APMO 2017


Bài 1. Ta gọi một bộ 5 số nguyên là sắp xếp được nếu có thể đánh số chúng thành a, b, c, d, e để a-b+c-d+e=29. Tìm tất cả các bộ 2017 số nguyên (n_1, n_2, . . . , n_{2017}) sao cho khi ta đặt chúng lên một đường tròn theo chiều kim đồng hồ, mỗi 5 số liên tiếp trên đường tròn tạo thành một bộ sắp xếp được.

Bài 2. Cho tam giác ABCAB < AC. Gọi D là giao điểm của phân giác trong của \widehat{BAC} và đường tròn (ABC). Gọi Z là giao điểm của trung trực của AC với phân giác ngoài của \widehat{BAC}. Chứng minh rằng trung điểm của AB nằm trên đường tròn (ADZ).

Bài 3. Với mỗi số nguyên dương n, gọi A(n) là số các dãy a_1\ge a_2\ge\cdots{}\ge a_k các số nguyên dương thỏa mãn a_1+\cdots{}+a_k = na_i +1 là một lũy thừa của 2 với mỗi i = 1,2,\cdots{},k, B(n) là số các dãy b_1\ge b_2\ge \cdots{}\ge b_m các số nguyên dương sao cho b_1+\cdots{}+b_m =nb_j\ge 2b_{j+1} với mỗi j=1,2,\cdots{}, m-1. Chứng minh rằng A(n) = B(n),\quad\forall n\in\mathbb{N}^*.

Bài 4. Một số hữu tỷ r được gọi là tốt nếu r=\dfrac{p^k}{q} với các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau p, q và số nguyên k >1. Cho a, b, c là các số hữu tỷ dương sao cho abc = 1. Giả sử tồn tại các số nguyên dương x, y, z sao cho a^x + b^y + c^z là số nguyên. Chứng minh rằng cả a, b, c là tốt. Continue reading “APMO 2017”

Problems From the Book


Tôi giới thiệu với các bạn chuẩn bị tham dự kì thi chọn đội tuyển Toán Việt Nam tham dự IMO (Vietnam TST) hai cuốn sách sau đây:

1) “Problems From the Book” của Titu Andreescu và Gabriel Dospinescu.

Đây là đoạn mô tả trên trang của nhà xuất bản XYZ: “The authors provide a combination of enthusiasm and experience which will delight any reader. In this volume they present innumerable beautiful results, intriguing problems, and ingenious solutions. The problems range from elementary gems to deep truths. A trully delightful and highly instructive book, this will prepare the engaged reader not only for any mathematics competition they may enter but also for a life time of mathematical enjoyment. A must for the bookshelves of both aspiring and seasoned mathematicians.”

Bạn mua từ nhà xuất bản hoặc tìm E-book.

2) “Straight from the Book” của Titu Andreescu và Gabriel Dospinescu.

Cuốn 1) có rất nhiều bài tập về nhà, và nhiều bài rất khó. Cuốn 2) sẽ có lời giải của hầu hết các bài tập về nhà trong 1). Đây là đoạn mô tả trên trang của nhà xuất bản XYZ: “This book is a compilation of many suggestions, much advice, and even more hard work. Its main objective is to provide solutions to the problems which were originally proposed in the first 12 chapters of “Problems from the Book”. The volume is far more than a collection of solutions. The solutions are used as motivation for the introduction of some very clear expositions of mathematics. And this is modern, current, up-to-the-minute mathematics. This is absolutely state-of-the-art material. Everyone who loves mathematics and mathematical thinking should acquire this book.”

Editorial Reviews

(Đoạn này được lấy từ amazon. )

This is an exceptionally well-written book. The material is arranged in small chapters, with brief theory in the beginning of each chapter followed by a set of exceptionally difficult problems with solutions. These solutions are elegant, innovative and beautiful. You learn a lot from the solutions. In every page, you will discover one or more clever steps/tricks that will make you wonder “How come I could not think of that?”. If you are preparing for Mathematics Olympiads, working through this book will boost your confidence 100 fold. If you are a math enthusiast, you will enjoy the material – most of it is “Mathematical poetry”. Grab it before it gets sold out! –Dr S Muralidharan

