IMO 2018 training (1)


Chào các bạn đồng nghiệp,

đây là một số bài toán tôi dùng để luyện cho đội IMO 2018. Tuyển tập này gồm nhiều phần, đây là phần thứ nhất.

Bài 1. Cho \displaystyle a_1, a_2, \dots, a_{2^{2018}} là các số nguyên dương không lớn hơn \displaystyle 2018 sao cho với mỗi \displaystyle n \leq 2^{2018}, \displaystyle a_1a_2 \dots a_{n} +1 là số chính phương. Chứng minh rằng tồn tại \displaystyle i sao cho \displaystyle a_i=1.
Bài 2. Cho \displaystyle (a_n)_{n\geq 1} là một dãy các số nguyên dương thỏa mãn
\displaystyle a_{n+1}=[\sqrt{a_n}]+[\sqrt[3]{a_n}]+\cdots+[\sqrt[n+1]{a_n}],\quad \forall n\in\mathbb{N}^*. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên tố \displaystyle p, có vô hạn các số hạng của dãy chia hết cho \displaystyle p.
Bài 3. Cho số nguyên \displaystyle k>1. Dãy số \displaystyle a_1,a_2, \cdots xác định bởi \displaystyle a_1=1, a_2=k\displaystyle a_{n+1}-(k+1)a_n+a_{n-1}=0,\,\forall n>1. Tìm tất cả các số nguyên dương \displaystyle n sao cho \displaystyle a_n là một lũy thừa của \displaystyle k.
Bài 4. Hai dãy số \displaystyle \{u_{n}\}, \displaystyle \{v_{n}\} xác định bởi \displaystyle u_{0} =u_{1} =1 ,\displaystyle u_{n}=2u_{n-1}-3u_{n-2} \displaystyle (n\geq 2), \displaystyle v_{0} =a, v_{1} =b , v_{2}=c ,\displaystyle v_{n}=v_{n-1}-3v_{n-2}+27v_{n-3} \displaystyle (n\geq 3). Giả sử có số nguyên dương \displaystyle N sao cho với mỗi \displaystyle n> N ta có \displaystyle u_{n}|v_{n}. Chứng minh rằng \displaystyle 3a=2b+c.
Bài 5. Với mỗi số thực \displaystyle x, gọi \displaystyle M(x) là tập tất cả các số nguyên dương \displaystyle q thỏa mãn: tồn tại số nguyên \displaystyle p sao cho \displaystyle \left|x - \dfrac{p}{q}\right|<\dfrac{1}{10q}. Chứng minh nếu hai số vô tỷ \displaystyle \alpha\displaystyle \beta thỏa mãn \displaystyle M(\alpha)=M(\beta) thì \displaystyle \alpha+\beta hoặc \displaystyle \alpha- \beta là một số nguyên.
Bài 6. Cho \displaystyle M là một tập con của \displaystyle \mathbb{R} thỏa mãn đồng thời các điều kiện:
a) Với mọi \displaystyle x \in M, n \in \mathbb{Z}, ta có \displaystyle x+n \in M.
b) Với mọi \displaystyle x \in M, ta có \displaystyle -x \in M.
c) \displaystyle M\displaystyle \mathbb{R}\setminus M chứa một đoạn có độ dài lớn hơn \displaystyle 0.
Với mỗi \displaystyle x, đặt \displaystyle M(x) = \{ n \in \mathbb{Z}^{+} | nx \in M \}. Chứng minh rằng nếu \displaystyle \alpha,\beta là các số vô tỷ thỏa mãn \displaystyle M(\alpha) = M(\beta) thì \displaystyle \alpha + \beta hoặc \displaystyle \alpha - \beta là số hữu tỷ. Continue reading “IMO 2018 training (1)”

