Category: Mathematical Olympiad

Một bài toán có nhiều cách giải (1)


Hãy giải bài toán sau theo ít nhất 3 cách:

Bài toán. Cho q là số nguyên dương không phải là lập phương của một số nguyên. Chứng minh rằng tồn tại hằng số dương C sao cho với mỗi số nguyên dương n, ta có
\displaystyle \{nq^{\frac{1}{3}}\} + \{ nq^{\frac{2}{3}} \} \geq Cn^{-\frac{1}{2}}.

Số khoảng cách giữa các điểm trong mặt phẳng


Cho \mathcal{P} là một tập hợp gồm n\, (n\in\mathbb{Z}, n>2) điểm trong mặt phẳng. Gọi d_1, d_2, \ldots,d_k là dãy giảm tất cả các khoảng cách giữa hai điểm thuộc \mathcal{P}, và m_1,m_2, \ldots,m_k lần lượt là bội của chúng.

1) Chứng minh rằng m_1\leq n.

2) Chứng minh rằng nếu các phần tử của \mathcal{P} là các đỉnh của một n-giác lồi thì số đường chéo dài nhất của đa giác này không vượt quá n.

3) Chứng minh rằng \displaystyle k> \sqrt{n-1}-1.

4) Chứng minh rằng nếu các phần tử của \mathcal{P} là các đỉnh của một n-giác lồi thì \displaystyle k\geq \left[\frac{n}{2}\right]. Khi n là số lẻ và có đẳng thức, chứng minh đa giác là n-giác đều.

5) Chứng minh rằng nếu các phần tử của \mathcal{P} là các đỉnh của một n-giác lồi thì \displaystyle m_2\leq \frac{4}{3}n.

6) Chứng minh rằng \displaystyle m_2\leq \frac{3}{2}n.

Lớp 10 Chuyên toán năm học 2022-2023: Một số đề luyện tập


Trong bài này tôi sẽ giới thiệu một số đề luyện tập cho học sinh lớp 10 Chuyên toán năm học 2022-2023.

2223_10ct_deluyen1Download

2223_10ct_deluyen2Download

Gửi các bạn mới vào lớp 10 Chuyên toán: Một số cuốn sách nên có


Đây là bài trả lời cho câu hỏi: Em mới vào lớp 10 Chuyên toán, em nên có những cuốn sách nào?

0) Tài liệu giáo khoa Chuyên toán lớp 10 (gồm cả SBT).

1) Titu Andreescu and Zuming Feng, A Path to Combinatorics for Undergraduates

2) Titu Andreescu and Zuming Feng, 102 Combinatorial Problems 


3) Evan Chen, Euclidean Geometry in Mathematical Olympiads 


4) Titu Andreescu, Sam Korsky, and Cosmin Pohoata, Lemmas in Olympiad Geometry.


5) Các bài giảng số học của Đặng Hùng Thắng.


6) David Burton, Elementary Number Theory.


7) Phạm Kim Hùng, Sáng tạo bất đẳng thức (Tập 1 và 2).

IMO 2022 – Đề thi, đáp án, và kết quả


IMO 2022 diễn ra ở Oslo (Norway) từ 6/7 đến 16/7.

I. Danh sách đội tuyển Việt Nam

Ngô Quý Đăng (THPT chuyên KHTN, Hà Nội)

Phạm Việt Hưng (THPT chuyên KHTN, Hà Nội)

Vũ Ngọc Bình (THPT chuyên Vĩnh Phúc, Vĩnh Phúc)

Hoàng Tiến Nguyên (THPT chuyên Phan Bội Châu, Nghệ An)

Phạm Hoàng Sơn (Phổ thông Năng khiếu, ĐHQG thành phố Hồ Chí Minh)

Nguyễn Đại Dương (THPT chuyên Lam Sơn, Thanh Hóa)

Trưởng đoàn là GS. Lê Anh Vinh, Phó đoàn là PGS. Lê Bá Khánh Trình.

II. Đề thi và đáp án

Đáp án có ngay trong link trên AoPS các bạn nhé! Nhưng mà đừng bấm vào link vội, giải thử đã! 🙂

Đề thi IMO 2022Download

III. Kết quả

Đề năm nay dễ hơn đề các năm khác, có đến 10 thí sinh đạt 42/42 điểm. Có vẻ đề thi này đã không làm tốt chỗ phân loại cao?

HCV: \geq 34, HCB: \geq 29, HCĐ: \geq 23.

