Problems From the Book


Tôi giới thiệu với các bạn chuẩn bị tham dự kì thi chọn đội tuyển Toán Việt Nam tham dự IMO (Vietnam TST) hai cuốn sách sau đây:

1) “Problems From the Book” của Titu Andreescu và Gabriel Dospinescu.

Đây là đoạn mô tả trên trang của nhà xuất bản XYZ: “The authors provide a combination of enthusiasm and experience which will delight any reader. In this volume they present innumerable beautiful results, intriguing problems, and ingenious solutions. The problems range from elementary gems to deep truths. A trully delightful and highly instructive book, this will prepare the engaged reader not only for any mathematics competition they may enter but also for a life time of mathematical enjoyment. A must for the bookshelves of both aspiring and seasoned mathematicians.”

Bạn mua từ nhà xuất bản hoặc tìm E-book.

2) “Straight from the Book” của Titu Andreescu và Gabriel Dospinescu.

Cuốn 1) có rất nhiều bài tập về nhà, và nhiều bài rất khó. Cuốn 2) sẽ có lời giải của hầu hết các bài tập về nhà trong 1). Đây là đoạn mô tả trên trang của nhà xuất bản XYZ: “This book is a compilation of many suggestions, much advice, and even more hard work. Its main objective is to provide solutions to the problems which were originally proposed in the first 12 chapters of “Problems from the Book”. The volume is far more than a collection of solutions. The solutions are used as motivation for the introduction of some very clear expositions of mathematics. And this is modern, current, up-to-the-minute mathematics. This is absolutely state-of-the-art material. Everyone who loves mathematics and mathematical thinking should acquire this book.”

Editorial Reviews

(Đoạn này được lấy từ amazon. )

This is an exceptionally well-written book. The material is arranged in small chapters, with brief theory in the beginning of each chapter followed by a set of exceptionally difficult problems with solutions. These solutions are elegant, innovative and beautiful. You learn a lot from the solutions. In every page, you will discover one or more clever steps/tricks that will make you wonder “How come I could not think of that?”. If you are preparing for Mathematics Olympiads, working through this book will boost your confidence 100 fold. If you are a math enthusiast, you will enjoy the material – most of it is “Mathematical poetry”. Grab it before it gets sold out! –Dr S Muralidharan

Problems from the Book is rife with elegant mathematical pursuits that are well worth the effort of exploring and solving. For high schoolers up through University students, the book’s problems will illustrate important concepts and provide hours of fun at every sitting. –David Cordeiro

This book is a treasure of the mathematical gems: many many very nice problems and results, historic notes and useful comments. Readers will also find many very interesting original problems from the authors of the book and from others. If you want to develop your mathematical skills in problem solving and your knowledge in diverse mathematical branches, you will definitely find many instructive topics throughout this book. Many thanks to Prof. Andreescu and his colleagues for their invaluable books and problems. I do highly recommend this book and all other books by Prof. Andreescu to all mathematics lovers: from the pupils preparing to participate in mathematical contests to people searching excitement in mathematics. The book contains the following 23 chapters, in addition to preface, bibliography and index: 1. Some Useful Substitutions 2. Always Cauchy-Schwarz … 3. Look at the Exponent 4. Primes and Squares 5. T2’s Lemma 6. Some Classical Problems in Extremal Graph theory 7. Complex Combinatorics 8. Formal Series Revisited 9. A Brief Introduction to Algebraic Number Theory 10. Arithmetic Properties of Polynomials 11. Lagrange Interpolation Formula 12. Higher Algebra in Combinatorics 13. Geometry and Numbers 14. The Smaller, The Better 15. Density and Regular Distribution 16. The Digit Sum of Positive Integer 17. At the Border of Analysis and Number Theory 18. Quadratic Reciprocity 19. Solving Elementary Inequalities Using Integrals 20. Pigeonhole Principle Revisited 21. Some Useful Irreducibility Criteria 22. Cycles, Paths and Other Ways 23. Some Special Applications of Polynomials –H. A. Shah Ali.

Bạn mua từ nhà xuất bản hoặc tìm E-book. Continue reading “Problems From the Book”

Một số trang về Olympic Toán


Tôi có post một số trang về Olympic Toán trên facebook  nhưng nó cứ chìm xuống khi đăng một bài khác, vì thế nên tôi lập topic này để lưu các link đó lại.