Problems from the Book is rife with elegant mathematical pursuits that are well worth the effort of exploring and solving. For high schoolers up through University students, the book’s problems will illustrate important concepts and provide hours of fun at every sitting. –David Cordeiro

This book is a treasure of the mathematical gems: many many very nice problems and results, historic notes and useful comments. Readers will also find many very interesting original problems from the authors of the book and from others. If you want to develop your mathematical skills in problem solving and your knowledge in diverse mathematical branches, you will definitely find many instructive topics throughout this book. Many thanks to Prof. Andreescu and his colleagues for their invaluable books and problems. I do highly recommend this book and all other books by Prof. Andreescu to all mathematics lovers: from the pupils preparing to participate in mathematical contests to people searching excitement in mathematics. The book contains the following 23 chapters, in addition to preface, bibliography and index: 1. Some Useful Substitutions 2. Always Cauchy-Schwarz … 3. Look at the Exponent 4. Primes and Squares 5. T2’s Lemma 6. Some Classical Problems in Extremal Graph theory 7. Complex Combinatorics 8. Formal Series Revisited 9. A Brief Introduction to Algebraic Number Theory 10. Arithmetic Properties of Polynomials 11. Lagrange Interpolation Formula 12. Higher Algebra in Combinatorics 13. Geometry and Numbers 14. The Smaller, The Better 15. Density and Regular Distribution 16. The Digit Sum of Positive Integer 17. At the Border of Analysis and Number Theory 18. Quadratic Reciprocity 19. Solving Elementary Inequalities Using Integrals 20. Pigeonhole Principle Revisited 21. Some Useful Irreducibility Criteria 22. Cycles, Paths and Other Ways 23. Some Special Applications of Polynomials –H. A. Shah Ali.

Bạn mua từ nhà xuất bản hoặc tìm E-book. Continue reading “Problems From the Book”

Một số trang về Olympic Toán


Tôi có post một số trang về Olympic Toán trên facebook  nhưng nó cứ chìm xuống khi đăng một bài khác, vì thế nên tôi lập topic này để lưu các link đó lại.

P. S. Hãy góp link bằng cách comment các bạn nhé! 🙂

Continue reading “Một số trang về Olympic Toán”

APMO 2016


APMO = Asian Pacific Mathematics Olympiad là một cuộc thi Toán của các nước thuộc vùng Châu Á Thái Bình Dương và một số nước khác (như Mĩ chẳng hạn),  kỳ thi đầu tiên diễn ra vào năm 1989.

Mục đích của APMO là:

– phát hiện và động viên các tài năng toán học thuộc các nước Châu Á Thái Bình Dương;

– tạo các mối quan hệ và hợp tác giữa các học sinh và giáo viên trong khu vực;

– tạo cơ hội để các học sinh và giáo viên trao đổi về cách học và cách dạy;

– khuyến khích và hỗ trợ sự tham gia của Toán học vào các hoạt động kiểu Olimpic, không chỉ ở các nước tham dự APMO.

Mỗi thí sinh tham dự APMO sẽ phải giải 5 bài toán trong 4 giờ, mỗi bài được tối đa 7 điểm. Họ phải ít hơn 20 tuổi vào ngày 1/7 của năm thi và chưa học Đại học. Hàng năm, APMO được tổ chức vào chiều thứ Hai thứ hai của tháng 3 đối với các nước Bắc và Nam Mỹ, và vào sáng thứ Ba thứ hai của tháng 3 đối với các nước thuộc Tây Thái Bình Dương và Châu Á. Đề thi sẽ được giữ bí mật cho đến khi Ban tổ chức đăng lên trang chính thức của kì thi, trong đề thi sẽ nhắc thí sinh không được thảo luận về các bài toán trên internet sau khi thi.

Các thí sinh sẽ nhận được giấy chứng nhận giải thưởng hoặc bằng khen. Số lớn nhất các thí sinh được nhận giấy chứng nhận giải thưởng bằng \left[\dfrac{n+1}{2}\right], ở đây n là số thí sinh tham gia thi.

Điểm của các thí sinh được giải Vàng sẽ không bé hơn m+\sigma, giải Bạc sẽ không bé hơn m+\dfrac{1}{3}\sigma, giải Đồng sẽ không bé hơn m-\dfrac{1}{3}\sigma.

