Đề thi chọn đội tuyển Trung Quốc tham dự IMO 2018 (China TST 2018) – Phần 1


Ngày thứ nhất
Bài 1. Cho \displaystyle p;q là các số thực dương có tổng bằng \displaystyle 1. Chứng minh rằng với mỗi bộ \displaystyle n số thực \displaystyle (y_1,y_2,...,y_n), tồn tại bộ \displaystyle n số thực \displaystyle (x_1,x_2,...,x_n) sao cho \displaystyle p\cdot \max\{x_i,x_{i+1}\} + q\cdot \min\{x_i,x_{i+1}\} = y_i với mỗi \displaystyle i=1,2,...,2017, ở đây \displaystyle x_{2018}=x_1.
Bài 2. Một số nguyên dương \displaystyle n được gọi là tốt nếu \displaystyle 2018| d(n). Tìm tất cả các số nguyên dương \displaystyle k sao cho tồn tại cấp số cộng vô hạn có công sai \displaystyle k và mọi số hạng của nó là tốt.
Bài 3. Đường tròn \displaystyle \omega tiếp xúc với các cạnh \displaystyle AB, \displaystyle AC của tam giác \displaystyle ABC tại \displaystyle D, \displaystyle E tương ứng, sao cho \displaystyle D\neq B, \displaystyle E\neq C\displaystyle BD+CE<BC. \displaystyle F, \displaystyle G nằm trên \displaystyle BC sao cho \displaystyle BF=BD, \displaystyle CG=CE. \displaystyle DG cắt \displaystyle EF tại \displaystyle K. \displaystyle L nằm trên cung nhỏ \displaystyle DE của \displaystyle \omega sao cho tiếp tuyến tại \displaystyle L của \displaystyle \omega song song với \displaystyle BC. Chứng minh rằng tâm nội tiếp của \displaystyle \triangle ABC nằm trên \displaystyle KL. Continue reading “Đề thi chọn đội tuyển Trung Quốc tham dự IMO 2018 (China TST 2018) – Phần 1”

Đề thi chọn đội tuyển Trung Quốc tham dự IMO 2017 (China TST 2017) – Phần 5


Các bạn có thể xem phần 4 tại https://nttuan.org/2018/03/07/chinatst2017-test4/

Ngày thứ nhất
Bài 1. Cho số nguyên \displaystyle n\ge 3. Xét dãy \displaystyle a_1,a_2,...,a_n, nếu \displaystyle (a_i,a_j,a_k) thỏa mãn \displaystyle i+k=2j\, (i<j<k)\displaystyle a_i+a_k\ne 2a_j ta nói nó là tốt. Nếu một dãy chứa ít nhất một bộ ba tốt thì nó chứa ít nhất bao nhiêu bộ ba tốt?
Bài 2. Tìm số nguyên dương \displaystyle m nhỏ nhất có tính chất: với mỗi đa thức \displaystyle f(x) với hệ số thực, tồn tại đa thức \displaystyle g(x) với hệ số thực có bậc không lớn hơn $m$ sao cho tồn tại \displaystyle 2017 số khác nhau \displaystyle a_1,a_2,...,a_{2017} thỏa mãn \displaystyle g(a_i)=f(a_{i+1}) với mọi \displaystyle i=1,2,...,2017. Ở đây chỉ số lấy theo modulo \displaystyle 2017.
Bài 3. Với một điểm hữu tỷ \displaystyle (x,y), nếu \displaystyle xy là số nguyên chia hết cho \displaystyle 2 nhưng không chia hết cho \displaystyle 3 ta tô nó màu đỏ, nếu \displaystyle xy là số nguyên chia hết cho \displaystyle 3 nhưng không chia hết cho \displaystyle 2 ta tô nó màu xanh. Tồn tại hay không một đoạn thẳng chứa đúng \displaystyle 2017 điểm xanh và đúng \displaystyle 58 điểm đỏ? Continue reading “Đề thi chọn đội tuyển Trung Quốc tham dự IMO 2017 (China TST 2017) – Phần 5”

