Đề thi chọn HSG Quốc gia của Trung Quốc năm 2018 (China MO 2018)


Ngày thứ nhất

Bài 1. Cho số nguyên dương \displaystyle n. Gọi \displaystyle A_n là tập các số nguyên tố \displaystyle p sao cho tồn tại các số nguyên dương \displaystyle a,b thỏa mãn \displaystyle \dfrac{a+b}{p}\displaystyle \dfrac{a^n + b^n}{p^2} là các số nguyên nguyên tố cùng nhau với \displaystyle p. Nếu \displaystyle A_n hữu hạn, gọi \displaystyle f(n) là số phần tử của nó.
a) Chứng minh \displaystyle A_n hữu hạn khi và chỉ khi \displaystyle n \not = 2.
b) Cho \displaystyle m,k là các số nguyên dương lẻ và \displaystyle d=(m,k). Chứng minh
\displaystyle f(d) \leq f(k) + f(m) - f(km) \leq 2 f(d).
Bài 2. Cho \displaystyle n, \displaystyle k là các số nguyên dương và tập
\displaystyle T = \{ (x,y,z) \in \mathbb{N}^3 \mid 1 \leq x,y,z \leq n \}.
Biết \displaystyle 3n^2 - 3n + 1 + k điểm của \displaystyle T được tô đỏ sao cho nếu \displaystyle P, \displaystyle Q là các điểm đỏ và \displaystyle PQ song song với một trong các trục thì tất cả các điểm thuộc PQ đều được tô đỏ. Chứng minh tồn tại ít nhất k hình lập phương đơn vị mà tất cả các đỉnh của chúng đều mang màu đỏ.
Bài 3. Cho \displaystyle q là số nguyên dương không phải là lập phương của một số nguyên. Chứng minh tồn tại hằng số dương \displaystyle C sao cho với mỗi số nguyên dương \displaystyle n, ta có \displaystyle \{ nq^{\frac{1}{3}} \} + \{ nq^{\frac{2}{3}} \} \geq Cn^{-\frac{1}{2}}.

Continue reading “Đề thi chọn HSG Quốc gia của Trung Quốc năm 2018 (China MO 2018)”

IMO 2014 Shortlist – Number theory


Bài 1. Cho số nguyên \displaystyle n \ge 2, và tập \displaystyle A_n = \{2^n - 2^k\mid k \in \mathbb{Z},\, 0 \le k < n\}. Xác định số nguyên dương lớn nhất không thể viết thành tổng của một hoặc một vài phần tử (không nhất thiết phân biệt) của \displaystyle A_n.
Bài 2. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương \displaystyle (x, y) sao cho \displaystyle \sqrt[3]{7x^2-13xy+7y^2}=|x-y|+1.
Bài 3. Với mỗi số nguyên dương \displaystyle n, ngân hàng phát hành các đồng xu với mệnh giá \displaystyle \frac{1}{n}. Cho một họ hữu hạn các đồng xu như vậy (không nhất thiết các đồng xu có mệnh giá khác nhau) sao cho tổng các mệnh giá của các đồng xu không vượt quá \displaystyle 99+\frac{1}{2}. Chứng minh rằng có thể chia họ này thành không quá \displaystyle 100 nhóm, sao cho tổng mệnh giá của các đồng xu trong mỗi nhóm không vượt quá \displaystyle 1.
Bài 4. Cho số nguyên \displaystyle n > 1 và dãy số \displaystyle (a_k )_{k\ge 1} xác định bởi \displaystyle a_k=\left[\frac{n^k}{k}\right],\,\,\forall k\geq 1. Chứng minh rằng dãy số \displaystyle (a_k )_{k\ge 1} chứa vô hạn số hạng lẻ.
Bài 5. Tìm tất cả các số nguyên tố \displaystyle p và các cặp số nguyên dương \displaystyle (x, y) sao cho \displaystyle x^{p -1} + y\displaystyle x + y^ {p -1} đều là các lũy thừa của \displaystyle p.
Bài 6. Cho \displaystyle a_1 < a_2 < \cdots <a_n là các số nguyên dương đôi một nguyên tố cùng nhau sao cho \displaystyle a_1 là số nguyên tố và \displaystyle a_1 \ge n + 2. Trên đoạn \displaystyle I = [0, a_1 a_2 \cdots a_n ] của trục số, đánh dấu tất cả các số nguyên chia hết cho ít nhất một trong các số \displaystyle a_1, \displaystyle a_2, \displaystyle \ldots, \displaystyle a_n. Các điểm này chia \displaystyle I thành các đoạn nhỏ hơn. Chứng minh rằng tổng bình phương của các độ dài của các đoạn đó chia hết cho \displaystyle a_1. Continue reading “IMO 2014 Shortlist – Number theory”