Ở đây m là điểm trung bình của các thí sinh và \sigma là độ lệch chuẩn.  Đối với mỗi đội thì số giải Vàng =1, số giải Vàng+số giải Bạc=3, và số giải Vàng+số giải Bạc+số giải Đồng=7.

Mỗi năm thì điều kiện để nhận Bằng khen lại khác: Có thể là giải trọn vẹn 1 bài toán, có thể là giải 2 bài không trọn vẹn có số điểm ít nhất là 5 hoặc 6,… Việt Nam không tham gia APMO đã hơn 10 năm, nhưng có thể 2017 sẽ tham gia. Dưới đây là đề APMO 2016.

Continue reading “APMO 2016”

Schur’s inequality (1)


See here.

Bài 1. (IMO 1984) Cho x,yz là các số thực không âm thỏa mãn x+y+z=1. Chứng minh rằng 0\leq xy+yz+zx-2xyz\leq\dfrac{7}{27}.

Bài 2. (IMO 2000) Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn abc=1. Chứng minh rằng

\displaystyle\left(a-1+\dfrac{1}{b}\right)\left(b-1+\dfrac{1}{c}\right)\left(c-1+\dfrac{1}{a}\right)\leq 1.

Bài 4. (AoPS)  Chứng minh rằng nếu a,b,c là các số thực dương thì

a^2+b^2+c^2+2abc+1\geq 2(ab+bc+ca).

Bài 5. (Crux Math) Chứng minh rằng với mỗi ba số thực dương a,bc ta có \displaystyle\sum\dfrac{1}{a}\geq\sum\dfrac{b+c}{a^2+bc}.

Bài 6. Cho các số thực dương a,bc. Chứng minh rằng

\displaystyle\sum\sqrt[3]{\dfrac{a^2+bc}{b^2+c^2}}\geq\dfrac{9\sqrt[3]{abc}}{a+b+c}. Continue reading “Schur’s inequality (1)”

A21-A30


A21. Cho hàm số f:(0;\infty)\to (0;\infty) thoả mãn điều kiện

f(3x)\geq f(\dfrac{1}{2}f(2x))+2x\forall x>0.

Chứng minh rằng f(x)\geq x\,\,\forall x>0.

A22 (VMO 2003). Cho \mathcal{F} là tập các hàm f:(0;\infty)\to (0;\infty) thoả mãn f(3x)\geq f(f(2x))+x\,\,\forall x>0.

Tìm số thực A lớn nhất sao cho f(x)\geq Ax\,\,\forall x>0\,\,\forall f\in\mathcal{F}.

A23 (APMO 1997). Cho tam giác ABC. Đặt l_a=\dfrac{m_a}{M_a},l_b=\dfrac{m_b}{M_b},l_c=\dfrac{m_c}{M_c}. Ở đây m_a,m_b,m_c là độ dài các phân giác trong (ứng với A,B,C) và M_a,M_b,M_c là độ dài các phân giác trong kéo dài cho đến khi chúng gặp (ABC) (ứng với A,B,C). Chứng minh rằng \dfrac{l_a}{\sin^2A}+\dfrac{l_b}{\sin^2B}+\dfrac{l_c}{\sin^2C}\geq 3.

Khi nào có dấu đẳng thức?

A24. Xác định dãy (a_n) bởi a_1=1,a_2=2a_{n+2}=2a_{n+1}-a_n+2\,\,\forall n\geq 1. Chứng minh rằng với mỗi m, số a_ma_{m+1} cũng là một số hạng của dãy.

A25 (MM). Cho các số nguyên b,c và số nguyên N>1. Chứng minh rằng có các số nguyên x_1,x_2,\cdots,x_{N+1} sao cho f(x_{N+1})=f(x_1)\cdot f(x_2)\cdots f(x_N), ở đây f(x)=x^2+bx+c.

A26. Tìm tất cả các cặp (a,b) các số thực sao cho số aF_n+bF_{n+1} là một số Fibonacci với mỗi n.

A27 (Dự tuyển IMO 1981). Tìm tất cả các cặp (u,v) các số thực dương sao cho uF_n^2+vF_{n+1}^2 là một số Fibonacci với mỗi n.