Đề thi chọn đội tuyển Trung Quốc tham dự IMO 2017 (China TST 2017) – Phần 4


Các bạn có thể xem phần 3 tại https://nttuan.org/2017/04/14/topic-880/

Ngày thứ nhất
Bài 1. Chứng minh rằng \displaystyle\sum_{k=0}^{58}C_{2017+k}^{58-k}C_{2075-k}^{k}=\sum_{p=0}^{29}C_{4091-2p}^{58-2p}.
Bài 2. Cho tam giác \displaystyle ABC, đường tròn bàng tiếp góc \displaystyle A tiếp xúc với cạnh \displaystyle BC, đường thẳng \displaystyle AB\displaystyle AC lần lượt tại \displaystyle E,D,F. \displaystyle EZ là đường kính của đường tròn. \displaystyle B_1\displaystyle C_1 thuộc \displaystyle DF sao cho \displaystyle BB_1\perp{BC}, \displaystyle CC_1\perp{BC}. Đường thẳng \displaystyle ZB_1,ZC_1 cắt \displaystyle BC tại \displaystyle X,Y tương ứng. \displaystyle EZ cắt \displaystyle DF tại \displaystyle H, \displaystyle ZK vuông góc với \displaystyle FD tại \displaystyle K. Chứng minh rằng nếu \displaystyle H là trực tâm của tam giác \displaystyle XYZ thì \displaystyle H,K,X,Y cùng nằm trên một đường tròn.
Bài 3. Tìm số các bộ \displaystyle (x_1,...,x_{100}) thỏa mãn đồng thời ba điều kiện
i) \displaystyle x_1,...,x_{100}\in\{1,2,..,2017\};
ii) \displaystyle 2017|x_1+...+x_{100};
iii) \displaystyle 2017|x_1^2+...+x_{100}^2. Continue reading “Đề thi chọn đội tuyển Trung Quốc tham dự IMO 2017 (China TST 2017) – Phần 4”

Đề thi chọn HSG Quốc gia của Trung Quốc năm 2018 (China MO 2018)


Ngày thứ nhất

Bài 1. Cho số nguyên dương \displaystyle n. Gọi \displaystyle A_n là tập các số nguyên tố \displaystyle p sao cho tồn tại các số nguyên dương \displaystyle a,b thỏa mãn \displaystyle \dfrac{a+b}{p}\displaystyle \dfrac{a^n + b^n}{p^2} là các số nguyên nguyên tố cùng nhau với \displaystyle p. Nếu \displaystyle A_n hữu hạn, gọi \displaystyle f(n) là số phần tử của nó.
a) Chứng minh \displaystyle A_n hữu hạn khi và chỉ khi \displaystyle n \not = 2.
b) Cho \displaystyle m,k là các số nguyên dương lẻ và \displaystyle d=(m,k). Chứng minh
\displaystyle f(d) \leq f(k) + f(m) - f(km) \leq 2 f(d).
Bài 2. Cho \displaystyle n, \displaystyle k là các số nguyên dương và tập
\displaystyle T = \{ (x,y,z) \in \mathbb{N}^3 \mid 1 \leq x,y,z \leq n \}.
Biết \displaystyle 3n^2 - 3n + 1 + k điểm của \displaystyle T được tô đỏ sao cho nếu \displaystyle P, \displaystyle Q là các điểm đỏ và \displaystyle PQ song song với một trong các trục thì tất cả các điểm thuộc PQ đều được tô đỏ. Chứng minh tồn tại ít nhất k hình lập phương đơn vị mà tất cả các đỉnh của chúng đều mang màu đỏ.
Bài 3. Cho \displaystyle q là số nguyên dương không phải là lập phương của một số nguyên. Chứng minh tồn tại hằng số dương \displaystyle C sao cho với mỗi số nguyên dương \displaystyle n, ta có \displaystyle \{ nq^{\frac{1}{3}} \} + \{ nq^{\frac{2}{3}} \} \geq Cn^{-\frac{1}{2}}.