P. S. Hãy góp link bằng cách comment các bạn nhé! 🙂

Continue reading “Một số trang về Olympic Toán”

IMO 2015 Shortlist (*.pdf, full)


Tôi gửi tặng mọi người 2 file pdf: Một file là bản tiếng Việt ISL 2015 do tôi dịch, file còn lại là bản tiếng Anh chính thức.

Continue reading “IMO 2015 Shortlist (*.pdf, full)”

IMO Shortlist 2015 – Number theory


Các bạn có thể xem các phần trước của ISL 2015 ở các link

https://nttuan.org/2016/08/25/topic-812/

https://nttuan.org/2016/08/20/topic-811/

https://nttuan.org/2016/08/06/topic-807/

N1. Tìm tất cả các số nguyên dương M sao cho dãy a_0, a_1, a_2, \cdots xác định bởi a_0 = M + \dfrac{1}{2}a_{k+1} = a_k\lfloor a_k \rfloor với k = 0, 1, 2, \cdots chứa ít nhất một số nguyên.

N2. Cho các số nguyên dương ab sao cho a! + b! chia hết a!b!. Chứng minh 3a \ge 2b + 2.

N3. Cho mn là các số nguyên dương sao cho m>n. Định nghĩa x_k=\dfrac{m+k}{n+k} với k=1,2,\ldots,n+1. Chứng minh rằng nếu x_1,x_2,\ldots,x_{n+1} là các số nguyên thì x_1x_2\ldots x_{n+1}-1 chia hết cho một số nguyên tố lẻ.

N4. Cho a_0, a_1, \cdots b_0, b_1, \cdots là hai dãy các số nguyên dương thỏa mãn a_0, b_0 \ge 2

a_{n+1} = \gcd{(a_n, b_n)} + 1, b_{n+1} = \text{lcm}{(a_n, b_n)} - 1. Chứng minh dãy a_n là hằng kể từ lúc nào đó.

N5. Tìm tất cả các bộ ba (a,b,c) các số nguyên dương sao cho

ab-c,\quad bc-a,\quad ca-b là các lũy thừa của 2. Continue reading “IMO Shortlist 2015 – Number theory”

IMO Shortlist 2015 – Geometry


Mọi người xem hai phần trước ở https://nttuan.org/2016/08/20/topic-811/https://nttuan.org/2016/08/06/topic-807/ nhé!

G1. Cho tam giác nhọn ABC với trực tâm H. Gọi G là điểm sao cho ABGH là một hình bình hành. Gọi I là điểm trên đường thẳng GH sao cho AC chia đôi HI. Giả sử đường thẳng AC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác GCI tại CJ. Chứng minh IJ = AH.

G2. Tam giác ABC có đường tròn ngoại tiếp \Omega và tâm đường tròn ngoại tiếp O. Một đường tròn \Gamma tâm A cắt đoạn BC tại DE sao cho B, D, E, và C khác nhau và nằm trên BC theo thứ tự này. Cho FG là giao điểm của \Gamma\Omega sao cho A, F, B, C, và G nằm trên \Omega theo thứ tự này. Gọi K là giao điểm thứ hai của đường tròn ngoại tiếp tam giác BDF và đoạn AB. Gọi L là giao điểm thứ hai của đường tròn ngoại tiếp tam giác CGE và đoạn CA. Giả sử FKGL cắt nhau tại X. Chứng minh rằng X thuộc AO.

G3. Cho tam giác ABC với \angle{C} = 90^{\circ}, và H là chân đường cao qua C. Chọn điểm D bên trong tam giác CBH sao cho CH chia đôi AD. Gọi P là giao điểm của hai đường thẳng BDCH. Gọi \omega là nửa đường tròn đường kính BD cắt đoạn CB tại một điểm nằm trong. Một đường thẳng qua P tiếp xúc với \omega tại Q. Chứng minh CQAD cắt nhau trên \omega.

G4. Cho tam giác nhọn ABCM là trung điểm của AC. Một đường tròn \omega qua BM cắt các cạnh ABBC lần lượt tại PQ. Gọi T là điểm sao cho BPTQ là một hình bình hành. Giả sử rằng T nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tính \dfrac{BT}{BM}.