A28. Tìm tất cả các số nguyên dương n>1 sao cho bất đẳng thức

x_1x_2+x_2x_3+\cdots+x_{n-1}x_n\leq\dfrac{n-1}{n}(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2)

đúng với mỗi các số dương x_1,x_2,\cdots,x_n.

A29 (IMO 1971). Cho E_n = (a_1 - a_2)(a_1 - a_3)\cdots (a_1 - a_n) + (a_2 - a_1)(a_2 - a_3)\cdots (a_2 - a_n) +

\cdots + (a_n - a_1)(a_n - a_2)\cdots (a_n - a_{n - 1}), và S_n là mệnh đề E_n\ge 0 với tất cả các số thực a_i. Chứng minh rằng S_n là đúng với n = 35, nhưng sai với mỗi n>2 khác.

Continue reading “A21-A30”

Dùng ánh xạ trong các bài toán Tổ hợp


Để đếm số phần tử của một tập hữu hạn A, ta tìm một tập hữu hạn B có cùng số phần tử như A nhưng dễ đếm hơn.

Nguyên lý ánh xạ. Cho AB là các tập hữu hạn khác rỗng và f:A\to B là một ánh xạ. Khi đó

a)Nếu f là đơn ánh thì |A|\leq |B|;

b)Nếu f là toàn ánh thì |A|\geq |B|;

c)Nếu f là song ánh thì |A|=|B|.

Continue reading “Dùng ánh xạ trong các bài toán Tổ hợp”

Tập hợp và tập hợp con


Trong bài này chúng ta sẽ quan tâm đến các tập hợp nhưng không quan tâm đến tính chất của các phần tử của nó.

Bài 1. Chứng minh rằng số tập con của tập có n phần tử bằng 2^n.

Lời giải. Dùng phương pháp quy nạp theo n hoặc chú ý là mỗi tập con sẽ ứng với một xâu nhị phân có độ dài n.
Bài 2. Cho 1978 tập hợp A_{1},\cdots,A_{1978} thoả mãn các tính chất sau
a)|A_i\cap A_j|=1\forall i<j;
b)|A_i|=40\forall i.
Chứng minh rằng |\cap A_i|=1.
Lời giải. Gỉa sử ngược lại, khi đó giao của các tập hợp phải bằng rỗng. Gỉa sử m là số nguyên dương lớn nhất sao cho trong các tập đó ta tìm được m tập có giao khác rỗng. Không giảm tổng quát gọi các tập đó là A_1,A_2,\cdots,A_m\{x\}=\cap_{i=1}^mA_i, cố định A_1, trong 1977 tập còn lại vì mỗi tập giao với A_1 tại đúng một phần tử và chúng đôi một giao nhau đúng một phần tử, suy ra x thuộc ít nhất [1977/40]+1=50 tập trong 1977 tập này, suy ra m\geq 51. Vì x không thuộc A_{m+1} nên x sẽ không thuộc m tập A_i\cap A_{m+1}, đương nhiên m tập này đôi một rời nhau và là các tập con của A_{m+1}, suy ra m\leq 40, vô lý! Bài toán được giải hoàn toàn.
Bài 3. Tìm số các bộ ba có thứ tự các tập (A,B,C) sao cho A\cup B\cup C=\{1,2,\cdots,2003\}A\cap B\cap C=\emptyset.
Lời giải. Mỗi bộ ba như vậy ứng với một xâu (a_1,a_2,\cdots,a_{2003})\in \{1,2,3,4,5,6\}^{2003}, vì mỗi phần tử i chỉ có thể thuộc A,B,C,A\cap B,B\cap CC\cap A. Đáp số 6^{2003}.
Bài 4. Có bao nhiêu cặp có thứ tự tập hợp con không giao nhau của tập hợp gồm n phần tử?
Lời giải. Kí hiệu một cặp nào đó như đầu bài là (A_1,A_2). Nếu |A_1|=k thì chúng ta sẽ có C_n^k cách chọn A_1, sau khi chọn A_1 rồi thì số cách chọn A_2 bằng số cách chọn một tập con của tập S-A_1, tập này có n-k phần tử (S là tập có n phần tử trong đầu bài), hay số cách chọn A_2 bằng 2^{n-k}. Vậy đáp số của bài toán là \sum_{k=0}^n C_n^k2^{n-k}=(2+1)^n=3^n.
Cách tiếp cận khác: Mỗi cặp như vậy sẽ ứng với một xâu (a_1,a_2,\cdots,a_n)\in\{0,1,2\}^n vì mỗi phần tử của S có thể thuộc A_1, hoặc A_2, hoặc không thuộc cả hai tập đó.