Continue reading “Đề thi chọn HSG Quốc gia của Trung Quốc năm 2018 (China MO 2018)”

China TST 2003 – Test 3/ Problem 3


Bài toán. Cho \displaystyle x_0+\sqrt{2003}y_0 là nghiệm nguyên dương nhỏ nhất của phương trình Pell \displaystyle x^2-2003y^2=1. Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương \displaystyle (x,y) của phương trình sao cho \displaystyle x_0 chia hết cho mọi ước nguyên tố của \displaystyle x.

Lời giải. Từ giả thiết, tồn tại số nguyên dương \displaystyle n sao cho \displaystyle x+\sqrt{2003}y=(x_0+\sqrt{2003}y_0)^n.

Xét hai trường hợp:

Trường hợp 1: \displaystyle n chẵn.

Ta có \displaystyle x\equiv 2003^{n/2}y_0^n\pmod{x_0}, trái với giả thiết \displaystyle x_0 chia hết cho mọi ước nguyên tố của \displaystyle x. Continue reading “China TST 2003 – Test 3/ Problem 3”

China TST 2014 – Test 3/Problem 3


Bài toán.  Chứng minh rằng không tồn tại cặp (x,y) các số nguyên dương thỏa mãn \displaystyle (x+1) (x+2)\cdots (x+2014)= (y+1) (y+2)\cdots (y+4028).

Lời giải. Tồn tại số nguyên dương i sao cho \displaystyle v_2(x+i)=\max_{1\leq j\leq 2014} v_2(x+j). Suy ra với mỗi 1\leq j\leq 2014, j\not=i ta có v_2(x+j)=v_2(x+i+(j-i))=v_2(j-i), thật vậy, không thể có v_2(j-i)>v_2(x+i), vì nếu không, v_2(j-i)>v_2(x+i)\,\forall i, do đó v_2(j-i)\geq 11 vì trong vế trái sẽ có số chia hết cho 1024, suy ra |j-i|\geq 2^{11}, vô lý. Continue reading “China TST 2014 – Test 3/Problem 3”

Đề thi chọn đội tuyển Trung Quốc tham dự IMO 2017 (China TST 2017) – Phần 3


Các bạn có thể xem phần 2 tại địa chỉ https://nttuan.org/2017/04/09/topic-879/

Ngày thứ nhất

Bài 1. Cho số nguyên n \geq 4. Xét các số thực không âm x_1,\ldots,x_n thỏa mãn x_1 + \cdots + x_n = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T=x_1x_2x_3 + x_2x_3x_4 + \cdots + x_nx_1x_2.

Bài 2. Cho ABCD là tứ giác lồi không nội tiếp. Gọi hình chiếu vuông góc của A trên BC,BD,CDP,Q,R tương ứng, ở đây P,Q nằm trên cạnh BC,BD còn R nằm ngoài cạnh CD. Gọi hình chiếu vuông góc của D trên AC,BC,ABX,Y,Z tương ứng, ở đây X,Y nằm trên cạnh AC,BC còn Z nằm ngoài cạnh BA. Gọi trực tâm của tam giác ABDH. Chứng minh rằng dây chung của hai đường tròn ngoại tiếp các tam giác PQRXYZ chia đôi BH.

Bài 3. Cho X là tập có 100 phần tử. Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất thỏa mãn: Với mỗi dãy n tập con của X, A_1,A_2,\ldots,A_n, tồn tại 1 \leq i < j < k \leq n sao cho A_i \subseteq A_j \subseteq A_k hoặc A_i \supseteq A_j \supseteq A_k.

Ngày thứ hai

Bài 4. Chứng minh rằng tồn tại đa thức P(x) = x^{58} + a_1x^{57} + \cdots + a_{58} sao cho nó có đúng 29 nghiệm thực dương, có đúng 29 nghiệm thực âm và \log_{2017} |a_i| là số nguyên dương với mọi 1 \leq i \leq 58. Continue reading “Đề thi chọn đội tuyển Trung Quốc tham dự IMO 2017 (China TST 2017) – Phần 3”

Đề thi chọn đội tuyển Trung Quốc tham dự IMO 2017 (China TST 2017) – Phần 2


Các bạn có thể xem phần 1 tại địa chỉ https://nttuan.org/2017/04/06/topic-878/

Ngày thứ nhất

Bài 1. Với mỗi số nguyên dương n, gọi D_n là tập tất cả các ước của nf(n) là số nguyên dương nhỏ nhất m sao cho các phần tử của D_n đôi một khác nhau theo modulo m. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương N sao cho với mọi n \geq N, ta có f(n) \leq n^{0.01}.

