IMC training 2016 (4)

Problem 1. The number 16 is placed in the top left corner square of a  table. The remaining 15 squares are to be filled in using exactly once each of the number 1,2,…,15, so that the sum of the four number in each row, each column and each diagonal is the same. Find the maximum value of the sum of the six numbers in the shaded squares shown in the diagram below.

Problem 2. All but one of the numbers from 1 to 21 are put into the squares of a  $4\times 5$ table, one number in each square, such that the sum of all the numbers in each row is constant, and the sum of all the numbers in each column is also constant. Find the number which is left out.

Problem 3. The diagram below show ten circles in a triangular array. Place each of the numbers 0 to 9 in a different circles so that for each of the six right-side up triangles marked with plus signs, the sum of the numbers in the three circles at its vertices is the same.

Problem 4. Four integers are marked on a circle. On each step we simultaneously replace each number by the difference between this number and next number on the circle, moving in a clockwise direction; that is, the numbers a,b,c,d are replaced by a-b,b-c,c-d,d-a.  Is it possible after 2016 such to have numbers a,b,c,d such the numbers |bc-ad|, |ca-bd|, |ab-cd|  are primes?

Problem 5. Assume an  $8\times 8$ chessboard with the usual coloring. You may repaint all squares

1 – Of a row or column;

2 – Of a $2\times 2$ square.

The goal is to attain just one black square. Can you reach the goal?

Problem 6. A rectangular floor is covered by  $2\times 2$ and $1\times 4$  tiles. One tile got smashed. There is a tile of the other kind available. Show that the floor cannot be covered by rearranging the tiles.

Problem 7. A beetle sits on each square of a  $9\times 9$ chessboard. At a signal each beetle crawls diagonally onto a neighboring square. Then it may happen that several beetles will sit on some squares and none on others. Find the minimal possible number of free squares.

Problem 8. $10\times 10$ chessboard cannot be covered by 25 T-tetrominoes. Continue reading “IMC training 2016 (4)”

IMC training 2016 (3)

Methods of Counting (2)

Problem 1. Find the number of pairs (x;y) of integers such that $|x|+|y|\le 1000$.

Problem 2. How many positive integers not exceeding 2001 are multiples of 3 or 4 but not 5?

Problem 3. Let x=.1234567891011…998999, where the digits are obtained by writing the integers 1 through 999 in order. Find the ${{1983}^{rd}}$ digit to the right of the decimal point.

Problem 4. A spider has one sock and one shoe for each of its eight legs. In how many different orders can the spider put on its socks and shoes, assuming that, on each leg, the sock must be put on before the shoe?

Problem 5.  Find the number of sets {a,b,c} of three distinct positive integers with the property that the product of a,b, and c is equal to the product of 11,21,31,41,51, and 61.

Problem 6. Find the number of five-digit positive integers, n, that satisfy the following conditions:

(a) the number n is divisible by 5,

(b) the first and last digits of n are equal, and

(c) the sum of the digits of n is divisible by 5.

Problem 7. Nine people sit down for dinner where there are three choices of meals. Three people order the beef meal, three order the chicken meal, and three order the fish meal. The waiter serves the nine meals in random order. Find the number of ways in which the waiter could serve the meal types to the nine people such that exactly one person receives the type of meal ordered by that person. Continue reading “IMC training 2016 (3)”

