Chúng ta đã biết là với mỗi số nguyên dương dãy Fibonacci modulo là một dãy tuần hoàn. Với mọi số nguyên dương gọi là chu kỳ cơ sở của dãy đó. Trong bài này tôi sẽ giới thiệu một chứng minh cho kết quả sau:
Định lí (D. D. Wall, 1960). Với mọi số nguyên là một số chẵn.
Chứng minh. Với mỗi số nguyên dương cố định nó. Gọi là số nguyên dương bé nhất sao cho chia hết cho và là tỷ số vàng.
Vì nên do đó
Từ kết quả trên ta có suy ra
Bây giờ trong ta có suy ra nhưng ta biết do đó Nếu không phải là số chẵn thì và là số lẻ. Khi đó từ ta được suy ra Kết hợp điều này với ta thu được vô lý.
Một chứng minh khác có trong bài của Wall ở AMM, Vol 67, trang 525.
Đề thi năm nay rất khó, đặc biệt là bài 2 và bài 3. Bài 2 quá khó đối với một bài 2 thông thường ở IMO.
III) Kết quả
Ban tổ chức IMO 2021 quyết định trao 52 HCV cho các thí sinh có điểm trao 103 HCB cho các thí sinh có điểm và 148 HCĐ cho các thí sinh có điểm
Đội ta được 1 HCV, 2 HCB và 3 HCĐ. Chúc mừng đội tuyển Việt Nam!
Kết quả của đội Việt Nam
HCV duy nhất lần này thuộc về em Đỗ Bách Khoa, học sinh lớp 12 Toán 1 trường THPT Chuyên Hà Nội – Amsterdam. Với số điểm 35/42, Khoa lọt vào top 12 thí sinh có điểm cao nhất của IMO 2021.
Vậy là Ams có HCV IMO đầu tiên trong lịch sử! Trong lịch sử hơn 60 năm của IMO, Khoa cũng là học sinh đầu tiên của đội tuyển Hà Nội được HCV.
Chỉ có đúng 1 thí sinh đạt 42/42 ở IMO 2021, đó là một học sinh đến từ Trung Quốc.
Trong tài liệu này tôi sẽ giới thiệu một số đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi toán lớp 12 của Hà Nội, đội tuyển này sẽ tham dự kỳ thi chọn học sinh giỏi quốc gia cùng năm.
USEMO là một cuộc thi toán dành cho tất cả học sinh trung học cơ sở và trung học phổ thông Hoa Kỳ. Giống như nhiều cuộc thi, mục tiêu của nó là phát triển sự quan tâm và khả năng trong toán học (chứ không phải là đo lường nó). Tuy nhiên, đây là một trong số ít các cuộc thi cho tất cả học sinh trung học cơ sở và trung học phổ thông Hoa Kỳ.
USEMO được lưu trữ trên trang AoPS. Cuộc thi này không được tài trợ bởi MAA.
Độ khó của các bài toán của cuộc thi tương tự như IMO.
Các bạn có thể tìm hiểu thêm về cuộc thi ở đây, hoặc download.