Category: Geometry

Hình tạo bởi một đường gấp khúc đóng và không tự cắt được gọi là đa giác đơn. Một tam giác cơ bản là một tam giác trong mặt phẳng tọa độ có các đỉnh là các điểm nguyên đồng thời trên biên và phần trong của nó không còn điểm nguyên nào khác. Định lí Pick cho một cách đơn giản tính diện tích đa giác đơn có các đỉnh nguyên.

Trong chứng minh định lí Pick ta cần dùng công thức tích diện tích của tam giác trong mặt phẳng tọa độ.

Định lí 1. Trong mặt phẳng tọa độ , cho tam giác Khi đó diện tích của tam giác bằng Nói riêng, với mỗi hai điểm và ta có diện tích của tam giác bằng

Định lí 2. Mọi tam giác cơ bản đều có diện tích bằng

Chứng minh. Giả sử là một tam giác cơ bản bất kỳ. Không mất tính tổng quát, xem trùng với gốc tọa độ Ta cần chứng minh với và lần lượt là tọa độ của và

Gọi là điểm sao cho là hình bình hành. Giả sử là một điểm nguyên nằm trong hoặc trên biên hình bình hành sao cho khác các đỉnh. Khi đó thuộc tam giác và điểm đối xứng với qua tâm hình bình hành là điểm nguyên thuộc tam giác nhưng khác các đỉnh, không thể xảy ra điều này do là một tam giác cơ bản. Như vậy hình bình hành không chứa điểm nguyên nào khác bốn đỉnh của nó.

Giả sử là một điểm nguyên bất kỳ. Vì và là hai vector không cùng phương nên tồn tại cặp số thực để Gọi là điểm xác định bởi Vì và thuộc nên thuộc hình bình hành , nhưng lại là một điểm nguyên, suy ra phải là một trong bốn đỉnh của hình bình hành. Dễ thấy và do đó và là hai số nguyên.

Gọi và lần lượt là các vector đơn vị đặt trên và . Khi đó theo lập luận trên, tồn tại các cặp số nguyên và để và Từ hai đẳng thức này ta có và suy ra và trong đó do và không thẳng hàng. Vì và là các số nguyên nên và đều là bội của , do đó và bởi thế,

Định lí Pick. Cho là một đa giác đơn có các đỉnh là các điểm nguyên, là số điểm nguyên nằm trong và là số điểm nguyên nằm trên biên của . Khi đó ta có đẳng thức

Chứng minh. Chia thành tam giác cơ bản. Gọi là tổng các góc trong của tất cả các tam giác cơ bản đó. Ta sẽ tính theo hai cách. Vì số tam giác là nên

Tổng tất cả các góc có đỉnh là một điểm nguyên nằm trong bằng , tổng tất cả các góc có đỉnh là một điểm nguyên nằm trên biên của nhưng không phải đỉnh của bằng và tổng của tất cả các góc có đỉnh là đỉnh của bằng , ở đây là số đỉnh của . Do đó .

Suy ra , mà , suy ra điều phải chứng minh.