Hãy giải bài toán sau theo ít nhất cách:
Bài toán. Cho là số nguyên dương không phải là lập phương của một số nguyên. Chứng minh rằng tồn tại hằng số dương
sao cho với mỗi số nguyên dương
, ta có
Hãy giải bài toán sau theo ít nhất cách:
Bài toán. Cho là số nguyên dương không phải là lập phương của một số nguyên. Chứng minh rằng tồn tại hằng số dương
sao cho với mỗi số nguyên dương
, ta có
Trong bài này tôi sẽ giới thiệu một số đề luyện tập cho học sinh lớp 10 Chuyên toán năm học 2022-2023.
Đây là bài trả lời cho câu hỏi: Em mới vào lớp 10 Chuyên toán, em nên có những cuốn sách nào?
0) Tài liệu giáo khoa Chuyên toán lớp 10 (gồm cả SBT).
1) Titu Andreescu and Zuming Feng, A Path to Combinatorics for Undergraduates
2) Titu Andreescu and Zuming Feng, 102 Combinatorial Problems
3) Evan Chen, Euclidean Geometry in Mathematical Olympiads
4) Titu Andreescu, Sam Korsky, and Cosmin Pohoata, Lemmas in Olympiad Geometry.
5) Các bài giảng số học của Đặng Hùng Thắng.
6) David Burton, Elementary Number Theory.
7) Phạm Kim Hùng, Sáng tạo bất đẳng thức (Tập 1 và 2).
IMO 2022 diễn ra ở Oslo (Norway) từ 6/7 đến 16/7.
I. Danh sách đội tuyển Việt Nam
Ngô Quý Đăng (THPT chuyên KHTN, Hà Nội)
Phạm Việt Hưng (THPT chuyên KHTN, Hà Nội)
Vũ Ngọc Bình (THPT chuyên Vĩnh Phúc, Vĩnh Phúc)
Hoàng Tiến Nguyên (THPT chuyên Phan Bội Châu, Nghệ An)
Phạm Hoàng Sơn (Phổ thông Năng khiếu, ĐHQG thành phố Hồ Chí Minh)
Nguyễn Đại Dương (THPT chuyên Lam Sơn, Thanh Hóa)
Trưởng đoàn là GS. Lê Anh Vinh, Phó đoàn là PGS. Lê Bá Khánh Trình.
II. Đề thi và đáp án
Đáp án có ngay trong link trên AoPS các bạn nhé! Nhưng mà đừng bấm vào link vội, giải thử đã! 🙂
III. Kết quả
Đề năm nay dễ hơn đề các năm khác, có đến 10 thí sinh đạt 42/42 điểm. Có vẻ đề thi này đã không làm tốt chỗ phân loại cao?
Trong kì thi chọn HSG QG của Trung Quốc năm 2016 có bài toán dưới đây:
Bài toán (CMO 2016/3). Cho số nguyên tố lẻ và các số nguyên
. Chứng minh rằng hai điều kiện sau tương đương:
1) Tồn tại đa thức bậc
với hệ số nguyên sao cho
2) Với mỗi số nguyên dương ,
Ở đây chỉ số được mở rộng theo
Bài toán tổng quát. Cho số nguyên tố lẻ số nguyên dương
và các số nguyên
. Chứng minh rằng hai điều kiện sau tương đương:
1) Tồn tại đa thức bậc
với hệ số nguyên sao cho
2) Với mỗi số nguyên dương ,
Ở đây chỉ số được mở rộng theo
Chúng ta đã biết là với mỗi số nguyên dương dãy Fibonacci modulo
là một dãy tuần hoàn. Với mọi số nguyên dương
gọi
là chu kỳ cơ sở của dãy đó. Trong bài này tôi sẽ giới thiệu một chứng minh cho kết quả sau:
Định lí (D. D. Wall, 1960). Với mọi số nguyên
là một số chẵn.
