IMO 2019 – Problems and Solutions


Mời các bạn tải về dùng cho tiện.

  1. Đề thi IMO 2019 Download -IMO2019 Vie
  2. IMO Shortlist 2018 (Chính thức) Download – IMO2018SL
  3. Đáp án được tổng hợp bởi Evan Chen Download – IMO2019sol
  4. Đáp án chính thức IMO2019 – solutions
  5. Link thảo luận các bài toán IMO 2019 trên AoPS:

Bài 1. https://artofproblemsolving.com/community/c6t360f6h1876068

Bài 2. https://artofproblemsolving.com/community/c6t360f6h1876070

Bài 3. https://artofproblemsolving.com/community/c6t360f6h1876067

Bài 4. https://artofproblemsolving.com/community/c6t360f6h1876742

Bài 5. https://artofproblemsolving.com/community/c6t360f6h1876772

Bài 6. https://artofproblemsolving.com/community/c6t360f6h1876745

Các em học sinh tải đề về làm thử, khoảng 1 tuần sau (hoặc lâu hơn) vào 6 links trên để thảo luận nhé!


Tham khảo:

[1] https://www.imo-official.org/year_info.aspx?year=2019

[2] http://web.evanchen.cc/problems.html

[3] https://artofproblemsolving.com/

[4] https://www.imo2019.uk/

IMO 2014 Shortlist – Number theory


Bài 1. Cho số nguyên \displaystyle n \ge 2, và tập \displaystyle A_n = \{2^n - 2^k\mid k \in \mathbb{Z},\, 0 \le k < n\}. Xác định số nguyên dương lớn nhất không thể viết thành tổng của một hoặc một vài phần tử (không nhất thiết phân biệt) của \displaystyle A_n.
Bài 2. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương \displaystyle (x, y) sao cho \displaystyle \sqrt[3]{7x^2-13xy+7y^2}=|x-y|+1.
Bài 3. Với mỗi số nguyên dương \displaystyle n, ngân hàng phát hành các đồng xu với mệnh giá \displaystyle \frac{1}{n}. Cho một họ hữu hạn các đồng xu như vậy (không nhất thiết các đồng xu có mệnh giá khác nhau) sao cho tổng các mệnh giá của các đồng xu không vượt quá \displaystyle 99+\frac{1}{2}. Chứng minh rằng có thể chia họ này thành không quá \displaystyle 100 nhóm, sao cho tổng mệnh giá của các đồng xu trong mỗi nhóm không vượt quá \displaystyle 1.
Bài 4. Cho số nguyên \displaystyle n > 1 và dãy số \displaystyle (a_k )_{k\ge 1} xác định bởi \displaystyle a_k=\left[\frac{n^k}{k}\right],\,\,\forall k\geq 1. Chứng minh rằng dãy số \displaystyle (a_k )_{k\ge 1} chứa vô hạn số hạng lẻ.
Bài 5. Tìm tất cả các số nguyên tố \displaystyle p và các cặp số nguyên dương \displaystyle (x, y) sao cho \displaystyle x^{p -1} + y\displaystyle x + y^ {p -1} đều là các lũy thừa của \displaystyle p.
Bài 6. Cho \displaystyle a_1 < a_2 < \cdots <a_n là các số nguyên dương đôi một nguyên tố cùng nhau sao cho \displaystyle a_1 là số nguyên tố và \displaystyle a_1 \ge n + 2. Trên đoạn \displaystyle I = [0, a_1 a_2 \cdots a_n ] của trục số, đánh dấu tất cả các số nguyên chia hết cho ít nhất một trong các số \displaystyle a_1, \displaystyle a_2, \displaystyle \ldots, \displaystyle a_n. Các điểm này chia \displaystyle I thành các đoạn nhỏ hơn. Chứng minh rằng tổng bình phương của các độ dài của các đoạn đó chia hết cho \displaystyle a_1. Continue reading “IMO 2014 Shortlist – Number theory”

IMO 2016 Shortlist (*.pdf, full)


Tôi gửi tặng mọi người 2 file pdf: Một file là bản tiếng Việt ISL 2016 do tôi dịch, file còn lại là bản tiếng Anh chính thức.

