả các số nguyên dương \displaystyle k sao cho \displaystyle (1) đúng, với \displaystyle x\displaystyle y là các số nguyên thỏa mãn \displaystyle 0\leq x<\sqrt{a}. Chứng minh rằng \displaystyle A=B.
N6. Tìm tất cả các hàm \displaystyle f:\mathbb{N}^*\to\mathbb{N}^* sao cho với mỗi hai số nguyên dương \displaystyle m\displaystyle n, \displaystyle f(m)+f(n)-mn khác \displaystyle 0 và chia hết \displaystyle mf(m)+nf(n). Continue reading “IMO 2016 Shortlist – Number theory”

IMO 2016 Shortlist – Algebra


A1. Cho \displaystyle a,b,c là các số thực dương thỏa mãn \displaystyle \min\{ab,bc,ca\}\geq 1. Chứng minh rằng
\displaystyle \sqrt[3]{(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)}\leq \left(\frac{a+b+c}{3}\right)^2+1.
A2. Tìm hằng số thực \displaystyle C nhỏ nhất sao cho: Với mỗi \displaystyle 5 số thực dương (không cần phân biệt) \displaystyle a_1, \displaystyle a_2, \displaystyle a_3, \displaystyle a_4\displaystyle a_5, tồn tại các chỉ số \displaystyle i, \displaystyle j, \displaystyle k\displaystyle l đôi một khác nhau để \displaystyle \left|\frac{a_i}{a_j}-\frac{a_k}{a_l}\right|\leq C.
A3. Tìm tất cả các số nguyên \displaystyle n>2 có tính chất: với mỗi \displaystyle 2n số thực \displaystyle a_1, \displaystyle a_2,\cdots, \displaystyle a_n; \displaystyle b_1, \displaystyle b_2,\cdots, \displaystyle b_n thỏa mãn \displaystyle |a_k|+|b_k|=1\,\forall k=1,2,\cdots,n, tồn tại \displaystyle n số \displaystyle x_1,x_2,\cdots,x_n\in\{-1;1\} sao cho \displaystyle \left|\sum_{k=1}^nx_ka_k\right|+\left|\sum_{k=1}^nx_kb_k\right|\leq 1.
A4. Tìm tất cả các hàm số \displaystyle f:(0;+\infty)\to (0;+\infty) sao cho
\displaystyle xf(x^2)f(f(y))+f(yf(x))=f(xy)(f(f(x^2))+f(f(y^2))),\quad \forall x,y\in (0;+\infty).
A5.
(a) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương \displaystyle n, tồn tại phân số \displaystyle a/b thỏa mãn \displaystyle 0<b\leq 1+\sqrt{n}\displaystyle \sqrt{n}\leq\dfrac{a}{b}\leq\sqrt{n+1}.
(b) Chứng minh rằng có vô hạn số nguyên dương \displaystyle n sao cho không tồn tại phân số \displaystyle a/b thỏa mãn \displaystyle 0<b\leq\sqrt{n}\displaystyle \sqrt{n}\leq\dfrac{a}{b}\leq\sqrt{n+1}. Continue reading “IMO 2016 Shortlist – Algebra”

IMO 2017 – Day 2


Day 1 https://nttuan.org/2017/07/19/imo-2017-day-1/

—-

Bài 4. Cho R,S là hai điểm phân biệt trên đường tròn \Omega sao cho RS không phải đường kính. Gọi l là tiếp tuyến của \Omega tại R. Lấy T sao cho S là trung điểm của đoạn thẳng RT. Lấy J trên cung nhỏ RS của \Omega sao cho (JST) cắt l tại hai điểm phân biệt. Gọi A là giao điểm gần R nhất của l(JST). AJ cắt lại \Omega tại K. Chứng minh KT tiếp xúc với (JST).
Bài 5. Cho số nguyên N>1. Có N(N+1) cầu thủ bóng đá với chiều cao đôi một khác nhau đứng thành một hàng ngang. Ngài Alex muốn đưa N(N-1) cầu thủ ra khỏi hàng sao cho ở hàng ngang mới nhận được, N điều kiện sau được thỏa mãn đồng thời:
(1) Không có cầu thủ nào đứng giữa hai cầu thủ cao nhất.
(2) Không có cầu thủ nào đứng giữa cầu thủ cao thứ ba và cao thứ tư.
\cdots\cdots\cdots
(N) Không có cầu thủ nào đứng giữa hai cầu thủ thấp nhất.
Chứng minh ngài Alex luôn có thể làm được điều đó. Continue reading “IMO 2017 – Day 2”

Problems From the Book


Tôi giới thiệu với các bạn chuẩn bị tham dự kì thi chọn đội tuyển Toán Việt Nam tham dự IMO (Vietnam TST) hai cuốn sách sau đây:

1) “Problems From the Book” của Titu Andreescu và Gabriel Dospinescu.