Bài 5. Tập Xn phần tử. Đối với cặp có thứ tự tập con (A_1,A_2) của X, ta tính số phần tử của A_1\cap A_2. Chứng minh rằng tổng các số nhận được bằng n4^{n-1}.
Lời giải. Gỉa sử (A_1,A_2) là một cặp tập con của X, |A_1\cap A_2|=kH=A_1\cap A_2. Ta thấy có C_n^k cách chọn H, sau khi đã chọn H rồi thì số cách chọn (A_1,A_2) bằng số cách chọn cặp (B_1,B_2) các tập con rời nhau của tập X-H, vì tập này có n-k phần tử nên số các cặp (B_1,B_2) bằng 3^{n-k}. Vậy đáp số của bài toán là \sum_{k=0}^nkC_n^k3^{n-k}=n4^{n-1}.
Cách tiếp cận khác: Có 4^n cặp tập (A_1,A_2), chia các cặp này thành các bộ bốn \{(A_1,A_2),(\overline{A}_1,A_2),(A_1,\overline{A}_2),(\overline{A}_1,\overline{A}_2)\}, mỗi phần tử của X sẽ thuộc đúng một trong bốn giao hình thành từ bộ này, do đó tổng đối với bộ này bằng n, mà có đúng 4^{n-1} bộ nên ta có điều phải chứng minh.

Bài 6. Đối với mỗi số nguyên dương n, tìm số nguyên dương k lớn nhất sao cho trong một tập hợp có n phần tử có thể chọn ra k tập con của nó đôi một giao nhau.
Lời giải. Gọi X là một tập có n phần tử và a là một phần tử của nó. Xét 2^{n-1} tập con của X có dạng \{a\}\cup A với A là một tập con của tập X-\{a\}, rõ ràng các tập con này là đôi một giao nhau (cách chọn như vậy là dễ nhất và đây cũng là chìa khoá cho lời giải). Mặt khác với mỗi cách chọn lớn hơn 2^{n-1} tập con của X, bao giờ cũng tồn tại hai tập trong cùng một bộ \{A,\overline{A}\} và hai tập này giao nhau bằng rỗng. Vậy đáp số của bài toán là 2^{n-1}.

Bài 7. Gỉa sử trong tập hữu hạn X chọn ra 50 tập hợp con A_1,A_2,\cdots,A_{50} sao cho mỗi tập này chứa hơn một nửa phần tử của X. Chứng minh rằng tồn tại tập con A của X thoả mãn các điều kiện sau
a)|A|<6, và
b)A\cap A_i\not =\emptyset.

Bài 8(APMO 1998). Cho F_n là tập tất cả các n-bộ (A_1,A_2,\cdots,A_n) sao cho mỗi A_i là một tập con của tập \{1,2,\cdots,2009\}. Tính \sum_{(A_1,A_2,\cdots,A_n)\in F_n}|A_1\cup A_2\cup\cdots\cup A_n|.

Bài 9(RMC 2006). Một tập M gồm 4 số nguyên dương được gọi là liên thông nếu với mỗi x trong M ít nhất một trong các số x-1,x+1 thuộc M. Cho U_n là số các tập con liên thông của tập \{1,2,\cdots,n\}.
a)Tính U_7;
b)Tìm n nhỏ nhất để U_n\geq 2006.

Bài 10(RMC 2006). Tìm số lớn nhất các tập con của tập \{1,2,\cdots,2006\} sao cho mỗi hai tập con khác nhau trong chúng có giao là một tập có 2004 phần tử.