Nếu có chỗ nào sai, hãy báo cho tôi.

Continue reading “IMO 2016 Shortlist (*.pdf, full)”

IMO 2016 Shortlist – Geometry


Các bạn có thể xem các phần trước ở các link dưới đây:
https://nttuan.org/2017/07/21/imo-2016-shortlist-number-theory/
https://nttuan.org/2017/07/20/imo-2016-shortlist-algebra/
https://nttuan.org/2017/07/23/imo-2016-shortlist-combinatorics/
——–
G1. Cho tam giác BCF vuông tại B. Gọi A là một điểm trên đường thẳng CF sao cho FA=FBF nằm giữa A,C. Lấy D sao cho DA=DCAC là phân giác của \angle{DAB}. Điểm E được chọn sao cho EA=EDAD là phân giác của \angle{EAC}. Gọi M là trung điểm của CF. Gọi X là điểm sao cho AMXE là hình bình hành. Chứng minh BD,FXME đồng quy.
G2. Cho tam giác ABC với đường tròn ngoại tiếp \Gamma, tâm nội tiếp I. Gọi M là trung điểm của BC. Các điểm D, E, F lần lượt nằm trên các cạnh BC, CA, AB sao cho ID \perp BC, IE\perp AI, IF\perp AI. Biết (AEF) cắt \Gamma tại hai điểm phân biệt XA. Chứng minh XDAM cắt nhau trên \Gamma.
G3. Cho B = (-1, 0)C = (1, 0). Một tập con S khác rỗng và bị chặn của mặt phẳng được gọi là tốt nếu
\text{(i)}T trong S sao cho với mỗi Q trong S, đoạn TQ nằm trong S; và
\text{(ii)} với mỗi tam giác P_1P_2P_3, tồn tại duy nhất A trong S và hoán vị \sigma của \{1, 2, 3\} để ABCP_{\sigma(1)}P_{\sigma(2)}P_{\sigma(3)} đồng dạng.
Chứng minh tồn tại hai tập con tốt khác nhau SS' của \{(x, y) : x \geq 0, y \geq 0\} thỏa mãn: nếu A \in SA' \in S' là các điểm tồn tại duy nhất trong \text{(ii)}, thì BA \cdot BA' là hằng số không phụ thuộc tam giác P_1P_2P_3. Continue reading “IMO 2016 Shortlist – Geometry”

IMO 2016 Shortlist – Combinatorics


Các bạn có thể xem hai phần trước ở các link dưới đây:
Số học https://nttuan.org/2017/07/21/imo-2016-shortlist-number-theory/
Đại số https://nttuan.org/2017/07/20/imo-2016-shortlist-algebra/
—-
C1. Trưởng đoàn của một đội IMO chọn hai số nguyên dương \displaystyle n\displaystyle k thỏa mãn \displaystyle n>k, và gửi chúng đến phó đoàn và một thí sinh trong đoàn. Sau đó trưởng đoàn bí mật gửi cho phó đoàn một xâu nhị phân độ dài \displaystyle n, và phó đoàn viết ra một xâu nhị phân độ dài \displaystyle n khác xâu của trưởng đoàn đúng \displaystyle k vị trí. Thí sinh được nhìn xâu của phó đoàn và phải đoán xâu của trưởng đoàn. Hỏi thí sinh cần đoán ít nhất bao nhiêu lần để có câu trả lời đúng?
C2. Tìm tất cả các số nguyên dương \displaystyle n sao cho tất cả các ước dương của \displaystyle n có thể đặt vào các ô của bảng chữ nhật để các điều kiện sau được thỏa mãn đồng thời:
(a) mỗi ô chứa một ước phân biệt;
(b) tổng các số trên mỗi hàng bằng nhau;
(c) tổng các số trên mỗi cột bằng nhau.
C3. Cho số nguyên dương \displaystyle n nguyên tố cùng nhau với \displaystyle 6. Ta tô các đỉnh của một \displaystyle n-giác đều bởi ba màu (mỗi đỉnh tô đúng một màu) sao cho với mỗi màu, có một số lẻ đỉnh mang màu đó. Chứng minh rằng tồn tại một tam giác cân có ba đỉnh khác màu.
C4.Tìm tất cả các số nguyên dương \displaystyle n sao cho trên mỗi ô vuông con của bảng \displaystyle n \times n ta có thể viết một trong các chữ cái \displaystyle I,M\displaystyle O để hai điều kiện sau được thỏa mãn đồng thời:
1) trên mỗi dòng và mỗi cột, một phần ba là I, một phần ba là M và một phần ba là O;
2) trên mỗi đường chéo có số ô là bội của 3, một phần ba là I, một phần ba là M và một phần ba là O.
Chú ý. Các dòng và các cột của một bảng \displaystyle n \times n được đánh số từ \displaystyle 1 đến \displaystyle n theo cách tự nhiên. Như vậy mỗi ô tương ứng với một cặp số nguyên dương \displaystyle (i,j) với \displaystyle 1 \le i,j \le n. Khi \displaystyle n>1, bảng có \displaystyle 4n-2 đường chéo. Các đường chéo này có hai kiểu, kiểu thứ nhất chứa các ô \displaystyle (i,j) với \displaystyle i+j là hằng số, kiểu thứ hai chứa các ô \displaystyle (i,j) với \displaystyle i-j là hằng số. Continue reading “IMO 2016 Shortlist – Combinatorics”