23/02-Hình học

Bài 1. Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác vuông $ABC$ với $\angle BCA = 90^\circ$. Cho $P$ là điểm trên tia $AG$ sao cho $\angle CPA = \angle CAB$, và $Q$ là điểm trên tia $BG$ sao cho $\angle CQB = \angle ABC$. Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp các tam giác $AQG$$BPG$ cắt nhau tại một điểm trên $AB$.
Bài 2. Cho tam giác $ABC$, và cho $D$, $A$, $B$, $E$ là các điểm nằm trên đường thẳng $AB$ theo thứ tự đó sao cho $AC=AD$$BE=BC$. Cho $\omega_1, \omega_2$ là các đường tròn ngoại tiếp của các tam giác $\triangle ABC$$\triangle CDE$, tương ứng, hai đường tròn này cắt nhau tại $F \neq C$. Nếu tiếp tuyến của $\omega_2$ tại $F$ cắt $\omega_1$ tại $G$, và chân đường cao hạ từ $G$ đến $FC$$H$, chứng minh $\angle AGH=\angle BGH$.
Bài 3. Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác nhọn $ABC$. Điểm $P$ trên cạnh $AB$ sao cho $\angle BOP = \angle ABC$, và điểm $Q$ trên cạnh $AC$ sao cho $\angle COQ = \angle ACB$. Chứng minh rằng đường thẳng đối xứng với $BC$ qua $PQ$ tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác $APQ$.
Bài 4. Cho $ABCD$ là tứ giác nội tiếp trong đường tròn $\omega$, các đường chéo cắt nhau tại $F$. Các đường thẳng $AB$$CD$ cắt nhau tại $E$. Đoạn $EF$ giao $\omega$ tại $X$. Các đường thẳng $BX$$CD$ cắt nhau tại $M$, các đường thẳng $CX$$AB$ cắt nhau tại $N$. Chứng minh rằng $MN$$BC$ đồng quy với tiếp tuyến của $\omega$ tại $X$. Continue reading “23/02-Hình học”

Luyện tập Hình học-17/02/2016

Bài 1. Tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $\omega$. Một đường tròn với dây $BC$ cắt các đoạn $AB$$AC$ tại các điểm thứ hai $S$$R$, tương ứng. Các đoạn $BR$$CS$ cắt nhau tại $L$, và các tia $LR$$LS$ cắt $\omega$ tại $D$$E$, tương ứng. Phân giác trong của $\angle BDE$ cắt $ER$ tại $K$. Chứng minh rằng nếu $BE = BR$ thì $\angle ELK = \tfrac{1}{2} \angle BCD$.
Bài 2. Đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ tiếp xúc với các cạnh $AB$$AC$ tại $D$$E$ tương ứng, và $O$ tâm của $(BCI)$. Chứng minh $\angle ODB = \angle OEC$.
Bài 3. Cho tam giác $ABC$ với đường tròn ngoại tiếp $\Gamma$, và $D$,$E$,$F$ là các tiếp điểm của đường tròn nội tiếp với $BC$, $AC$, $AB$ tương ứng. Đường tròn ngoại tiếp của các tam giác $\triangle AEF$, $\triangle BFD$, và $\triangle CDE$ cắt $\Gamma$ tại các điểm thứ hai $X,Y,Z$ tương ứng. Chứng minh các đường thẳng qua $A,B,C$ vuông góc với $AX,BY,CZ$ tương ứng đồng quy. Continue reading “Luyện tập Hình học-17/02/2016”

Đề thi vào lớp 10 Chuyên Toán của Quảng Ninh năm 2014

Bài 1. Cho biểu thức $A=\left(\dfrac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-2}+\dfrac{\sqrt{x}+2}{3-\sqrt{x}}+\dfrac{\sqrt{x}+2}{x-5\sqrt{x}+6}\right):\left(1-\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\right)$ với $x\geq 0$, $x\not=4$, $x\not=9$.
1/. Rút gọn $A$;
2/. Tìm $x$ để $\dfrac{1}{A}$ nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Bài 2.
1/. Giải hệ phương trình $\begin{cases}2x^2-y^2=1\\ xy+x^2=2.\end{cases}$
2/. Giải phương trình $x^2+\dfrac{4x^2}{(x+2)^2}=5.$
Bài 3. Cho $a,b,c$ đôi một khác nhau, $c\not =0$. Chứng minh rằng nếu các phương trình $x^2+ax+bc=0,x^2+bx+ca=0$ có đúng một nghiệm chung thì các nghiệm còn lại của chúng là nghiệm của $x^2+ca+ab=0$.
Bài 4. Cho tam giác $ABC$ với $AB>AC$. Biết đường cao $AH$, trung tuyến $AM$ chia góc $\widehat{A}$ thành ba phần bằng nhau.
1/. Chứng minh tam giác vuông tại $A$;
2/. Gọi $O$ là giao điểm của hai phân giác trong $BI,CJ$. Chứng minh rằng $2OB.OC=IB.CJ$;
3/. Cho $DEF$ là tam giác vuông tại $D$ có một góc $30^{\circ}$ nội tiếp tam giác $ABC\,\, (D\in BC,E\in AC, F\in AB)$. Tìm vị trí của $D,E,F$ để tam giác $DEF$ có diện tích bé nhất.
Bài 5. Cho ba số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c\leq 1.$ Chứng minh rằng
$\dfrac{1}{b^2+2ac}+\dfrac{1}{c^2+2ab}+\dfrac{1}{a^2+2bc}\geq 9.$

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 tỉnh Quảng Ninh, môn Toán, năm học 2008-2009

Thời gian làm bài: 120 phút

Bài 1.