Bài 2. 2017 kỹ sư tham gia một hội thảo. Nếu hai kỹ sư nào đó thảo luận với nhau thì họ chỉ dùng tiếng Anh hoặc tiếng Trung và không có hai kỹ sư nào lại thảo luận với nhau hơn một lần. Biết rằng trong mỗi bốn kỹ sư, có một số chẵn cuộc thảo luận giữa hai người trong họ và trong những cuộc thảo luận này các điều kiện sau được thỏa mãn đồng thời:

a) Ít nhất một cuộc thảo luận bằng tiếng Anh;

b) Hoặc không có cuộc thảo luận nào bằng tiếng Anh hoặc số cuộc thảo luận bằng tiếng Anh lớn hơn hoặc bằng số cuộc thảo luận bằng tiếng Trung.

Chứng minh rằng tồn tại 673 kỹ sư sao cho mỗi hai người trong họ đã thảo luận với nhau bằng tiếng Trung.

Bài 3. Cho tứ giác ABCD và đường thẳng l. Biết l cắt các đường thẳng AB, CD, BC, DA, AC, BD lần lượt tại X, X', Y, Y', Z, Z' và sáu điểm này nằm trên l theo thứ tự X, Y, Z, X', Y', Z'. Chứng minh rằng các đường tròn với đường kính XX', YY', ZZ' đồng trục.

Ngày thứ hai

Bài 4. Cho số nguyên n>1. Tìm số nguyên dương m nhỏ nhất thỏa mãn: với mọi tập \{a,b\}\subset \{1,2,\cdots,2n-1\}, tồn tại các số tự nhiên x,y không đồng thời bằng 0 sao cho 2n|ax+byx+y\leq m. Continue reading “Đề thi chọn đội tuyển Trung Quốc tham dự IMO 2017 (China TST 2017) – Phần 2”

Đề thi chọn đội tuyển Trung Quốc tham dự IMO 2017 (China TST 2017) – Phần 1


Ngày thứ nhất

Bài 1. Cho hình bát diện đều T. Từ một điểm bên ngoài T có thể nhìn thấy nhiều nhất bao nhiêu cạnh của T? (Từ điểm P nhìn thấy được cạnh AB nếu giao của T và tam giác không suy biến PAB là đoạn AB).

Bài 2. Cho số thực x>1 và số nguyên dương n. Chứng minh rằng \displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac{\{kx \}}{[kx]}<\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{2k-1}.

Bài 3. Cho S=\{1,2,3,...,2017\}. Với mọi tập con A của S, xác định số thực f(A)\geq 0 sao cho:

(1) Với mọi A,B\subset S, f(A\bigcup B)+f(A\bigcap B)\leq f(A)+f(B);

(2) Với mọi A\subset B\subset S, f(A)\leq f(B);

(3) Với mọi k,j\in S, f(\{1,2,...,k+1\})\geq f(\{1,2,...,k\}\bigcup \{j\});

(4) f(\varnothing)=0.

Chứng minh rằng với mọi tập con T có ba phần tử của S, ta có f(T)\leq \dfrac{27}{19}f(\{1,2,3\}).

Ngày thứ hai

Bài 4. Tìm tất cả các cặp số nguyên (m,n) sao cho tồn tại hai đa thức monic P(x)Q(x), với \deg{P}=m, \deg{Q}=nP(Q(t))\not=Q(P(t)),\quad\forall t\in\mathbb{R}. Continue reading “Đề thi chọn đội tuyển Trung Quốc tham dự IMO 2017 (China TST 2017) – Phần 1”

Problems From the Book


Tôi giới thiệu với các bạn chuẩn bị tham dự kì thi chọn đội tuyển Toán Việt Nam tham dự IMO (Vietnam TST) hai cuốn sách sau đây:

1) “Problems From the Book” của Titu Andreescu và Gabriel Dospinescu.