IMO 2017 training (2)


Chào các bạn đồng nghiệp,

đây là một số bài toán tôi dùng để luyện cho đội IMO 2017. Tuyển tập này gồm nhiều phần, đây là phần thứ hai.

Các bạn có thể xem phần đầu ở https://nttuan.org/2017/08/01/imo-2017-training-1/


Bài 1. Cho số nguyên dương \displaystyle n>1 và dãy số Fibonacci xác định như sau \displaystyle f_1=f_2=1, \displaystyle f_{k+2}=f_{k+1}+f_k,\,\forall k\in\mathbb{N}^*. Chứng minh rằng nếu \displaystyle a\displaystyle b là các số nguyên dương sao cho \displaystyle \dfrac{a}{b} nằm giữa hai phân số \displaystyle \dfrac{f_n}{f_{n-1}}\displaystyle \dfrac{f_{n+1}}{f_{n}} thì \displaystyle b\geq f_{n+1}.
Bài 2. (VMO 2013) Cho trước một số số tự nhiên được viết trên một đường thẳng. Ta thực hiện các bước điền số lên đường thẳng như sau: tại mỗi bước, trước tiên xác định tất cả các cặp số kề nhau hiện có trên đường thẳng theo thứ tự từ trái qua phải, sau đó điền vào giữa mỗi cặp một số bằng tổng của hai số thuộc cặp đó. Hỏi sau \displaystyle 2013 bước, số \displaystyle 2013 xuất hiện bao nhiêu lần trên đường thẳng trong các trường hợp sau:
a) Các số cho trước là: \displaystyle 1\displaystyle 1000?
b) Các số cho trước là: \displaystyle 1,2,...,1000 và được xếp theo thức tự tăng dần từ trái qua phải?
Bài 3. Dãy hữu hạn các số nguyên \displaystyle a_1, a_2, \dots, a_n được gọi là chính quy nếu tồn tại số thực \displaystyle x thỏa mãn \displaystyle \left\lfloor kx \right\rfloor = a_k với mọi \displaystyle k=1, 2,\cdots, n. Cho dãy chính quy \displaystyle a_1, a_2, \dots, a_n, với \displaystyle 1 \le k \le n ta nói \displaystyle a_k là số hạng bắt buộc nếu dãy \displaystyle a_1, a_2, \dots, a_{k-1}, b chính quy khi và chỉ khi \displaystyle b = a_k. Tìm số lớn nhất các số hạng bắt buộc của một dãy chính quy dài \displaystyle 1000.
Bài 4. Cho \displaystyle \nu là một số vô tỷ dương, và \displaystyle m là một số nguyên dương. Một cặp \displaystyle (a,b) các số nguyên dương được gọi là tốt nếu
\displaystyle a \left \lceil b\nu \right \rceil - b \left \lfloor a \nu \right \rfloor = m. Một cặp tốt \displaystyle (a,b) được gọi là rất tốt nếu không cặp nào trong hai cặp \displaystyle (a-b,b), \displaystyle (a,b-a) là tốt. Chứng minh rằng số cặp rất tốt bằng tổng các ước dương của \displaystyle m.
Bài 5. Cho \displaystyle m,n là các số nguyên dương thỏa mãn \displaystyle m \ge n. Gọi \displaystyle S là tập tất cả các cặp \displaystyle (a,b) các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau thỏa mãn \displaystyle a,b \le m\displaystyle a+b > m. Với mỗi \displaystyle (a,b)\in S, xét nghiệm tự nhiên \displaystyle (u,v) của phương trình \displaystyle au - bv = n sao cho \displaystyle v nhỏ nhất, và gọi \displaystyle I(a,b) là khoảng \displaystyle (v/a, u/b). Chứng minh rằng \displaystyle I(a,b) \subset (0,1) với mọi \displaystyle (a,b)\in S và mỗi số vô tỷ \displaystyle \alpha\in(0,1) thuộc \displaystyle I(a,b) với đúng \displaystyle n cặp phân biệt \displaystyle (a,b)\in S.
Bài 6. Một số nguyên dương \displaystyle q được gọi là mẫu phù hợp của số thực \displaystyle \alpha nếu \displaystyle \displaystyle |\alpha - \dfrac{p}{q}|<\dfrac{1}{10q} với số nguyên \displaystyle p nào đó. Chứng minh nếu hai số vô tỷ \displaystyle \alpha\displaystyle \beta có cùng tập các mẫu phù hợp thì \displaystyle \alpha+\beta hoặc \displaystyle \alpha- \beta là một số nguyên. Continue reading “IMO 2017 training (2)”