Rút gọn các biểu thức

a)$A=1+2\sqrt{2}-3\sqrt{8}+\sqrt{32}$;

b)$B=(\sqrt{x}+1)\cdot (\sqrt{x}-1)+1$ với $x\geq 0$.

Bài 2.

Cho phương trình $x^2+2mx-m^2=0$.

a)Giải phương trình với $m=1$;

b)Tìm các giá trị của $m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Bài 3.

Giải bài toán bằng cách lập phương trình hay hệ phương trình

Năm trước. hai đơn vị sản xuất nông nghiệp thu hoạch được $750$ tấn thóc. Năm sau đơn vị thứ nhất làm vượt mức $14/100$ và đơn vị thứ hai làm vượt mức $10/100$ so với năm trước nên cả hai đơn vị thu hoạch được $845$ tấn thóc. Hỏi năm trước mỗi đơn vị thu hoạch được bao nhiêu tấn thóc?

Bài 4.

Cho $(O;R)$ và một dây $AB$ cố định $(AB<2R)$. Trên cung lớn $AB$ lấy hai điểm $C,D$ sao cho $AD||BC$.

a)Kẻ các tiếp tuyến với đường tròn $(O;R)$ tại $A,D$, chúng cắt nhau tại $I$. Chứng minh rằng $AODI$ là tứ giác nội tiếp;

b)Gọi $M$ là giao điểm của $AC$$BD$. Chứng minh rằng điểm $M$ thuộc một đường tròn cố định khi $C,D$ di chuyển trên cung lớn $AB$ sao cho $AD||BC$;

c)Cho biết $AB=R\sqrt{2}$$BC=R$. Tính diện tích tứ giác $ABCD$ theo $R$.

Bài 5.

Giả sử phương trình $x^2-mx-1=0$ có hai nghiệm là $x_1,x_2$. Không giải phương trình hãy tính $x_1-x_2$.

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 tỉnh Quảng Ninh, môn Toán, năm học 2007-2008

Thời gian làm bài: 120 phút

Bài 1.

Rút gọn các biểu thức

a)$A=\dfrac{1}{\sqrt{5}+2}+\dfrac{1}{\sqrt{5}-2}$;

b)$B=\sqrt{(\sqrt{3}-\sqrt{7})^2}$.

Bài 2.

Cho phương trình $x^2-6x+m+1=0$.

a)Tìm $m$ để phương trình có nghiệm $x=2$;

b)Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm $x_1,x_2$ thoả mãn $x_1^2+x_2^2=26$.

Bài 3.

Giải bài toán bằng cách lập phương trình hay hệ phương trình

Một thửa ruộng hình chữ nhật có chu vi $300$m. Tính diện tích của thửa ruộng biết rằng nếu chiều dài giảm đi $3$ lần và chiều rộng tăng $2$ lần thì chu vi thửa ruộng vẫn không thay đổi.

Bài 4.

Cho đường tròn $(O;R)$ và đường thẳng $(d)$ cố định không giao nhau. Từ điểm $M$ thuộc $(d)$ kẻ hai tiếp tuyến $MA,MB$ với đường tròn.

a)Chứng minh rằng tâm đường tròn nội tiếp tam giác $MAB$ thuộc $(O;R)$;

b)Biết $MA=R\sqrt{3}$, tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai tiếp tuyến $MA,MB$ và cung nhỏ $AB$;

c)Chứng minh rằng khi $M$ di động trên $(d)$ thì $AB$ luôn đi qua một điểm cố định.

Bài 5.

Chứng minh rằng số $\sqrt[3]{26+15\sqrt{3}}+\sqrt[3]{26-15\sqrt{3}}$ là bình phương của một số nguyên.