Đề thi chọn đội tuyển Trung Quốc tham dự IMO 2018 (China TST 2018) – Phần 2


Mời các bạn xem phần 1 ở https://nttuan.org/2018/04/02/chinatst2018-test1/


Ngày thứ nhất
Bài 1. Cho tam giác \displaystyle ABC\displaystyle D là một điểm di động trên cạnh \displaystyle BC. Điểm \displaystyle E và điểm \displaystyle F lần lượt thuộc các cạnh \displaystyle AB\displaystyle AC sao cho \displaystyle BE=CD\displaystyle CF=BD. \displaystyle (BDE)\displaystyle (CDF) cắt nhau tại hai điểm khác nhau \displaystyle P\displaystyle D. Chứng minh tồn tại điểm cố định \displaystyle Q sao cho \displaystyle QP là hằng số.
Bài 2. Với mỗi số nguyên dương \displaystyle n, \textit{một phân hoạch nguyên} của \displaystyle n là một cách viết \displaystyle n thành tổng của các số nguyên dương (không kể thứ tự), số phân hoạch nguyên của \displaystyle n ký hiệu bởi \displaystyle p\left ( n \right ). Tìm tất cả các số nguyên dương \displaystyle n sao cho
\displaystyle p\left ( n \right )+p\left ( n+4 \right )=p\left ( n+2 \right )+p\left ( n+3 \right ).
Bài 3. Cho hai số nguyên dương \displaystyle p,q. Có một cái bảng trên đó viết \displaystyle n số nguyên dương. Cho phép thực hiện phép toán sau: Chọn hai số bằng nhau \displaystyle a,a trên bảng và thay chúng bởi \displaystyle a+p,a+q. Tìm giá trị nhỏ nhất của \displaystyle n sao cho ta có thể thực hiện vô hạn lần phép toán trên. Continue reading “Đề thi chọn đội tuyển Trung Quốc tham dự IMO 2018 (China TST 2018) – Phần 2”

Đề thi chọn đội tuyển Trung Quốc tham dự IMO 2018 (China TST 2018) – Phần 1


Ngày thứ nhất
Bài 1. Cho \displaystyle p;q là các số thực dương có tổng bằng \displaystyle 1. Chứng minh rằng với mỗi bộ \displaystyle n số thực \displaystyle (y_1,y_2,...,y_n), tồn tại bộ \displaystyle n số thực \displaystyle (x_1,x_2,...,x_n) sao cho \displaystyle p\cdot \max\{x_i,x_{i+1}\} + q\cdot \min\{x_i,x_{i+1}\} = y_i với mỗi \displaystyle i=1,2,...,2017, ở đây \displaystyle x_{2018}=x_1.
Bài 2. Một số nguyên dương \displaystyle n được gọi là tốt nếu \displaystyle 2018| d(n). Tìm tất cả các số nguyên dương \displaystyle k sao cho tồn tại cấp số cộng vô hạn có công sai \displaystyle k và mọi số hạng của nó là tốt.
Bài 3. Đường tròn \displaystyle \omega tiếp xúc với các cạnh \displaystyle AB, \displaystyle AC của tam giác \displaystyle ABC tại \displaystyle D, \displaystyle E tương ứng, sao cho \displaystyle D\neq B, \displaystyle E\neq C\displaystyle BD+CE<BC. \displaystyle F, \displaystyle G nằm trên \displaystyle BC sao cho \displaystyle BF=BD, \displaystyle CG=CE. \displaystyle DG cắt \displaystyle EF tại \displaystyle K. \displaystyle L nằm trên cung nhỏ \displaystyle DE của \displaystyle \omega sao cho tiếp tuyến tại \displaystyle L của \displaystyle \omega song song với \displaystyle BC. Chứng minh rằng tâm nội tiếp của \displaystyle \triangle ABC nằm trên \displaystyle KL. Continue reading “Đề thi chọn đội tuyển Trung Quốc tham dự IMO 2018 (China TST 2018) – Phần 1”