IMO 2016 Shortlist (*.pdf, full)


Tôi gửi tặng mọi người 2 file pdf: Một file là bản tiếng Việt ISL 2016 do tôi dịch, file còn lại là bản tiếng Anh chính thức.

Nếu có chỗ nào sai, hãy báo cho tôi.

Continue reading “IMO 2016 Shortlist (*.pdf, full)”

IMO 2017 training (1)


Chào các bạn đồng nghiệp,

đây là một số bài toán tôi dùng để luyện cho đội IMO 2017. Tuyển tập này gồm nhiều phần, đây là phần thứ nhất.

Bài 1. Cho n-giác đều P. Chứng minh rằng nếu 3 trong các đỉnh của P là điểm nguyên và hai trong chúng là kề nhau thì P là hình vuông.
Bài 2. (Vietnam TST 2011) Có một con cào cào đậu ở điểm (1,1) trên mặt phẳng tọa độ Oxy. Từ điểm đó nó sẽ nhảy đến điểm nguyên khác theo quy tắc: nhảy được từ A đến B khi và chỉ khi diện tích của tam giác AOB bằng 1/2.
(a) Tìm tất cả các điểm nguyên dương (m,n) sao cho con cào cào có thể đến đó sau hữu hạn lần nhảy, bắt đầu từ (1,1).
(b) Nếu (m,n) thỏa mãn điều kiện trên. Chứng minh rằng con cào cào có thể đến (m,n) từ (1,1) sau nhiều nhất |m-n| lần nhảy.
Bài 3. Cho số nguyên n \ge 5. Xét các số nguyên a_i,b_i (i = 1,2, \cdots ,n) thỏa mãn đồng thời hai điều kiện:
(a) Các cặp (a_i,b_i) với i = 1,2,\cdots,n đôi một khác nhau;
(b) |a_1b_2-a_2b_1| = |a_2b_3-a_3b_2| = \cdots = |a_nb_1-a_1b_n| = 1.
Chứng minh rằng tồn tại các chỉ số i,j sao cho 1<|i-j|<n-1|a_ib_j-a_jb_i|=1.
Bài 4. Trong mặt phẳng tọa độ, tô màu các điểm nguyên với hoành độ và tung độ chẵn bởi màu đen và các điểm nguyên còn lại bởi màu trắng. Cho P là một đa giác lồi có các đỉnh là các điểm nguyên màu đen. Chứng minh rằng mỗi điểm nguyên trắng nằm bên trong hoặc trên biên của P sẽ nằm giữa hai điểm nguyên đen nằm trong hay trên biên của P. Continue reading “IMO 2017 training (1)”

IMO 2016 Shortlist – Number theory


Các bạn có thể xem phần đầu ở https://nttuan.org/2017/07/20/imo-2016-shortlist-algebra/