Đây là đoạn mô tả trên trang của nhà xuất bản XYZ: “The authors provide a combination of enthusiasm and experience which will delight any reader. In this volume they present innumerable beautiful results, intriguing problems, and ingenious solutions. The problems range from elementary gems to deep truths. A trully delightful and highly instructive book, this will prepare the engaged reader not only for any mathematics competition they may enter but also for a life time of mathematical enjoyment. A must for the bookshelves of both aspiring and seasoned mathematicians.”

Bạn mua từ nhà xuất bản hoặc tìm E-book.

2) “Straight from the Book” của Titu Andreescu và Gabriel Dospinescu.

Cuốn 1) có rất nhiều bài tập về nhà, và nhiều bài rất khó. Cuốn 2) sẽ có lời giải của hầu hết các bài tập về nhà trong 1). Đây là đoạn mô tả trên trang của nhà xuất bản XYZ: “This book is a compilation of many suggestions, much advice, and even more hard work. Its main objective is to provide solutions to the problems which were originally proposed in the first 12 chapters of “Problems from the Book”. The volume is far more than a collection of solutions. The solutions are used as motivation for the introduction of some very clear expositions of mathematics. And this is modern, current, up-to-the-minute mathematics. This is absolutely state-of-the-art material. Everyone who loves mathematics and mathematical thinking should acquire this book.”

Editorial Reviews

(Đoạn này được lấy từ amazon. )

This is an exceptionally well-written book. The material is arranged in small chapters, with brief theory in the beginning of each chapter followed by a set of exceptionally difficult problems with solutions. These solutions are elegant, innovative and beautiful. You learn a lot from the solutions. In every page, you will discover one or more clever steps/tricks that will make you wonder “How come I could not think of that?”. If you are preparing for Mathematics Olympiads, working through this book will boost your confidence 100 fold. If you are a math enthusiast, you will enjoy the material – most of it is “Mathematical poetry”. Grab it before it gets sold out! –Dr S Muralidharan

Problems from the Book is rife with elegant mathematical pursuits that are well worth the effort of exploring and solving. For high schoolers up through University students, the book’s problems will illustrate important concepts and provide hours of fun at every sitting. –David Cordeiro

This book is a treasure of the mathematical gems: many many very nice problems and results, historic notes and useful comments. Readers will also find many very interesting original problems from the authors of the book and from others. If you want to develop your mathematical skills in problem solving and your knowledge in diverse mathematical branches, you will definitely find many instructive topics throughout this book. Many thanks to Prof. Andreescu and his colleagues for their invaluable books and problems. I do highly recommend this book and all other books by Prof. Andreescu to all mathematics lovers: from the pupils preparing to participate in mathematical contests to people searching excitement in mathematics. The book contains the following 23 chapters, in addition to preface, bibliography and index: 1. Some Useful Substitutions 2. Always Cauchy-Schwarz … 3. Look at the Exponent 4. Primes and Squares 5. T2’s Lemma 6. Some Classical Problems in Extremal Graph theory 7. Complex Combinatorics 8. Formal Series Revisited 9. A Brief Introduction to Algebraic Number Theory 10. Arithmetic Properties of Polynomials 11. Lagrange Interpolation Formula 12. Higher Algebra in Combinatorics 13. Geometry and Numbers 14. The Smaller, The Better 15. Density and Regular Distribution 16. The Digit Sum of Positive Integer 17. At the Border of Analysis and Number Theory 18. Quadratic Reciprocity 19. Solving Elementary Inequalities Using Integrals 20. Pigeonhole Principle Revisited 21. Some Useful Irreducibility Criteria 22. Cycles, Paths and Other Ways 23. Some Special Applications of Polynomials –H. A. Shah Ali.

Bạn mua từ nhà xuất bản hoặc tìm E-book. Continue reading “Problems From the Book”