IMO 2016 Shortlist – Number theory


Các bạn có thể xem phần đầu ở https://nttuan.org/2017/07/20/imo-2016-shortlist-algebra/

N1. Với mỗi số nguyên dương \displaystyle k, gọi \displaystyle S(k) là tổng các chữ số của \displaystyle k khi viết trong hệ thập phân. Tìm tất cả \displaystyle P(x)\in\mathbb{Z}[x] sao cho với mỗi số nguyên \displaystyle n\geq 2016, số \displaystyle P(n) là số nguyên dương và \displaystyle S(P(n))=P(S(n)).
N2. Với mỗi số nguyên dương \displaystyle n, gọi \displaystyle \tau (n) là số ước dương của \displaystyle n\displaystyle \tau_1(n) là số ước dương của \displaystyle n chia cho \displaystyle 3\displaystyle 1. Tìm tất cả các giá trị nguyên có thể của \displaystyle \dfrac{\tau (10n)}{\tau_1(10n)}.
N3. Một tập hợp các số nguyên dương được gọi là tập hương nếu tập hợp đó có ít nhất hai phần tử và mỗi phần tử của nó đều có ước nguyên tố chung với ít nhất một trong các phần tử còn lại. Đặt \displaystyle P(n)=n^{2}+n+1. Hãy tìm số nguyên dương \displaystyle b nhỏ nhất sao cho tồn tại số nguyên không âm \displaystyle a để tập hợp \displaystyle \left \{ P(a+1);P(a+2);...;P(a+b) \right \} là tập hương.
N4. Cho các số nguyên dương \displaystyle n,m,k\displaystyle l thỏa mãn \displaystyle n\not=1\displaystyle n^k+m.n^l+1 chia hết \displaystyle n^{k+l}-1. Chứng minh rằng
(a) \displaystyle m=1\displaystyle l=2k hoặc
(b) \displaystyle l|k\displaystyle m=\dfrac{n^{k-l}-1}{n^l-1}.
N5. Cho \displaystyle a là số nguyên dương không chính phương. Gọi \displaystyle A là tập tất cả các số nguyên dương \displaystyle k sao cho \displaystyle k=\dfrac{x^2-a}{x^2-y^2},\quad (1) ở đây \displaystyle x\displaystyle y là các số nguyên thỏa mãn \displaystyle x>\sqrt{a}. Gọi \displaystyle B là tập tất cả các số nguyên dương \displaystyle k sao cho \displaystyle (1) đúng, với \displaystyle x\displaystyle y là các số nguyên thỏa mãn \displaystyle 0\leq x<\sqrt{a}. Chứng minh rằng \displaystyle A=B.
N6. Tìm tất cả các hàm \displaystyle f:\mathbb{N}^*\to\mathbb{N}^* sao cho với mỗi hai số nguyên dương \displaystyle m\displaystyle n, \displaystyle f(m)+f(n)-mn khác \displaystyle 0 và chia hết \displaystyle mf(m)+nf(n). Continue reading “IMO 2016 Shortlist – Number theory”