N1. Với mỗi số nguyên dương \displaystyle k, gọi \displaystyle S(k) là tổng các chữ số của \displaystyle k khi viết trong hệ thập phân. Tìm tất cả \displaystyle P(x)\in\mathbb{Z}[x] sao cho với mỗi số nguyên \displaystyle n\geq 2016, số \displaystyle P(n) là số nguyên dương và \displaystyle S(P(n))=P(S(n)).
N2. Với mỗi số nguyên dương \displaystyle n, gọi \displaystyle \tau (n) là số ước dương của \displaystyle n\displaystyle \tau_1(n) là số ước dương của \displaystyle n chia cho \displaystyle 3\displaystyle 1. Tìm tất cả các giá trị nguyên có thể của \displaystyle \dfrac{\tau (10n)}{\tau_1(10n)}.
N3. Một tập hợp các số nguyên dương được gọi là tập hương nếu tập hợp đó có ít nhất hai phần tử và mỗi phần tử của nó đều có ước nguyên tố chung với ít nhất một trong các phần tử còn lại. Đặt \displaystyle P(n)=n^{2}+n+1. Hãy tìm số nguyên dương \displaystyle b nhỏ nhất sao cho tồn tại số nguyên không âm \displaystyle a để tập hợp \displaystyle \left \{ P(a+1);P(a+2);...;P(a+b) \right \} là tập hương.
N4. Cho các số nguyên dương \displaystyle n,m,k\displaystyle l thỏa mãn \displaystyle n\not=1\displaystyle n^k+m.n^l+1 chia hết \displaystyle n^{k+l}-1. Chứng minh rằng
(a) \displaystyle m=1\displaystyle l=2k hoặc
(b) \displaystyle l|k\displaystyle m=\dfrac{n^{k-l}-1}{n^l-1}.
N5. Cho \displaystyle a là số nguyên dương không chính phương. Gọi \displaystyle A là tập tất cả các số nguyên dương \displaystyle k sao cho \displaystyle k=\dfrac{x^2-a}{x^2-y^2},\quad (1) ở đây \displaystyle x\displaystyle y là các số nguyên thỏa mãn \displaystyle x>\sqrt{a}. Gọi \displaystyle B là tập tất cả các số nguyên dương \displaystyle k sao cho \displaystyle (1) đúng, với \displaystyle x\displaystyle y là các số nguyên thỏa mãn \displaystyle 0\leq x<\sqrt{a}. Chứng minh rằng \displaystyle A=B.
N6. Tìm tất cả các hàm \displaystyle f:\mathbb{N}^*\to\mathbb{N}^* sao cho với mỗi hai số nguyên dương \displaystyle m\displaystyle n, \displaystyle f(m)+f(n)-mn khác \displaystyle 0 và chia hết \displaystyle mf(m)+nf(n). Continue reading “IMO 2016 Shortlist – Number theory”

Farey sequence


Trong mục này tôi sẽ trình bày về phân số Farey và một số vấn đề liên quan.

Các phân số trong bài được xem là có mẫu dương.

1) Định nghĩa và một số tính chất

Định nghĩa 1. Cho số nguyên dương \displaystyle n. Phân số tối giản \displaystyle \dfrac{p}{q}\in [0;1] được gọi là phân số Farey bậc \displaystyle n nếu \displaystyle q\leq n. Dãy tăng tất cả các phân số Farey bậc \displaystyle n được gọi là dãy Farey bậc \displaystyle n,  ký hiệu là \displaystyle F_n.

Ví dụ 1.

\displaystyle F_1:\,\frac{0}{1};\frac{1}{1}.

\displaystyle F_2:\,\frac{0}{1};\frac{1}{2};\frac{1}{1}.

\displaystyle F_3:\,\frac{0}{1};\frac{1}{3};\frac{1}{2};\frac{2}{3};\frac{1}{1}.

\displaystyle F_4:\,\frac{0}{1};\frac{1}{4};\frac{1}{3};\frac{1}{2};\frac{2}{3};\frac{3}{4};\frac{1}{1}.

Ví dụ 2. Với mỗi số nguyên dương \displaystyle n, dãy \displaystyle F_n có đúng \displaystyle 1+\sum_{k=1}^n\varphi (k) số hạng.

