Một số trang về Olympic Toán


Tôi có post một số trang về Olympic Toán trên facebook  nhưng nó cứ chìm xuống khi đăng một bài khác, vì thế nên tôi lập topic này để lưu các link đó lại.

P. S. Hãy góp link bằng cách comment các bạn nhé! 🙂

Continue reading “Một số trang về Olympic Toán”

On the elementary symmetric functions of 1, 1⁄2, …, 1⁄n


Cho số nguyên dương nS(k,n) là hàm đối xứng sơ cấp thứ k của \displaystyle 1,\frac{1}{2},\ldots,\frac{1}{n}, nghĩa là \displaystyle S(k,n)=\sum_{1\leq i_1<i_2<\cdots<i_k\leq n}\frac{1}{i_1i_2\ldots i_k}.

Ta biết rằng nếu n>1 thì S(1;n) không phải là số nguyên. Năm 1946, P. Erdos và I. Niven đã chứng minh được rằng chỉ có hữu hạn số nguyên dương n để tồn tại k sao cho S(k,n) là số nguyên.

Tốt hơn nữa, vào năm 2012, Yong-Gao Chen và Min Tang đã chứng minh được rằng nếu n>3 thì không có k sao cho S(k,n) là số nguyên.

Dưới đây là chứng minh của họ. Continue reading “On the elementary symmetric functions of 1, 1⁄2, …, 1⁄n”