Đề thi chọn đội tuyển Trung Quốc tham dự IMO 2017 (China TST 2017) – Phần 5


Các bạn có thể xem phần 4 tại https://nttuan.org/2018/03/07/chinatst2017-test4/

Ngày thứ nhất
Bài 1. Cho số nguyên \displaystyle n\ge 3. Xét dãy \displaystyle a_1,a_2,...,a_n, nếu \displaystyle (a_i,a_j,a_k) thỏa mãn \displaystyle i+k=2j\, (i<j<k)\displaystyle a_i+a_k\ne 2a_j ta nói nó là tốt. Nếu một dãy chứa ít nhất một bộ ba tốt thì nó chứa ít nhất bao nhiêu bộ ba tốt?
Bài 2. Tìm số nguyên dương \displaystyle m nhỏ nhất có tính chất: với mỗi đa thức \displaystyle f(x) với hệ số thực, tồn tại đa thức \displaystyle g(x) với hệ số thực có bậc không lớn hơn $m$ sao cho tồn tại \displaystyle 2017 số khác nhau \displaystyle a_1,a_2,...,a_{2017} thỏa mãn \displaystyle g(a_i)=f(a_{i+1}) với mọi \displaystyle i=1,2,...,2017. Ở đây chỉ số lấy theo modulo \displaystyle 2017.
Bài 3. Với một điểm hữu tỷ \displaystyle (x,y), nếu \displaystyle xy là số nguyên chia hết cho \displaystyle 2 nhưng không chia hết cho \displaystyle 3 ta tô nó màu đỏ, nếu \displaystyle xy là số nguyên chia hết cho \displaystyle 3 nhưng không chia hết cho \displaystyle 2 ta tô nó màu xanh. Tồn tại hay không một đoạn thẳng chứa đúng \displaystyle 2017 điểm xanh và đúng \displaystyle 58 điểm đỏ? Continue reading “Đề thi chọn đội tuyển Trung Quốc tham dự IMO 2017 (China TST 2017) – Phần 5”

Đề thi chọn đội tuyển Trung Quốc tham dự IMO 2017 (China TST 2017) – Phần 4


Các bạn có thể xem phần 3 tại https://nttuan.org/2017/04/14/topic-880/

Ngày thứ nhất
Bài 1. Chứng minh rằng \displaystyle\sum_{k=0}^{58}C_{2017+k}^{58-k}C_{2075-k}^{k}=\sum_{p=0}^{29}C_{4091-2p}^{58-2p}.
Bài 2. Cho tam giác \displaystyle ABC, đường tròn bàng tiếp góc \displaystyle A tiếp xúc với cạnh \displaystyle BC, đường thẳng \displaystyle AB\displaystyle AC lần lượt tại \displaystyle E,D,F. \displaystyle EZ là đường kính của đường tròn. \displaystyle B_1\displaystyle C_1 thuộc \displaystyle DF sao cho \displaystyle BB_1\perp{BC}, \displaystyle CC_1\perp{BC}. Đường thẳng \displaystyle ZB_1,ZC_1 cắt \displaystyle BC tại \displaystyle X,Y tương ứng. \displaystyle EZ cắt \displaystyle DF tại \displaystyle H, \displaystyle ZK vuông góc với \displaystyle FD tại \displaystyle K. Chứng minh rằng nếu \displaystyle H là trực tâm của tam giác \displaystyle XYZ thì \displaystyle H,K,X,Y cùng nằm trên một đường tròn.
Bài 3. Tìm số các bộ \displaystyle (x_1,...,x_{100}) thỏa mãn đồng thời ba điều kiện
i) \displaystyle x_1,...,x_{100}\in\{1,2,..,2017\};
ii) \displaystyle 2017|x_1+...+x_{100};
iii) \displaystyle 2017|x_1^2+...+x_{100}^2. Continue reading “Đề thi chọn đội tuyển Trung Quốc tham dự IMO 2017 (China TST 2017) – Phần 4”