G5. Cho tam giác ABC với CA \neq CB. Gọi D, F, và G lần lượt là trung điểm của AB, AC, và BC. Một đường tròn \Gamma qua C và tiếp xúc với AB tại D cắt đoạn AF và đoạn BG lần lượt tại HI. Các điểm H'I' đối xứng với HI qua FG, tương ứng. Đường thẳng H'I' cắt CDFG lần lượt tại QM. Đường thẳng CM cắt \Gamma lần hai tại P. Chứng minh CQ = QP.

G6. Cho tam giác nhọn ABC với AB > AC. Gọi \Gamma là đường tròn ngoại tiếp, H là trực tâm, và F là chân đường cao qua A của tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của BC. Gọi Q là điểm trên \Gamma sao cho \angle HQA = 90^{\circ}K là điểm trên \Gamma sao cho \angle HKQ = 90^{\circ}. Giả sử rằng A, B, C, KQ khác nhau và nằm trên \Gamma theo thứ tự này. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác KQH tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác FKM. Continue reading “IMO Shortlist 2015 – Geometry”

IMO Shortlist 2015 – Combinatorics


Mọi người xem phần đầu ở đây nhé: Algebra https://nttuan.org/2016/08/06/topic-807/. Dưới đây là phần Tổ hợp.

C1. Ở Lineland có n\geq1 thị trấn, được sắp xếp dọc một con đường từ trái sang phải. Mỗi thị trấn có một xe ủi trái (đặt bên trái của thị trấn và hướng sang trái) và một xe ủi phải (đặt bên phải của thị trấn và hướng sang phải). Kích thước của 2n xe ủi là đôi một khác nhau. Tại mỗi thời điểm khi một xe ủi trái đối diện một xe ủi phải, xe lớn hơn sẽ đẩy xe nhỏ hơn ra khỏi đường. Mặt khác, các xe ủi sẽ không được bảo vệ đằng sau; vì vậy, nếu một xe ủi húc vào đuôi của xe khác thì nó sẽ đẩy xe bị húc ra khỏi đường. Cho AB là hai thị trấn, với B nằm bên phải A. Ta nói A có thể quét B biến mất nếu xe ủi phải của A có thể di chuyển đến B và đẩy tất cả xe ủi mà nó gặp ra khỏi đường. Tương tự, B có thể quét A biến mất nếu xe ủi trái của B có thể di chuyển tới A và đẩy tất cả xe ủi mà nó gặp ra khỏi đường. Chứng minh rằng có đúng một thị trấn không bị quét biến mất bởi mỗi thì trấn còn lại.

C2. Ta nói tập hữu hạn \mathcal{S} các điểm trong mặt phẳng là cân bằng nếu với mỗi hai điểm khác nhau AB trong \mathcal{S}, tồn tại C trong \mathcal{S} sao cho AC=BC. Ta nói \mathcal{S}không tâm nếu với mỗi ba điểm phân biệt A, BC của \mathcal{S}, không tồn tại P trong \mathcal{S} sao cho PA=PB=PC.

(a) Chứng minh rằng với mỗi n\ge 3, tồn tại tập cân bằng chứa n điểm.

(b) Xác định tất cả n\ge 3 sao cho tồn tại tập cân bằng và không tâm chứa n điểm.

C3. Với tập hữu hạn các số nguyên dương A, một phân hoạch của A thành hai tập con khác rỗng A_1, A_2 được gọi là tốt nếu bội chung nhỏ nhất của các phần tử trong A_1 bằng ước chung lớn nhất của các phần tử trong A_2. Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho tồn tại tập gồm n số nguyên dương với đúng 2015 phân hoạch tốt.

C4. Cho số nguyên dương n. Hai người chơi AB chơi một trò chơi chọn các số nguyên dương k \le n. Luật chơi là:

(i) Người chơi không được chọn số đã được chọn ở các bước trước.

(ii) Người chơi không được chọn số liên tiếp với các số đã được người đó chọn ở các bước trước.

(iii) Trò chơi sẽ kết thúc với kết quả hòa nếu không còn số nào để chọn; trong trường hợp còn lại, ai không chọn được sẽ thua.

A đi trước. Xác định kết quả của trò chơi, giả sử rằng cả hai cùng chơi giỏi.

C5. Cho dãy các số nguyên a_1,a_2,\dots thỏa mãn đồng thời hai điều kiện:

(i) 1\le a_j\le2015 với mỗi j\ge1,

(ii) k+a_k\neq \ell+a_\ell với mỗi 1\le k<\ell.

