Chúng ta đã biết là với mỗi số nguyên dương dãy Fibonacci modulo là một dãy tuần hoàn. Với mọi số nguyên dương gọi là chu kỳ cơ sở của dãy đó. Trong bài này tôi sẽ giới thiệu một chứng minh cho kết quả sau:
Định lí (D. D. Wall, 1960). Với mọi số nguyên là một số chẵn.
Chứng minh. Với mỗi số nguyên dương cố định nó. Gọi là số nguyên dương bé nhất sao cho chia hết cho và là tỷ số vàng.
Vì nên do đó
Từ kết quả trên ta có suy ra
Bây giờ trong ta có suy ra nhưng ta biết do đó Nếu không phải là số chẵn thì và là số lẻ. Khi đó từ ta được suy ra Kết hợp điều này với ta thu được vô lý.
Một chứng minh khác có trong bài của Wall ở AMM, Vol 67, trang 525.
Đề thi năm nay rất khó, đặc biệt là bài 2 và bài 3. Bài 2 quá khó đối với một bài 2 thông thường ở IMO.
III) Kết quả
Ban tổ chức IMO 2021 quyết định trao 52 HCV cho các thí sinh có điểm trao 103 HCB cho các thí sinh có điểm và 148 HCĐ cho các thí sinh có điểm
Đội ta được 1 HCV, 2 HCB và 3 HCĐ. Chúc mừng đội tuyển Việt Nam!
Kết quả của đội Việt Nam
HCV duy nhất lần này thuộc về em Đỗ Bách Khoa, học sinh lớp 12 Toán 1 trường THPT Chuyên Hà Nội – Amsterdam. Với số điểm 35/42, Khoa lọt vào top 12 thí sinh có điểm cao nhất của IMO 2021.
Vậy là Ams có HCV IMO đầu tiên trong lịch sử! Trong lịch sử hơn 60 năm của IMO, Khoa cũng là học sinh đầu tiên của đội tuyển Hà Nội được HCV.
Chỉ có đúng 1 thí sinh đạt 42/42 ở IMO 2021, đó là một học sinh đến từ Trung Quốc.
Bài toán. Cho là các số nguyên không đồng thời bằng . Chứng minh rằng nếu là các số nguyên dương đôi một khác nhau và không có ước chính phương lớn hơn thì .
Lời giải. Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp theo , số ước nguyên tố của , khẳng định: Tồn tại tổng sao cho là số nguyên khác , ở đây là các số nguyên dương đôi một khác nhau và không có ước chính phương khác , tập các ước nguyên tố của là tập con của tập các ước nguyên tố của , là các số nguyên, và . Từ đó suy ra .
Trong bài này chúng tôi sẽ giới thiệu một chứng minh của định lí Fermat nhỏ, chứng minh này của Euler.
Định lí. Cho số nguyên tố và số nguyên không chia hết cho Khi đó
Chứng minh. Vì có hai trong các số có cùng số dư khi chia cho nên tồn tại số nguyên dương sao cho và chọn nhỏ nhất có tính chất này. Nếu thì ta có điều cần chứng minh, sau đây ta xét trường hợp Continue reading “A proof of Fermat’s theorem”
Hình tạo bởi một đường gấp khúc đóng và không tự cắt được gọi là đa giác đơn. Một tam giác cơ bản là một tam giác trong mặt phẳng tọa độ có các đỉnh là các điểm nguyên đồng thời trên biên và phần trong của nó không còn điểm nguyên nào khác. Định lí Pick cho một cách đơn giản tính diện tích đa giác đơn có các đỉnh nguyên.
Trong chứng minh định lí Pick ta cần dùng công thức tích diện tích của tam giác trong mặt phẳng tọa độ.
Định lí 1. Trong mặt phẳng tọa độ , cho tam giác Khi đó diện tích của tam giác bằng Nói riêng, với mỗi hai điểm và ta có diện tích của tam giác bằng
Định lí 2. Mọi tam giác cơ bản đều có diện tích bằng
Chứng minh. Giả sử là một tam giác cơ bản bất kỳ. Không mất tính tổng quát, xem trùng với gốc tọa độ Ta cần chứng minh với và lần lượt là tọa độ của và
Gọi là điểm sao cho là hình bình hành. Giả sử là một điểm nguyên nằm trong hoặc trên biên hình bình hành sao cho khác các đỉnh. Khi đó thuộc tam giác và điểm đối xứng với qua tâm hình bình hành là điểm nguyên thuộc tam giác nhưng khác các đỉnh, không thể xảy ra điều này do là một tam giác cơ bản. Như vậy hình bình hành không chứa điểm nguyên nào khác bốn đỉnh của nó.
Giả sử là một điểm nguyên bất kỳ. Vì và là hai vector không cùng phương nên tồn tại cặp số thực để Gọi là điểm xác định bởi Vì và thuộc nên thuộc hình bình hành , nhưng lại là một điểm nguyên, suy ra phải là một trong bốn đỉnh của hình bình hành. Dễ thấy và do đó và là hai số nguyên.
Gọi và lần lượt là các vector đơn vị đặt trên và . Khi đó theo lập luận trên, tồn tại các cặp số nguyên và để và Từ hai đẳng thức này ta có và suy ra và trong đó do và không thẳng hàng. Vì và là các số nguyên nên và đều là bội của , do đó và bởi thế,
Định lí Pick. Cho là một đa giác đơn có các đỉnh là các điểm nguyên, là số điểm nguyên nằm trong và là số điểm nguyên nằm trên biên của . Khi đó ta có đẳng thức
Chứng minh. Chia thành tam giác cơ bản. Gọi là tổng các góc trong của tất cả các tam giác cơ bản đó. Ta sẽ tính theo hai cách. Vì số tam giác là nên
Tổng tất cả các góc có đỉnh là một điểm nguyên nằm trong bằng , tổng tất cả các góc có đỉnh là một điểm nguyên nằm trên biên của nhưng không phải đỉnh của bằng và tổng của tất cả các góc có đỉnh là đỉnh của bằng , ở đây là số đỉnh của . Do đó .
Trong tài liệu này tôi sẽ giới thiệu một số đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi toán lớp 12 của Hà Nội, đội tuyển này sẽ tham dự kỳ thi chọn học sinh giỏi quốc gia cùng năm.
USEMO là một cuộc thi toán dành cho tất cả học sinh trung học cơ sở và trung học phổ thông Hoa Kỳ. Giống như nhiều cuộc thi, mục tiêu của nó là phát triển sự quan tâm và khả năng trong toán học (chứ không phải là đo lường nó). Tuy nhiên, đây là một trong số ít các cuộc thi cho tất cả học sinh trung học cơ sở và trung học phổ thông Hoa Kỳ.
USEMO được lưu trữ trên trang AoPS. Cuộc thi này không được tài trợ bởi MAA.
Độ khó của các bài toán của cuộc thi tương tự như IMO.
Các bạn có thể tìm hiểu thêm về cuộc thi ở đây, hoặc download.
Tôi có post một số trang về Olympic Toán trên facebook nhưng nó cứ chìm xuống khi đăng một bài khác, vì thế nên tôi lập topic này để lưu các link đó lại.
P. S. Hãy góp link bằng cách comment các bạn nhé! 🙂