Đề thi chọn HSG Quốc gia của Trung Quốc năm 2018 (China MO 2018)


Ngày thứ nhất

Bài 1. Cho số nguyên dương \displaystyle n. Gọi \displaystyle A_n là tập các số nguyên tố \displaystyle p sao cho tồn tại các số nguyên dương \displaystyle a,b thỏa mãn \displaystyle \dfrac{a+b}{p}\displaystyle \dfrac{a^n + b^n}{p^2} là các số nguyên nguyên tố cùng nhau với \displaystyle p. Nếu \displaystyle A_n hữu hạn, gọi \displaystyle f(n) là số phần tử của nó.
a) Chứng minh \displaystyle A_n hữu hạn khi và chỉ khi \displaystyle n \not = 2.
b) Cho \displaystyle m,k là các số nguyên dương lẻ và \displaystyle d=(m,k). Chứng minh
\displaystyle f(d) \leq f(k) + f(m) - f(km) \leq 2 f(d).
Bài 2. Cho \displaystyle n, \displaystyle k là các số nguyên dương và tập
\displaystyle T = \{ (x,y,z) \in \mathbb{N}^3 \mid 1 \leq x,y,z \leq n \}.
Biết \displaystyle 3n^2 - 3n + 1 + k điểm của \displaystyle T được tô đỏ sao cho nếu \displaystyle P, \displaystyle Q là các điểm đỏ và \displaystyle PQ song song với một trong các trục thì tất cả các điểm thuộc PQ đều được tô đỏ. Chứng minh tồn tại ít nhất k hình lập phương đơn vị mà tất cả các đỉnh của chúng đều mang màu đỏ.
Bài 3. Cho \displaystyle q là số nguyên dương không phải là lập phương của một số nguyên. Chứng minh tồn tại hằng số dương \displaystyle C sao cho với mỗi số nguyên dương \displaystyle n, ta có \displaystyle \{ nq^{\frac{1}{3}} \} + \{ nq^{\frac{2}{3}} \} \geq Cn^{-\frac{1}{2}}.

Continue reading “Đề thi chọn HSG Quốc gia của Trung Quốc năm 2018 (China MO 2018)”

IMO 2014 Shortlist – Number theory


Bài 1. Cho số nguyên \displaystyle n \ge 2, và tập \displaystyle A_n = \{2^n - 2^k\mid k \in \mathbb{Z},\, 0 \le k < n\}. Xác định số nguyên dương lớn nhất không thể viết thành tổng của một hoặc một vài phần tử (không nhất thiết phân biệt) của \displaystyle A_n.
Bài 2. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương \displaystyle (x, y) sao cho \displaystyle \sqrt[3]{7x^2-13xy+7y^2}=|x-y|+1.
Bài 3. Với mỗi số nguyên dương \displaystyle n, ngân hàng phát hành các đồng xu với mệnh giá \displaystyle \frac{1}{n}. Cho một họ hữu hạn các đồng xu như vậy (không nhất thiết các đồng xu có mệnh giá khác nhau) sao cho tổng các mệnh giá của các đồng xu không vượt quá \displaystyle 99+\frac{1}{2}. Chứng minh rằng có thể chia họ này thành không quá \displaystyle 100 nhóm, sao cho tổng mệnh giá của các đồng xu trong mỗi nhóm không vượt quá \displaystyle 1.
Bài 4. Cho số nguyên \displaystyle n > 1 và dãy số \displaystyle (a_k )_{k\ge 1} xác định bởi \displaystyle a_k=\left[\frac{n^k}{k}\right],\,\,\forall k\geq 1. Chứng minh rằng dãy số \displaystyle (a_k )_{k\ge 1} chứa vô hạn số hạng lẻ.
Bài 5. Tìm tất cả các số nguyên tố \displaystyle p và các cặp số nguyên dương \displaystyle (x, y) sao cho \displaystyle x^{p -1} + y\displaystyle x + y^ {p -1} đều là các lũy thừa của \displaystyle p.
Bài 6. Cho \displaystyle a_1 < a_2 < \cdots <a_n là các số nguyên dương đôi một nguyên tố cùng nhau sao cho \displaystyle a_1 là số nguyên tố và \displaystyle a_1 \ge n + 2. Trên đoạn \displaystyle I = [0, a_1 a_2 \cdots a_n ] của trục số, đánh dấu tất cả các số nguyên chia hết cho ít nhất một trong các số \displaystyle a_1, \displaystyle a_2, \displaystyle \ldots, \displaystyle a_n. Các điểm này chia \displaystyle I thành các đoạn nhỏ hơn. Chứng minh rằng tổng bình phương của các độ dài của các đoạn đó chia hết cho \displaystyle a_1. Continue reading “IMO 2014 Shortlist – Number theory”