Chứng minh rằng tồn tại hai số nguyên dương bN sao cho

\displaystyle \left\vert\sum_{j=m+1}^n(a_j-b)\right\vert\le1007^2 với mỗi hai số mn thỏa mãn n>m\ge N. Continue reading “IMO Shortlist 2015 – Combinatorics”

IMO Shortlist 2015 – Algebra


Trong topic này và 3 topic sau tôi sẽ dịch các bài toán từ IMO Shortlist 2015.

A1. Dãy a_1,a_2,\ldots các số thực dương thỏa mãn

a_{k+1}\geq\dfrac{ka_k}{a_k^2+(k-1)} với mọi số nguyên dương k. Chứng minh rằng a_1+a_2+\ldots+a_n\geq n với mọi n\geq 2.

A2. Tìm tất cả các hàm f:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z} sao cho

f(x-f(y))=f(f(x))-f(y)-1\,\,\forall x,y\in\mathbb{Z}.

A3. Cho số nguyên dương n. Tìm giá trị lớn nhất của

\displaystyle\sum_{1 \le r < s \le 2n} (s-r-n)x_rx_s, ở đây -1 \le x_i \le 1 với mỗi i = 1, \cdots 2n.

A4. Tìm tất cả các hàm f:\mathbb R\to\mathbb R sao cho

f(x+f(x+y))+f(xy)=x+f(x+y)+yf(x)\,\,\forall x,y\in\mathbb{R}.

A5. Kí hiệu 2\mathbb{Z} + 1 là tập các số nguyên lẻ. Tìm tất cả các hàm f:\mathbb{Z} \to 2\mathbb{Z} + 1 sao cho

f(x + f(x) + y) + f(x - f(x) - y) = f(x+y) + f(x-y)\,\,\forall x, y \in \mathbb{Z}. Continue reading “IMO Shortlist 2015 – Algebra”

IMO training 2016 (2)


Chào các bạn đồng nghiệp,

trong topic này tôi tiếp tục chia sẻ các bài toán tôi đã dùng cho đợt luyện đội IMO 2016 vừa rồi. Mọi người có thể xem phần đầu ở link  https://nttuan.org/2016/07/22/topic-804/

—–

Bài 1. Với mỗi số nguyên dương n, gọi f(n) là chữ số khác 0 cuối cùng trong biểu diễn thập phân của n!. Chứng minh rằng f(625n)=f(n)\,\,\forall n>1.

Bài 2.

1) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho với vô hạn số nguyên dương a ta có a^n+a^{n-1}+\cdots+1|a^{n!}+a^{(n-1)!}+\cdots+a^{1!}+1.

2) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho tồn tại số nguyên a>1 sao cho

a^n+a^{n-1}+\cdots+1|a^{n!}+a^{(n-1)!}+\cdots+a^{1!}+1.

Bài 3. Cho số nguyên tố p>3. Với mỗi tập S\subset\mathbb{Z}a\in \mathbb{Z}, định nghĩa

S_{a}= \{x\in \{0,1,2,\ldots,p-1\} \mid (\exists s \in S) x\equiv a \cdot s \pmod{p} \}.

(i) Có bao nhiêu tập S\subset \{ 1,2,\ldots,p-1 \} sao cho dãy S_{1},S_{2},...,S_{p-1} chứa đúng 2 phần tử khác nhau?

(ii) Tìm tất cả các số nguyên dương k sao cho tồn tại S\subset \{1,2,3,\ldots,p-1\} để dãy S_{1},S_{2},\ldots,S_{p-1} chứa đúng k phần tử khác nhau.

Bài 4. Cho số nguyên n\ge 2, một hàm f:\mathbb{Z}\to \{1,2,\ldots,n\} được gọi là tốt, nếu với mỗi số nguyên k,1\le k\le n-1 tồn tại số nguyên j sao cho với mỗi số nguyên m ta có

f(m+j)\equiv f(m+k)-f(m) \pmod{n+1}. Tìm số hàm tốt.

Bài 5. Cho số nguyên tố p. Chứng minh rằng

a) Nếu p>5k là số tự nhiên thỏa mãn 3<k<p thì kpA_{k-1}-2A_k chia hết cho p^4;

b) Nếu p>3 thì p^2A_{p-1}-2A_p chia hết cho p^5.