Các tập hợp số


Bài 1(APMO 2004). Tìm tất cả các tập hữu hạn khác rỗng S các số nguyên dương sao cho \dfrac{i+j}{\gcd (i,j)}\in S\forall i,j\in S.
Lời giải. S=\{2\}.
Bài 2(Rumani TST 2008). Cho n>1 là một số nguyên dương. Tìm tất cả các tập A gồm n số nguyên sao cho tổng của tất cả các phần tử của mỗi tập con khác rỗng của A không chia hết cho n+1.
Lời giải. Các phần tử của A bằng nhau theo modulo n+1, chúng đồng dư với p, ở đây \gcd (p,n+1)=1.
Bài 3(Rumani TST 2007). Tìm tất cả các tập con A của tập các số nguyên dương sao cho A có ít nhất 2 phần tử và với mỗi x,y\in A (x\not =y) chúng ta có \dfrac{x+y}{\gcd (x,y)}\in A.
Lời giải. Xét hai trường hợp các phần từ đôi một không nguyên tố và có hai phần tử nguyên tố. Đáp số \mathbb{N}^*,\mathbb{N}^*-\{1\},\mathbb{N}^*-\{2\},\mathbb{N}^*-\{1,2\}\{n,n(n-1)\}(n>2).
Bài 4. (Rumani TST 2002) Tìm tất cả các tập AB sao cho
a)A\cup B=\mathbb{Z};
b)Nếu x\in A thì x-1\in B;
c)Nếu x,y\in B thì x+y\in A.
Lời giải. A=\mathbb{Z},B=\mathbb{Z}A=\{2k|k\in\mathbb{Z}\} , B=\{2k+1|k\in\mathbb{Z}\}.

Bài 5. Cho tập hợp khác rỗng M\subset\mathbb{Q} thoả mãn hai điều kiện
a)Nếu a\in Mb\in M thì a+b\in Mab\in M;
b)Nếu r\in\mathbb{Q} thì xảy ra đúng một trong ba khả năng sau r\in M,-r\in M,r=0.
Chứng minh rằng M là tập các số hữu tỷ dương.

Bài 6(RMC 2004). Kí hiệu \mathbb{P} là tập tất cả các số nguyên tố. Gỉa sử rằng M là một tập con của \mathbb{P} thoả mãn các điều kiện sau
a)|M|>2;
b)Với mỗi tập con thực sự, khác rỗng và hữu hạn A của M , các ước nguyên tố của số \prod_{p\in A}p-1 cũng thuộc M.
Chứng minh rằng M=\mathbb{P}.

Bài 7(Romania TST 2004). Cho A là một tập con của \mathbb{Z}^+ có các tính chất
a)Nếu a\in A thì tất cả các ước dương của a cũng thuộc A;
b)Nếu a,b\in A1<a<b thì 1+ab\in A;
c)|A|>2.
Chứng minh rằng A=\mathbb{Z}^+.

Bài 8(RMC 2006). Cho A là tập các số nguyên không âm có ít nhất hai phần tử sao cho nếu a,b\in A, a>b thì số \dfrac{\text{lcm}\, (a,b)}{a-b}\in A. Chứng minh rằng A có đúng hai phần tử.

Bài 9(RMC 2006). Xét các tập A=\{\sqrt{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}}|a,b\in\mathbb{Z}^+,a\not =b\}  và B=\{\sqrt{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}}|x,y,z\in\mathbb{Z}^+,x>y>z\}.
Chứng minh rằng A\cap B chứa vô hạn các số hữu tỷ và vô hạn các số vô tỷ.
Lời giải. Quan tâm đến phương trình \dfrac{1}{n}=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}.
Bài 10(RMC 2007). Tìm tất cả các tập con khác rỗng A của tập \{2,3,\cdots\} sao cho với mỗi n\in A, cả hai số n^2+4[\sqrt{n}]+1 cũng thuộc A.
Bài 11(France 2002). Xét 2002 số hữu tỉ x_1,x_2,\cdots,x_{2002}. Biết rằng với mỗi tập con I gồm 7 phần tử của tập \{1,2,\cdots,2002\} tồn tại tập con J gồm 11 phần tử của tập \{1,2,\cdots,2002\} sao cho \dfrac{1}{7}\sum_{i\in I}x_i=\dfrac{1}{11}\sum_{j\in J}x_j. Chứng minh rằng x_1=x_2=\cdots=x_{2002}.