Đây là đoạn mô tả trên trang của nhà xuất bản XYZ: “The authors provide a combination of enthusiasm and experience which will delight any reader. In this volume they present innumerable beautiful results, intriguing problems, and ingenious solutions. The problems range from elementary gems to deep truths. A trully delightful and highly instructive book, this will prepare the engaged reader not only for any mathematics competition they may enter but also for a life time of mathematical enjoyment. A must for the bookshelves of both aspiring and seasoned mathematicians.”

Bạn mua từ nhà xuất bản hoặc tìm E-book.

2) “Straight from the Book” của Titu Andreescu và Gabriel Dospinescu.

Cuốn 1) có rất nhiều bài tập về nhà, và nhiều bài rất khó. Cuốn 2) sẽ có lời giải của hầu hết các bài tập về nhà trong 1). Đây là đoạn mô tả trên trang của nhà xuất bản XYZ: “This book is a compilation of many suggestions, much advice, and even more hard work. Its main objective is to provide solutions to the problems which were originally proposed in the first 12 chapters of “Problems from the Book”. The volume is far more than a collection of solutions. The solutions are used as motivation for the introduction of some very clear expositions of mathematics. And this is modern, current, up-to-the-minute mathematics. This is absolutely state-of-the-art material. Everyone who loves mathematics and mathematical thinking should acquire this book.”

Editorial Reviews

(Đoạn này được lấy từ amazon. )

This is an exceptionally well-written book. The material is arranged in small chapters, with brief theory in the beginning of each chapter followed by a set of exceptionally difficult problems with solutions. These solutions are elegant, innovative and beautiful. You learn a lot from the solutions. In every page, you will discover one or more clever steps/tricks that will make you wonder “How come I could not think of that?”. If you are preparing for Mathematics Olympiads, working through this book will boost your confidence 100 fold. If you are a math enthusiast, you will enjoy the material – most of it is “Mathematical poetry”. Grab it before it gets sold out! –Dr S Muralidharan

Problems from the Book is rife with elegant mathematical pursuits that are well worth the effort of exploring and solving. For high schoolers up through University students, the book’s problems will illustrate important concepts and provide hours of fun at every sitting. –David Cordeiro

This book is a treasure of the mathematical gems: many many very nice problems and results, historic notes and useful comments. Readers will also find many very interesting original problems from the authors of the book and from others. If you want to develop your mathematical skills in problem solving and your knowledge in diverse mathematical branches, you will definitely find many instructive topics throughout this book. Many thanks to Prof. Andreescu and his colleagues for their invaluable books and problems. I do highly recommend this book and all other books by Prof. Andreescu to all mathematics lovers: from the pupils preparing to participate in mathematical contests to people searching excitement in mathematics. The book contains the following 23 chapters, in addition to preface, bibliography and index: 1. Some Useful Substitutions 2. Always Cauchy-Schwarz … 3. Look at the Exponent 4. Primes and Squares 5. T2’s Lemma 6. Some Classical Problems in Extremal Graph theory 7. Complex Combinatorics 8. Formal Series Revisited 9. A Brief Introduction to Algebraic Number Theory 10. Arithmetic Properties of Polynomials 11. Lagrange Interpolation Formula 12. Higher Algebra in Combinatorics 13. Geometry and Numbers 14. The Smaller, The Better 15. Density and Regular Distribution 16. The Digit Sum of Positive Integer 17. At the Border of Analysis and Number Theory 18. Quadratic Reciprocity 19. Solving Elementary Inequalities Using Integrals 20. Pigeonhole Principle Revisited 21. Some Useful Irreducibility Criteria 22. Cycles, Paths and Other Ways 23. Some Special Applications of Polynomials –H. A. Shah Ali.

Bạn mua từ nhà xuất bản hoặc tìm E-book. Continue reading “Problems From the Book”