Ở đây A_i=1^i+2^i+\cdots+(p-1)^i\,\,\forall i\in\mathbb{N}. Continue reading “IMO training 2016 (2)”

IMO training 2016 (1)


Chào các bạn đồng nghiệp,

đây là một số bài toán tôi dùng để luyện cho đội IMO 2016. Tuyển tập này gồm nhiều phần, đây là phần thứ nhất.

Bài 1. Cho a,bc là các số nguyên dương thỏa mãn ab chia hết c(c^{2}-c+1)a+b chia hết cho c^{2}+1. Chứng minh rằng \{a,b\}=\{c,c^{2}-c+1\}.

Bài 2. Cho ab là hai số hữu tỷ dương khác nhau sao cho với vô hạn số nguyên dương n, số a^n-b^n là số nguyên. Chứng minh rằng ab là các số nguyên.

Bài 3. Cho số nguyên n\ge 2. Chứng minh rằng nếu k^2+k+n là số nguyên tố với mỗi số nguyên k thỏa mãn 0\le k\le\sqrt{\dfrac{n}{3}} thì nó cũng là số nguyên tố với mỗi số nguyên k thỏa mãn 0\le k\le n-2.

Bài 4. Liệu có tồn tại hay không một cấp số cộng tăng gồm 40 số hạng sao cho mỗi số hạng của nó có dạng 2^k+3^l\,\, (k,l\in\mathbb{N})?

Bài 5. Cho b là một số nguyên lớn hơn 5. Với mỗi số nguyên dương n, xét số x_n = \underbrace{11\cdots1}_{n - 1}\underbrace{22\cdots 2}_{n}5, trong cơ số b. Chứng minh rằng tính chất sau thỏa mãn khi và chỉ khi b=10: Tồn tại số nguyên dương M sao cho với mỗi số nguyên n>M, số x_n là một số chính phương. Continue reading “IMO training 2016 (1)”

IMO 2016


IMO lần thứ 57 (57th International Mathematical Olympiad) được tổ chức ở Hong Kong với sự tham gia của hơn 100 nước, mỗi nước không quá 6 thí sinh.

Kì thi này được tổ chức lần đầu ở Rumani vào năm 1959, Việt Nam tham gia từ năm 1974 (năm 1977 và 1981 không tham gia). Đoàn Việt Nam tham dự năm nay:

IMO2016P1

Nhìn vào hình trên ta thấy đoàn mình năm nay gồm 15 người (hơi đông :P, ít hơn mỗi đoàn Brazil thì phải?), trưởng đoàn là thầy Lê Anh Vinh, phó đoàn là thầy Lê Bá Khánh Trình; quan sát viên là các thầy Nguyễn Khắc Minh, Nguyễn Chu Gia Vượng, Nguyễn Thanh Sơn, Nguyễn Hữu Tâm, Nguyễn Khánh Ngọc, Nguyễn Hoàng Cương, và cô Đào Thị Lê Dung. 6 thành viên còn lại là các bạn học sinh sẽ tham gia thi:

1) Đào Vũ Quang, THPT chuyên Hà Nội – Amsterdam, Hà Nội;
2) Vũ Xuân Trung, THPT chuyên Thái Bình, Thái Bình;
3) Hoàng Anh Dũng, THPT chuyên Lam Sơn, Thanh Hoá;
4) Phạm Nguyễn Mạnh, PTNK – ĐHQG Tp. HCM;
5) Lê Nhật Hoàng, THPT chuyên Lê Quý Đôn, Bình Định;
6) Vũ Đức Tài, THPT chuyên Lê Hồng Phong, Nam Định.

Theo thông tin từ Ban tổ chức ( trên trang http://www.imo2016.org/ ), hình thức của đề thi năm nay vẫn như các năm trước, nghĩa là ta thi trong 2 ngày, mỗi ngày phải giải 3 bài toán trong 4 tiếng rưỡi. Các bạn có thể xem các bài toán năm trước ở trang http://www.imo-official.org/problems.aspx .

Năm nay các bạn thí sinh sẽ làm bài trong hai ngày: 11 và 12/7, mỗi ngày bắt đầu từ 9h sáng. Tôi sẽ post đề thi và kết quả của đội Việt Nam trong topic này, ngay khi tôi có thông tin!

Continue reading “IMO 2016”