Category: Contests

Chu kỳ cơ sở của dãy Fibonacci modulo m là một số chẵn


Chúng ta đã biết là với mỗi số nguyên dương m, dãy Fibonacci modulo m là một dãy tuần hoàn. Với mọi số nguyên dương m, gọi \pi (m) là chu kỳ cơ sở của dãy đó. Trong bài này tôi sẽ giới thiệu một chứng minh cho kết quả sau:

Định lí (D. D. Wall, 1960). Với mọi số nguyên m>2, \pi (m) là một số chẵn.

Chứng minh. Với mỗi số nguyên dương m, cố định nó. Gọi k là số nguyên dương bé nhất sao cho F_k chia hết cho m, và \varphi là tỷ số vàng.

Vì F_k\equiv 0\pmod{m} nên F_{k+1}\equiv F_{k-1}\pmod{m}, do đó F_{k+i}\equiv F_{k+1}F_i\pmod{m},\quad\forall i\in\mathbb{N}^*.

Từ kết quả trên ta có F_{k\text{ord}_m(F_{k+1})+1}\equiv F_{k\text{ord}_m(F_{k+1})+2}\equiv F_{k+1}^{\text{ord}_m(F_{k+1})}\equiv 1\pmod{m}, suy ra \pi (m)=k\text{ord}_m(F_{k+1}).\quad (*)

Bây giờ trong \mathbb{Z}[\varphi], ta có \varphi^k\equiv (1-\varphi)^k\pmod{m}, suy ra F_{k+1}\equiv \varphi^k\pmod{m}, nhưng ta biết \varphi^{4k}\equiv 1\pmod{m}, do đó \pi (m)\in \{k,2k,4k\}. Nếu \pi (m) không phải là số chẵn thì \pi (m)=k và k là số lẻ. Khi đó từ (*) ta được \text{ord}_m(F_{k+1})=1, suy ra 1\equiv \varphi^k\pmod{m}. Kết hợp điều này với \varphi^{2k}\equiv (-1)^k\pmod{m} ta thu được m\mid 2, vô lý.

Một chứng minh khác có trong bài của Wall ở AMM, Vol 67, trang 525.

IMO 2021


Kì thi Olympic Toán học Quốc tế lần thứ 62 (IMO 2021) diễn ra từ 14/7 đến 24/7. Do dịch Covid nên kì thi được tổ chức online, nước chủ nhà là Nga.

I) Danh sách đội tuyển Việt Nam

Trưởng đoàn là thầy Lê Anh Vinh, Phó trưởng đoàn là thầy Lê Bá Khánh Trình.

Dưới đây là danh sách 6 học sinh:

1) Phan Hữu An, THPT Chuyên KHTN

2) Trương Tuấn Nghĩa, THPT Chuyên KHTN

3) Đỗ Bách Khoa, THPT Chuyên Hà Nội – Amsterdam

4) Đinh Vũ Tùng Lâm, THPT Chuyên KHTN

5) Phan Huỳnh Tuấn Kiệt, THPT Chuyên Lê Hồng Phong, TpHCM

6) Vũ Ngọc Bình, THPT Chuyên Vĩnh Phúc

II) Đề thi – Đáp án

Download đề thi IMO 2021

Download đáp án IMO 2021

Đề thi năm nay rất khó, đặc biệt là bài 2 và bài 3. Bài 2 quá khó đối với một bài 2 thông thường ở IMO.

III) Kết quả

Ban tổ chức IMO 2021 quyết định trao 52 HCV cho các thí sinh có điểm \geq 24, trao 103 HCB cho các thí sinh có điểm \geq 19, và 148 HCĐ cho các thí sinh có điểm \geq 12.

Đội ta được 1 HCV, 2 HCB và 3 HCĐ. Chúc mừng đội tuyển Việt Nam!

Kết quả của đội Việt Nam

HCV duy nhất lần này thuộc về em Đỗ Bách Khoa, học sinh lớp 12 Toán 1 trường THPT Chuyên Hà Nội – Amsterdam. Với số điểm 35/42, Khoa lọt vào top 12 thí sinh có điểm cao nhất của IMO 2021.

Vậy là Ams có HCV IMO đầu tiên trong lịch sử! Trong lịch sử hơn 60 năm của IMO, Khoa cũng là học sinh đầu tiên của đội tuyển Hà Nội được HCV.

Chỉ có đúng 1 thí sinh đạt 42/42 ở IMO 2021, đó là một học sinh đến từ Trung Quốc.

Nhìn hai cột P2 và P3 mới thấy Khoa hay thế nào.

Tính tổng điểm thì lần này đội ta đứng thứ 14.

Đội Trung Quốc xếp thứ nhất với 208 điểm

IMO 2022 sẽ được tổ chức ở Nauy.

Mathematical Olympiads 2021: Problems from Around the World


Trong bài này tôi sẽ giới thiệu một số đề thi Olympic Toán năm 2021. Các đề thi được đăng ở dạng một file pdf không link, không ad và không watermark.

[1] Đề thi chọn HSG QG của Việt Nam năm 2021.

[2] Đề thi chọn đội tuyển IMO 2021 của Việt Nam.

[3] Đề thi chọn HSG QG của Ấn Độ năm 2021.

[4] Đề thi chọn HSG QG của Trung Quốc năm 2021.

[5] Đề thi chọn đội tuyển IMO 2021 của Trung Quốc.

[6] Đề thi chọn HSG QG của Mỹ năm 2021.

[7] Đề thi chọn HSG QG của Nhật năm 2021.

[8] Đề thi chọn HSG QG của Canada năm 2021.

[9] Đề thi chọn HSG QG của Bungari năm 2021.

Update 17/7/2021.

Một số đề thi chọn đội tuyển Toán của Hà Nội


Trong tài liệu này tôi sẽ giới thiệu một số đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi toán lớp 12 của Hà Nội, đội tuyển này sẽ tham dự kỳ thi chọn học sinh giỏi quốc gia cùng năm.

Download

USEMO – United States Ersatz Math Olympiad


USEMO là một cuộc thi toán dành cho tất cả học sinh trung học cơ sở và trung học phổ thông Hoa Kỳ. Giống như nhiều cuộc thi, mục tiêu của nó là phát triển sự quan tâm và khả năng trong toán học (chứ không phải là đo lường nó). Tuy nhiên, đây là một trong số ít các cuộc thi cho tất cả học sinh trung học cơ sở và trung học phổ thông Hoa Kỳ.

USEMO được lưu trữ trên trang AoPS. Cuộc thi này không được tài trợ bởi MAA.

Độ khó của các bài toán của cuộc thi tương tự như IMO.

Các bạn có thể tìm hiểu thêm về cuộc thi ở đây, hoặc download.