Định lý 1. Cho các số tự nhiên \displaystyle a,b,c\displaystyle d thỏa mãn \displaystyle 0\leq \frac{a}{b}<\frac{c}{d}\leq 1\displaystyle bc-ad=1. Khi đó \displaystyle \frac{a}{b},\frac{c}{d} là hai số hạng liên tiếp của dãy \displaystyle F_n, ở đây \displaystyle n là số nguyên dương thỏa mãn \displaystyle \max\{b,d\}\leq n\leq b+d-1.

Chứng minh. Từ \displaystyle bc-ad=1 ta có \displaystyle \frac{a}{b},\frac{c}{d} là hai phân số tối giản, mà \displaystyle \max\{b,d\}\leq n, suy ra chúng là các số hạng của dãy \displaystyle F_n. Nếu chúng không phải là hai số hạng liên tiếp của \displaystyle F_n thì tồn tại phân số Farey bậc \displaystyle n, ký hiệu \displaystyle \dfrac{h}{k} thỏa mãn \displaystyle \displaystyle \frac{a}{b}<\frac{h}{k}<\frac{c}{d}.\displaystyle ck-dh\geq 1\displaystyle bh-ak\geq 1 nên

\displaystyle b+d-1\geq n\geq k=(bc-ad)k=b(ck-dh)+d(bh-ak)\geq b+d, đây là điều không thể xảy ra. Định lý được chứng minh. \Box

Với các số tự nhiên \displaystyle a,b,c\displaystyle d thỏa mãn \displaystyle 0\leq \frac{a}{b}<\frac{c}{d}, phân số \dfrac{a+c}{b+d} được gọi là phân số trung gian của hai phân số \displaystyle \dfrac{a}{b}\displaystyle \dfrac{c}{d}. Từ chứng minh trên ta có:

Định lý 2. Cho các số tự nhiên \displaystyle a,b,c\displaystyle d thỏa mãn \displaystyle 0\leq \frac{a}{b}<\frac{c}{d}\leq 1\displaystyle bc-ad=1. Khi đó nếu \displaystyle \dfrac{h}{k} là phân số trung gian của hai phân số \displaystyle \dfrac{a}{b}, \dfrac{c}{d} thì \displaystyle \frac{a}{b}<\frac{h}{k}<\frac{c}{d}\displaystyle bh-ak=1,\quad ck-dh=1.

Định lý 3. Với mọi số nguyên dương \displaystyle n ta có

1) Dãy \displaystyle F_{n+1} có được từ dãy \displaystyle F_n bằng cách viết vào giữa hai số hạng liên tiếp của \displaystyle F_n có tổng các mẫu không vượt quá \displaystyle n+1 phân số trung gian của chúng;

2) Nếu \displaystyle \dfrac{a}{b}<\dfrac{c}{d} là hai số hạng liên tiếp của \displaystyle F_n thì \displaystyle bc-ad=1.

Chứng minh. Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp theo \displaystyle n.

Rõ ràng khẳng định đúng với $n=1$. Giả sử khẳng định đúng với các số nguyên dương bé hơn \displaystyle n\, (n\geq 2), ta sẽ chứng minh khẳng định đúng với \displaystyle n.

Từ định lý 2 và giả thiết quy nạp ta có nếu \displaystyle \dfrac{a}{b}<\dfrac{c}{d} là hai số hạng liên tiếp của \displaystyle F_n thì \displaystyle bc-ad=1.

Sau khi viết vào giữa hai số hạng liên tiếp của \displaystyle F_n có tổng các mẫu không vượt quá \displaystyle n+1 phân số trung gian của chúng ta thu được dãy con \displaystyle F'_n của \displaystyle F_{n+1}. Nếu trong \displaystyle F_{n+1} có phân số \displaystyle \dfrac{h}{k} không thuộc \displaystyle F'_n thì tồn tại hai số hạng liên tiếp \displaystyle \dfrac{a}{b}<\dfrac{c}{d} của \displaystyle F'_n sao cho \displaystyle \dfrac{a}{b}<\dfrac{h}{k}<\dfrac{c}{d}. Vì \displaystyle \dfrac{h}{k} không thuộc \displaystyle F'_n nên nó cũng không thuộc \displaystyle F_n, suy ra \displaystyle k>n, kết hợp với \displaystyle k\leq n+1 ta có \displaystyle k=n+1.