Đề chọn đội VMO 2018


Giống như topic năm 2016 https://nttuan.org/2016/09/18/topic-817/ , trong topic này tôi sẽ tổng hợp tất cả các đề chọn đội VMO 2018 của các tỉnh thành *.pdf. Mọi người có thể hỗ trợ tôi theo các cách:

1) Chỉ ra lỗi trong file;

2) Gửi đề của tỉnh mình qua email cho tôi (có file text càng tốt).

Cảm ơn các bạn rất nhiều. Continue reading “Đề chọn đội VMO 2018”

IMO 2017 training (2)


Chào các bạn đồng nghiệp,

đây là một số bài toán tôi dùng để luyện cho đội IMO 2017. Tuyển tập này gồm nhiều phần, đây là phần thứ hai.

Các bạn có thể xem phần đầu ở https://nttuan.org/2017/08/01/imo-2017-training-1/


Bài 1. Cho số nguyên dương \displaystyle n>1 và dãy số Fibonacci xác định như sau \displaystyle f_1=f_2=1, \displaystyle f_{k+2}=f_{k+1}+f_k,\,\forall k\in\mathbb{N}^*. Chứng minh rằng nếu \displaystyle a\displaystyle b là các số nguyên dương sao cho \displaystyle \dfrac{a}{b} nằm giữa hai phân số \displaystyle \dfrac{f_n}{f_{n-1}}\displaystyle \dfrac{f_{n+1}}{f_{n}} thì \displaystyle b\geq f_{n+1}.
Bài 2. (VMO 2013) Cho trước một số số tự nhiên được viết trên một đường thẳng. Ta thực hiện các bước điền số lên đường thẳng như sau: tại mỗi bước, trước tiên xác định tất cả các cặp số kề nhau hiện có trên đường thẳng theo thứ tự từ trái qua phải, sau đó điền vào giữa mỗi cặp một số bằng tổng của hai số thuộc cặp đó. Hỏi sau \displaystyle 2013 bước, số \displaystyle 2013 xuất hiện bao nhiêu lần trên đường thẳng trong các trường hợp sau:
a) Các số cho trước là: \displaystyle 1\displaystyle 1000?
b) Các số cho trước là: \displaystyle 1,2,...,1000 và được xếp theo thức tự tăng dần từ trái qua phải?
Bài 3. Dãy hữu hạn các số nguyên \displaystyle a_1, a_2, \dots, a_n được gọi là chính quy nếu tồn tại số thực \displaystyle x thỏa mãn \displaystyle \left\lfloor kx \right\rfloor = a_k với mọi \displaystyle k=1, 2,\cdots, n. Cho dãy chính quy \displaystyle a_1, a_2, \dots, a_n, với \displaystyle 1 \le k \le n ta nói \displaystyle a_k là số hạng bắt buộc nếu dãy \displaystyle a_1, a_2, \dots, a_{k-1}, b chính quy khi và chỉ khi \displaystyle b = a_k. Tìm số lớn nhất các số hạng bắt buộc của một dãy chính quy dài \displaystyle 1000.
Bài 4. Cho \displaystyle \nu là một số vô tỷ dương, và \displaystyle m là một số nguyên dương. Một cặp \displaystyle (a,b) các số nguyên dương được gọi là tốt nếu
\displaystyle a \left \lceil b\nu \right \rceil - b \left \lfloor a \nu \right \rfloor = m. Một cặp tốt \displaystyle (a,b) được gọi là rất tốt nếu không cặp nào trong hai cặp \displaystyle (a-b,b), \displaystyle (a,b-a) là tốt. Chứng minh rằng số cặp rất tốt bằng tổng các ước dương của \displaystyle m.
Bài 5. Cho \displaystyle m,n là các số nguyên dương thỏa mãn \displaystyle m \ge n. Gọi \displaystyle S là tập tất cả các cặp \displaystyle (a,b) các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau thỏa mãn \displaystyle a,b \le m\displaystyle a+b > m. Với mỗi \displaystyle (a,b)\in S, xét nghiệm tự nhiên \displaystyle (u,v) của phương trình \displaystyle au - bv = n sao cho \displaystyle v nhỏ nhất, và gọi \displaystyle I(a,b) là khoảng \displaystyle (v/a, u/b). Chứng minh rằng \displaystyle I(a,b) \subset (0,1) với mọi \displaystyle (a,b)\in S và mỗi số vô tỷ \displaystyle \alpha\in(0,1) thuộc \displaystyle I(a,b) với đúng \displaystyle n cặp phân biệt \displaystyle (a,b)\in S.
Bài 6. Một số nguyên dương \displaystyle q được gọi là mẫu phù hợp của số thực \displaystyle \alpha nếu \displaystyle \displaystyle |\alpha - \dfrac{p}{q}|<\dfrac{1}{10q} với số nguyên \displaystyle p nào đó. Chứng minh nếu hai số vô tỷ \displaystyle \alpha\displaystyle \beta có cùng tập các mẫu phù hợp thì \displaystyle \alpha+\beta hoặc \displaystyle \alpha- \beta là một số nguyên. Continue reading “IMO 2017 training (2)”