10 thí sinh cao điểm nhất! Đội tuyển Việt Nam có 42/42 sau nhiều năm. C05 chắc là đến từ Nga rồi?
Kết quả của đội tuyển Việt Nam: 2 HCV, 2 HCB, 2 HCĐ.
10 đội tuyển có tổng số điểm cao nhất! Đội tuyển Việt Nam đứng thứ 4. Năm nay các học sinh đến từ Nga không được tham gia với tư cách đội tuyển Nga, các em tham gia với tư cách cá nhân, tổng điểm của các em trong đội là 207.

Một tổng quát của CMO 2016/3


Trong kì thi chọn HSG QG của Trung Quốc năm 2016 có bài toán dưới đây:

Bài toán (CMO 2016/3). Cho số nguyên tố lẻ p và các số nguyên a_1, a_2,\ldots,a_p. Chứng minh rằng hai điều kiện sau tương đương:
1) Tồn tại đa thức P(x) bậc \leq \dfrac{p-1}{2} với hệ số nguyên sao cho \displaystyle P(i) \equiv a_i \pmod p,\quad\forall i=1,2,\ldots,p.
2) Với mỗi số nguyên dương d \leq \dfrac{p-1}{2},
\displaystyle \sum_{i=1}^p (a_{i+d} - a_i )^2 \equiv 0 \pmod p.
Ở đây chỉ số được mở rộng theo \pmod p.

Tuần trước, biết tôi đang dạy đa thức, một học sinh cũ đã gửi bài toán sau:

Bài toán tổng quát. Cho số nguyên tố lẻ p, số nguyên dương r, và các số nguyên a_1, a_2,\ldots,a_p. Chứng minh rằng hai điều kiện sau tương đương:
1) Tồn tại đa thức P(x) bậc \leq \dfrac{p-1}{r} với hệ số nguyên sao cho \displaystyle P(i) \equiv a_i \pmod p,\quad\forall i=1,2,\ldots,p.
2) Với mỗi số nguyên dương d \leq \dfrac{p-1}{r},
\displaystyle \sum_{i=1}^p (a_{i+d} - a_i )^r \equiv 0 \pmod p.
Ở đây chỉ số được mở rộng theo \pmod p.

Các bạn thử giải nhé!

Chu kỳ cơ sở của dãy Fibonacci modulo m là một số chẵn


Chúng ta đã biết là với mỗi số nguyên dương m, dãy Fibonacci modulo m là một dãy tuần hoàn. Với mọi số nguyên dương m, gọi \pi (m) là chu kỳ cơ sở của dãy đó. Trong bài này tôi sẽ giới thiệu một chứng minh cho kết quả sau:

Định lí (D. D. Wall, 1960). Với mọi số nguyên m>2, \pi (m) là một số chẵn.

Chứng minh. Với mỗi số nguyên dương m, cố định nó. Gọi k là số nguyên dương bé nhất sao cho F_k chia hết cho m, và \varphi là tỷ số vàng.

Vì F_k\equiv 0\pmod{m} nên F_{k+1}\equiv F_{k-1}\pmod{m}, do đó F_{k+i}\equiv F_{k+1}F_i\pmod{m},\quad\forall i\in\mathbb{N}^*.

Từ kết quả trên ta có F_{k\text{ord}_m(F_{k+1})+1}\equiv F_{k\text{ord}_m(F_{k+1})+2}\equiv F_{k+1}^{\text{ord}_m(F_{k+1})}\equiv 1\pmod{m}, suy ra \pi (m)=k\text{ord}_m(F_{k+1}).\quad (*)

Bây giờ trong \mathbb{Z}[\varphi], ta có \varphi^k\equiv (1-\varphi)^k\pmod{m}, suy ra F_{k+1}\equiv \varphi^k\pmod{m}, nhưng ta biết \varphi^{4k}\equiv 1\pmod{m}, do đó \pi (m)\in \{k,2k,4k\}. Nếu \pi (m) không phải là số chẵn thì \pi (m)=k và k là số lẻ. Khi đó từ (*) ta được \text{ord}_m(F_{k+1})=1, suy ra 1\equiv \varphi^k\pmod{m}. Kết hợp điều này với \varphi^{2k}\equiv (-1)^k\pmod{m} ta thu được m\mid 2, vô lý.

Một chứng minh khác có trong bài của Wall ở AMM, Vol 67, trang 525.

IMO 2021 – Đề thi, đáp án, và kết quả


Kì thi Olympic Toán học Quốc tế lần thứ 62 (IMO 2021) diễn ra từ 14/7 đến 24/7. Do dịch Covid nên kì thi được tổ chức online, nước chủ nhà là Nga.