IMO 2016 Shortlist – Algebra


A1. Cho \displaystyle a,b,c là các số thực dương thỏa mãn \displaystyle \min\{ab,bc,ca\}\geq 1. Chứng minh rằng
\displaystyle \sqrt[3]{(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)}\leq \left(\frac{a+b+c}{3}\right)^2+1.
A2. Tìm hằng số thực \displaystyle C nhỏ nhất sao cho: Với mỗi \displaystyle 5 số thực dương (không cần phân biệt) \displaystyle a_1, \displaystyle a_2, \displaystyle a_3, \displaystyle a_4\displaystyle a_5, tồn tại các chỉ số \displaystyle i, \displaystyle j, \displaystyle k\displaystyle l đôi một khác nhau để \displaystyle \left|\frac{a_i}{a_j}-\frac{a_k}{a_l}\right|\leq C.
A3. Tìm tất cả các số nguyên \displaystyle n>2 có tính chất: với mỗi \displaystyle 2n số thực \displaystyle a_1, \displaystyle a_2,\cdots, \displaystyle a_n; \displaystyle b_1, \displaystyle b_2,\cdots, \displaystyle b_n thỏa mãn \displaystyle |a_k|+|b_k|=1\,\forall k=1,2,\cdots,n, tồn tại \displaystyle n số \displaystyle x_1,x_2,\cdots,x_n\in\{-1;1\} sao cho \displaystyle \left|\sum_{k=1}^nx_ka_k\right|+\left|\sum_{k=1}^nx_kb_k\right|\leq 1.
A4. Tìm tất cả các hàm số \displaystyle f:(0;+\infty)\to (0;+\infty) sao cho
\displaystyle xf(x^2)f(f(y))+f(yf(x))=f(xy)(f(f(x^2))+f(f(y^2))),\quad \forall x,y\in (0;+\infty).
A5.
(a) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương \displaystyle n, tồn tại phân số \displaystyle a/b thỏa mãn \displaystyle 0<b\leq 1+\sqrt{n}\displaystyle \sqrt{n}\leq\dfrac{a}{b}\leq\sqrt{n+1}.
(b) Chứng minh rằng có vô hạn số nguyên dương \displaystyle n sao cho không tồn tại phân số \displaystyle a/b thỏa mãn \displaystyle 0<b\leq\sqrt{n}\displaystyle \sqrt{n}\leq\dfrac{a}{b}\leq\sqrt{n+1}. Continue reading “IMO 2016 Shortlist – Algebra”

IMO 2017 – Day 2


Day 1 https://nttuan.org/2017/07/19/imo-2017-day-1/

—-

Bài 4. Cho R,S là hai điểm phân biệt trên đường tròn \Omega sao cho RS không phải đường kính. Gọi l là tiếp tuyến của \Omega tại R. Lấy T sao cho S là trung điểm của đoạn thẳng RT. Lấy J trên cung nhỏ RS của \Omega sao cho (JST) cắt l tại hai điểm phân biệt. Gọi A là giao điểm gần R nhất của l(JST). AJ cắt lại \Omega tại K. Chứng minh KT tiếp xúc với (JST).
Bài 5. Cho số nguyên N>1. Có N(N+1) cầu thủ bóng đá với chiều cao đôi một khác nhau đứng thành một hàng ngang. Ngài Alex muốn đưa N(N-1) cầu thủ ra khỏi hàng sao cho ở hàng ngang mới nhận được, N điều kiện sau được thỏa mãn đồng thời:
(1) Không có cầu thủ nào đứng giữa hai cầu thủ cao nhất.
(2) Không có cầu thủ nào đứng giữa cầu thủ cao thứ ba và cao thứ tư.
\cdots\cdots\cdots
(N) Không có cầu thủ nào đứng giữa hai cầu thủ thấp nhất.
Chứng minh ngài Alex luôn có thể làm được điều đó. Continue reading “IMO 2017 – Day 2”