Đề thi chọn HSG Quốc gia của Nhật năm 2017


Bài 1. Cho các số nguyên dương a,bc. Chứng minh rằng [a,b]\not= [a+c,b+c].
Bài 2. Cho số nguyên dương N và các số nguyên dương a_{1}, a_{2},\cdots, a_{N} sao cho không có số nào là bội của 2^{N+1}. Với mỗi số nguyên n\geq N+1, xác định a_{n} như sau: Nếu dư khi chia a_{k} cho 2^{n} là bé nhất trong các dư khi chia a_{1},\cdots, a_{n-1} cho 2^{n}, thì a_{n}=2a_{k} (nếu có nhiều số k thỏa mãn, ta lấy số lớn nhất). Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương M sao cho a_{n}=a_{M} với mọi n\geq M.
Bài 3. Cho tam giác nhọn ABC với tâm ngoại tiếp O. Gọi D,EF lần lượt là chân các đường cao qua A,BC, và M là trung điểm của BC. AD cắt EF tại X, AO cắt BC tại Y, và Z là trung điểm của XY. Chứng minh A,ZM thẳng hàng.
Bài 4. Cho số nguyên n thỏa mãn n \geq 3. Có n người và một cuộc họp được tổ chức mỗi ngày một lần sao cho các điều kiện sau được thỏa mãn đồng thời:
(1) trong mỗi cuộc họp, có ít nhất ba người tham gia.
(2) mỗi thành viên tham gia một cuộc họp đều bắt tay với tất cả những người còn lại tham dự cuộc họp đó.
(3) sau cuộc họp thứ n, mỗi cặp trong n người bắt tay nhau đúng một lần.
Chứng minh rằng số người tham gia các cuộc họp là bằng nhau. Continue reading “Đề thi chọn HSG Quốc gia của Nhật năm 2017”