Từ chứng minh của định lý 1 suy ra \displaystyle k=n+1\geq b+d\Rightarrow \displaystyle \dfrac{a}{b}<\dfrac{c}{d} là hai phân số liên tiếp của \displaystyle F_n, mà \displaystyle b+d\leq n+1, suy ra chúng không thể là hai số hạng liên tiếp của \displaystyle F'_n, vô lý. \displaystyle \Box

Chú ý 1. Dùng định lý Pick (bạn đọc có thể xem thêm về định lý Pick ở địa chỉ https://nttuan.org/2017/03/18/topic-872/) ta có một chứng minh khác của 2).

Trong mặt phẳng tọa độ \displaystyle Oxy, xét các điểm \displaystyle M(1;0)\displaystyle N(1;1). Mỗi số hạng \displaystyle \dfrac{h}{k} của \displaystyle F_n ta cho tương ứng với điểm nguyên có tọa độ \displaystyle (k;h). Khi quay tia \displaystyle OM ngược chiều kim đồng hồ đến tia \displaystyle ON ta “gặp” mỗi điểm nguyên không quá một lần và không gặp đồng thời hai điểm nguyên (ta quan tâm đến các điểm nguyên tương ứng với các số hạng của \displaystyle F_n). Xét hai số hạng liên tiếp \displaystyle \dfrac{a}{b}<\dfrac{c}{d} của \displaystyle F_n và hai điểm \displaystyle X(b;a),Y(d;c) lần lượt tương ứng với chúng. Theo trên ta thấy tam giác \displaystyle OXY không chứa điểm nguyên nào bên trong cũng như trên biên trừ ba đỉnh của nó, suy ra \displaystyle S_{OXY}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow bc-ad=1. \displaystyle \Box Continue reading “Farey sequence”

China TST 2003 – Test 3/ Problem 3


Bài toán. Cho \displaystyle x_0+\sqrt{2003}y_0 là nghiệm nguyên dương nhỏ nhất của phương trình Pell \displaystyle x^2-2003y^2=1. Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương \displaystyle (x,y) của phương trình sao cho \displaystyle x_0 chia hết cho mọi ước nguyên tố của \displaystyle x.

Lời giải. Từ giả thiết, tồn tại số nguyên dương \displaystyle n sao cho \displaystyle x+\sqrt{2003}y=(x_0+\sqrt{2003}y_0)^n.

Xét hai trường hợp:

Trường hợp 1: \displaystyle n chẵn.

Ta có \displaystyle x\equiv 2003^{n/2}y_0^n\pmod{x_0}, trái với giả thiết \displaystyle x_0 chia hết cho mọi ước nguyên tố của \displaystyle x. Continue reading “China TST 2003 – Test 3/ Problem 3”

China TST 2014 – Test 3/Problem 3


Bài toán.  Chứng minh rằng không tồn tại cặp (x,y) các số nguyên dương thỏa mãn \displaystyle (x+1) (x+2)\cdots (x+2014)= (y+1) (y+2)\cdots (y+4028).

Lời giải. Tồn tại số nguyên dương i sao cho \displaystyle v_2(x+i)=\max_{1\leq j\leq 2014} v_2(x+j). Suy ra với mỗi 1\leq j\leq 2014, j\not=i ta có v_2(x+j)=v_2(x+i+(j-i))=v_2(j-i), thật vậy, không thể có v_2(j-i)>v_2(x+i), vì nếu không, v_2(j-i)>v_2(x+i)\,\forall i, do đó v_2(j-i)\geq 11 vì trong vế trái sẽ có số chia hết cho 1024, suy ra |j-i|\geq 2^{11}, vô lý. Continue reading “China TST 2014 – Test 3/Problem 3”