Chứng minh. Với mỗi số nguyên dương cố định nó. Gọi
là số nguyên dương bé nhất sao cho
chia hết cho
và
là tỷ số vàng.
Vì nên
do đó
Từ kết quả trên ta có suy ra
Bây giờ trong ta có
suy ra
nhưng ta biết
do đó
Nếu
không phải là số chẵn thì
và
là số lẻ. Khi đó từ
ta được
suy ra
Kết hợp điều này với
ta thu được
vô lý.
Một chứng minh khác có trong bài của Wall ở AMM, Vol 67, trang 525.
Trong bài này tôi sẽ giới thiệu một số đề thi Olympic Toán năm 2021. Các đề thi được đăng ở dạng một file pdf không link, không ad và không watermark.
[1] Đề thi chọn HSG QG của Việt Nam năm 2021.
[2] Đề thi chọn đội tuyển IMO 2021 của Việt Nam.
[3] Đề thi chọn HSG QG của Ấn Độ năm 2021.
[4] Đề thi chọn HSG QG của Trung Quốc năm 2021.
[5] Đề thi chọn đội tuyển IMO 2021 của Trung Quốc.
[6] Đề thi chọn HSG QG của Mỹ năm 2021.
[7] Đề thi chọn HSG QG của Nhật năm 2021.
[8] Đề thi chọn HSG QG của Canada năm 2021.
[9] Đề thi chọn HSG QG của Bungari năm 2021.
Update 17/7/2021.
Bài toán. Cho là các số nguyên không đồng thời bằng
. Chứng minh rằng nếu
là các số nguyên dương đôi một khác nhau và không có ước chính phương lớn hơn
thì
.
Lời giải. Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp theo , số ước nguyên tố của
, khẳng định: Tồn tại tổng
sao cho
là số nguyên khác
, ở đây
là các số nguyên dương đôi một khác nhau và không có ước chính phương khác
, tập các ước nguyên tố của
là tập con của tập các ước nguyên tố của
,
là các số nguyên, và
. Từ đó suy ra
.
Với ta chọn
.
Với ta chọn
khi
, chọn
nếu
.
USEMO là một cuộc thi toán dành cho tất cả học sinh trung học cơ sở và trung học phổ thông Hoa Kỳ. Giống như nhiều cuộc thi, mục tiêu của nó là phát triển sự quan tâm và khả năng trong toán học (chứ không phải là đo lường nó). Tuy nhiên, đây là một trong số ít các cuộc thi cho tất cả học sinh trung học cơ sở và trung học phổ thông Hoa Kỳ.
USEMO được lưu trữ trên trang AoPS. Cuộc thi này không được tài trợ bởi MAA.
Độ khó của các bài toán của cuộc thi tương tự như IMO.
Các bạn có thể tìm hiểu thêm về cuộc thi ở đây, hoặc download.
Trong bài này chúng tôi sẽ giới thiệu một công thức tính số nghiệm tự nhiên của phương trình ở đây
là các số nguyên dương thỏa mãn
và
là số tự nhiên.
Định lí. (Công thức Popoviciu) Gọi là số các cặp số tự nhiên
sao cho
, ở đây
là các số nguyên dương thỏa mãn
và
là số tự nhiên. Khi đó
với
là nghịch đảo modulo
của
và
là nghịch đảo modulo
của
.
Chứng minh. Gọi là hàm sinh của dãy số
. Ta có
Vì nên đa thức
có nghiệm là
với bội
và các nghiệm đơn
,
, ở đây
và
Kết hợp với
ta có tồn tại các số phức
sao cho
Để ý đến hệ số của , từ
ta có
Bây giờ ta sẽ đi tìm các số phức từ đẳng thức
Nhân hai vế của với
và cho
ta có
, sau đó nhân hai vế của
với
, để
một bên và cho
ta được
. Theo cùng một cách ta có
Thay vào ta được
Từ ta có
, mà
, suy ra
do đó
chứng minh tương tự ta được
thay hai đẳng thức cuối cùng vào ta có điều cần chứng minh.