China National Olympiad 2011


Bài 1. Cho a_1,a_2,\ldots,a_n là các số thực. Chứng minh rằng

\sum_{i=1}^na_i^2-\sum_{i=1}^n a_i a_{i+1} \le \lfloor \frac{n}{2}\rfloor(M-m)^2, ở đây a_{n+1}=a_1,M=\max_{1\le i\le n} a_i,m=\min_{1\le i\le n} a_i.

Bài 2. Trên đường tròn ngoại tiếp của tam giác nhọn ABC, D là điểm chính giữa của \stackrel{\frown}{BC}, gọi X là một điểm trên \stackrel{\frown}{BD}, E là điểm chính giữa của \stackrel{\frown}{AX}, S nằm trên  \stackrel{\frown}{AX}, đường thẳng SDBC giao nhau tại R, các đường thẳng SEAX giao nhau tại T. Nếu RT \parallel DE. Chứng minh rằng tâm nội tiếp của tam giác ABC nằm trên RT.

Bài 3. Cho A là tập hữu hạn các số thực,A_1,A_2,\cdots,A_n là các tập con khác rỗng của A sao cho

(a) Tổng các phần tử của A bằng 0,

(b) Với mỗi x_i \in A_i(i=1,2,\cdots,n), ta có x_1+x_2+\cdots+x_n>0.

Chứng minh rằng tồn tại 1\le k\le n,1\le i_1<i_2<\cdots<i_k\le n, sao cho |A_{i_1}\bigcup A_{i_2} \bigcup \cdots \bigcup A_{i_k}|<\frac{k}{n}|A|.

Bài 4. Cho n là một số nguyên dương, tập S=\{1,2,\cdots,n\}. Với mỗi hai tập khác rỗng AB, tìm giá trị bé nhất của |A\Delta S|+|B\Delta S|+|C\Delta S|, ở đây C=\{a+b|a\in A,b\in B\}, X\Delta Y=X\cup Y-X\cap Y.

Bài 5. Cho a_i,b_i,i=1,\cdots,n là các số thực không âm và n>3 sao cho a_1+a_2+\cdots+a_n=b_1+b_2+\cdots+b_n>0. Tìm giá trị lớn nhất của \dfrac{\sum_{i=1}^n a_i(a_i+b_i)}{\sum_{i=1}^n b_i(a_i+b_i)}.

Bài 6. Cho m,n là các số nguyên dương. Chứng minh rằng có vô hạn cặp (a,b) các số nguyên dương sao cho a+b| am^a+bn^b\gcd(a,b)=1.

Download bản pdf

China National Olympiad 2010


1. Các đường tròn \Gamma_1\Gamma_2 cắt nhau tại hai điểm AB. Một đường thẳng qua B cắt \Gamma_1\Gamma_2 tại các điểm C and D tương ứng. Đường thẳng qua B khác cắt \Gamma_1\Gamma_2 tại các điểm E and F tương ứng. Đường thẳng CF cắt \Gamma_1\Gamma_2 tại các điểm P and Q tương ứng. Cho MN là trung điểm của các cung nhỏ \widehat{PB}\widehat{QB}. Chứng minh rằng nếu CD=EF, thì C, F, M, N đồng viên.

2. Cho k \ge 3 là một số nguyên. Dãy \{ a_n \} được xác định như sau: a_{k}=2k, và với mỗi n > k, a_{n}=a_{n-1}+1, nếu (a_{n -1},n)=1;a_{n}=2n, nếu (a_{n-1},n) > 1. Chứng minh rằng dãy \{ a_n-a_{n-1} \} chứa vô hạn số nguyên tố.

3. a,bc là các số phức thoả mãn với mỗi số phức z, nếu |z| \le 1, thì |az^2+bz+c| \le 1. Tìm giá trị lớn nhất của |bc|.

4. mn là các số nguyên cho trước lớn hơn 1. {a_1} < {a_2} < \cdots < {a_m} là các số nguyên cho trước. Chứng minh rằng tồn tại một tập con của \mathbb Z ký hiệu bởi T, sao cho |T| \le 1+\dfrac {a_{m}-a_1}{2n+1} và với mỗi i \in \{ 1,2,...,m \}, tồn tại t\in Ts\in [-n,n] thoả mãn a_{i}=t+s.

5. Ta có thể di chuyển các tấm thẻ tại các điểm A_1, A_2, \cdots ,A_n và điểm O. Một bước di chuyển có thể thực hiện như sau:

(1) Nếu có ít nhất 3 tấm thẻ tại điểm A_i (1 \le i \le n), thì lấy 3 tấm thẻ từ A_i và đặt chúng vào các điểm A_{i-1}, A_{i+1}O, tương ứng. (A_0=A_n, A_{n+1}=A_1)

(2) Nếu có ít nhất n tấm thể tại O, thì lấy n tấm thẻ từ điểm O và đặt chúng vào các điểm A_1, A_2, \cdots ,A_n, tương ứng.

Chứng minh rằng nếu có không ít hơn n^2+3n+1 tấm thể trên toàn bộ n+1 điểm, thì ta có thể thực hiện một số hữu hạn các di chuyển trên để có không ít hơn n+1 tấm thẻ tại mỗi điểm.

6. Cho a_1,a_2,a_3,b_1,b_2,b_3 là các số nguyên dương đôi một khác nhau sao cho với mỗi số nguyên dương n,

(n+ 1)a_{1}^{n}+{n}a_{2}^{n}+(n-1)a_{3}^{n} | (n+1)b_{1}^{n}+{n}b_{2}^{n}+(n-1)b_{3}^{n}.

Chứng minh rằng có số nguyên dương k sao cho b_i =k{a_i} với i=1,2,3.