I) Danh sách đội tuyển Việt Nam

Trưởng đoàn là thầy Lê Anh Vinh, Phó trưởng đoàn là thầy Lê Bá Khánh Trình.

Dưới đây là danh sách 6 học sinh:

1) Phan Hữu An, THPT Chuyên KHTN

2) Trương Tuấn Nghĩa, THPT Chuyên KHTN

3) Đỗ Bách Khoa, THPT Chuyên Hà Nội – Amsterdam

4) Đinh Vũ Tùng Lâm, THPT Chuyên KHTN

5) Phan Huỳnh Tuấn Kiệt, THPT Chuyên Lê Hồng Phong, TpHCM

6) Vũ Ngọc Bình, THPT Chuyên Vĩnh Phúc

II) Đề thi – Đáp án

Download đề thi IMO 2021

Download đáp án IMO 2021

Đề thi năm nay rất khó, đặc biệt là bài 2 và bài 3. Bài 2 quá khó đối với một bài 2 thông thường ở IMO.

III) Kết quả

Ban tổ chức IMO 2021 quyết định trao 52 HCV cho các thí sinh có điểm \geq 24, trao 103 HCB cho các thí sinh có điểm \geq 19, và 148 HCĐ cho các thí sinh có điểm \geq 12.

Đội ta được 1 HCV, 2 HCB và 3 HCĐ. Chúc mừng đội tuyển Việt Nam!

Kết quả của đội Việt Nam

HCV duy nhất lần này thuộc về em Đỗ Bách Khoa, học sinh lớp 12 Toán 1 trường THPT Chuyên Hà Nội – Amsterdam. Với số điểm 35/42, Khoa lọt vào top 12 thí sinh có điểm cao nhất của IMO 2021.

Vậy là Ams có HCV IMO đầu tiên trong lịch sử! Trong lịch sử hơn 60 năm của IMO, Khoa cũng là học sinh đầu tiên của đội tuyển Hà Nội được HCV.

Chỉ có đúng 1 thí sinh đạt 42/42 ở IMO 2021, đó là một học sinh đến từ Trung Quốc.

Nhìn hai cột P2 và P3 mới thấy Khoa hay thế nào.

Tính tổng điểm thì lần này đội ta đứng thứ 14.

Đội Trung Quốc xếp thứ nhất với 208 điểm

IMO 2022 sẽ được tổ chức ở Nauy.

Mathematical Olympiads 2021: Problems from Around the World


Trong bài này tôi sẽ giới thiệu một số đề thi Olympic Toán năm 2021. Các đề thi được đăng ở dạng một file pdf không link, không ad và không watermark.

[1] Đề thi chọn HSG QG của Việt Nam năm 2021.

[2] Đề thi chọn đội tuyển IMO 2021 của Việt Nam.

[3] Đề thi chọn HSG QG của Ấn Độ năm 2021.

[4] Đề thi chọn HSG QG của Trung Quốc năm 2021.

[5] Đề thi chọn đội tuyển IMO 2021 của Trung Quốc.

[6] Đề thi chọn HSG QG của Mỹ năm 2021.

[7] Đề thi chọn HSG QG của Nhật năm 2021.

[8] Đề thi chọn HSG QG của Canada năm 2021.

[9] Đề thi chọn HSG QG của Bungari năm 2021.

Update 17/7/2021.

Các căn bậc hai là độc lập nguyên


Bài toán. Cho a_1,\ldots,a_k là các số nguyên không đồng thời bằng 0. Chứng minh rằng nếu n_1, n_2,\ldots, n_k là các số nguyên dương đôi một khác nhau và không có ước chính phương lớn hơn 1 thì \sum a_i\sqrt{n_i}\not=0. 

Lời giải. Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp theo N, số ước nguyên tố của \prod n_i, khẳng định: Tồn tại tổng S'=\sum b_i\sqrt{m_i} sao cho SS' là số nguyên khác 0, ở đây m_i là các số nguyên dương đôi một khác nhau và không có ước chính phương khác 1, tập các ước nguyên tố của \prod m_i là tập con của tập các ước nguyên tố của \prod n_i, b_i là các số nguyên, và S=\sum a_i\sqrt{n_i}. Từ đó suy ra S\not=0.

Với N=0 ta chọn S'=1.

Với N=1 ta chọn S'=\sqrt{p_1} khi S=a_1\sqrt{p_1}, chọn S'=-a_1\sqrt{p_1}+a_2 nếu S=a_1\sqrt{p_1}+a_2.

Continue reading “Các căn bậc hai là độc lập nguyên”