IMO 2017 training (2)


Chào các bạn đồng nghiệp,

đây là một số bài toán tôi dùng để luyện cho đội IMO 2017. Tuyển tập này gồm nhiều phần, đây là phần thứ hai.

Các bạn có thể xem phần đầu ở https://nttuan.org/2017/08/01/imo-2017-training-1/


Bài 1. Cho số nguyên dương \displaystyle n>1 và dãy số Fibonacci xác định như sau \displaystyle f_1=f_2=1, \displaystyle f_{k+2}=f_{k+1}+f_k,\,\forall k\in\mathbb{N}^*. Chứng minh rằng nếu \displaystyle a\displaystyle b là các số nguyên dương sao cho \displaystyle \dfrac{a}{b} nằm giữa hai phân số \displaystyle \dfrac{f_n}{f_{n-1}}\displaystyle \dfrac{f_{n+1}}{f_{n}} thì \displaystyle b\geq f_{n+1}.
Bài 2. (VMO 2013) Cho trước một số số tự nhiên được viết trên một đường thẳng. Ta thực hiện các bước điền số lên đường thẳng như sau: tại mỗi bước, trước tiên xác định tất cả các cặp số kề nhau hiện có trên đường thẳng theo thứ tự từ trái qua phải, sau đó điền vào giữa mỗi cặp một số bằng tổng của hai số thuộc cặp đó. Hỏi sau \displaystyle 2013 bước, số \displaystyle 2013 xuất hiện bao nhiêu lần trên đường thẳng trong các trường hợp sau:
a) Các số cho trước là: \displaystyle 1\displaystyle 1000?
b) Các số cho trước là: \displaystyle 1,2,...,1000 và được xếp theo thức tự tăng dần từ trái qua phải?
Bài 3. Dãy hữu hạn các số nguyên \displaystyle a_1, a_2, \dots, a_n được gọi là chính quy nếu tồn tại số thực \displaystyle x thỏa mãn \displaystyle \left\lfloor kx \right\rfloor = a_k với mọi \displaystyle k=1, 2,\cdots, n. Cho dãy chính quy \displaystyle a_1, a_2, \dots, a_n, với \displaystyle 1 \le k \le n ta nói \displaystyle a_k là số hạng bắt buộc nếu dãy \displaystyle a_1, a_2, \dots, a_{k-1}, b chính quy khi và chỉ khi \displaystyle b = a_k. Tìm số lớn nhất các số hạng bắt buộc của một dãy chính quy dài \displaystyle 1000.
Bài 4. Cho \displaystyle \nu là một số vô tỷ dương, và \displaystyle m là một số nguyên dương. Một cặp \displaystyle (a,b) các số nguyên dương được gọi là tốt nếu
\displaystyle a \left \lceil b\nu \right \rceil - b \left \lfloor a \nu \right \rfloor = m. Một cặp tốt \displaystyle (a,b) được gọi là rất tốt nếu không cặp nào trong hai cặp \displaystyle (a-b,b), \displaystyle (a,b-a) là tốt. Chứng minh rằng số cặp rất tốt bằng tổng các ước dương của \displaystyle m.
Bài 5. Cho \displaystyle m,n là các số nguyên dương thỏa mãn \displaystyle m \ge n. Gọi \displaystyle S là tập tất cả các cặp \displaystyle (a,b) các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau thỏa mãn \displaystyle a,b \le m\displaystyle a+b > m. Với mỗi \displaystyle (a,b)\in S, xét nghiệm tự nhiên \displaystyle (u,v) của phương trình \displaystyle au - bv = n sao cho \displaystyle v nhỏ nhất, và gọi \displaystyle I(a,b) là khoảng \displaystyle (v/a, u/b). Chứng minh rằng \displaystyle I(a,b) \subset (0,1) với mọi \displaystyle (a,b)\in S và mỗi số vô tỷ \displaystyle \alpha\in(0,1) thuộc \displaystyle I(a,b) với đúng \displaystyle n cặp phân biệt \displaystyle (a,b)\in S.
Bài 6. Một số nguyên dương \displaystyle q được gọi là mẫu phù hợp của số thực \displaystyle \alpha nếu \displaystyle \displaystyle |\alpha - \dfrac{p}{q}|<\dfrac{1}{10q} với số nguyên \displaystyle p nào đó. Chứng minh nếu hai số vô tỷ \displaystyle \alpha\displaystyle \beta có cùng tập các mẫu phù hợp thì \displaystyle \alpha+\beta hoặc \displaystyle \alpha- \beta là một số nguyên. Continue reading “IMO 2017 training (2)”

IMO 2016 Shortlist (*.pdf, full)


Tôi gửi tặng mọi người 2 file pdf: Một file là bản tiếng Việt ISL 2016 do tôi dịch, file còn lại là bản tiếng Anh chính thức.

Nếu có chỗ nào sai, hãy báo cho tôi.

Continue reading “IMO 2016 Shortlist (*.pdf, full)”

IMO 2017 training (1)


Chào các bạn đồng nghiệp,

đây là một số bài toán tôi dùng để luyện cho đội IMO 2017. Tuyển tập này gồm nhiều phần, đây là phần thứ nhất.

Bài 1. Cho n-giác đều P. Chứng minh rằng nếu 3 trong các đỉnh của P là điểm nguyên và hai trong chúng là kề nhau thì P là hình vuông.
Bài 2. (Vietnam TST 2011) Có một con cào cào đậu ở điểm (1,1) trên mặt phẳng tọa độ Oxy. Từ điểm đó nó sẽ nhảy đến điểm nguyên khác theo quy tắc: nhảy được từ A đến B khi và chỉ khi diện tích của tam giác AOB bằng 1/2.
(a) Tìm tất cả các điểm nguyên dương (m,n) sao cho con cào cào có thể đến đó sau hữu hạn lần nhảy, bắt đầu từ (1,1).
(b) Nếu (m,n) thỏa mãn điều kiện trên. Chứng minh rằng con cào cào có thể đến (m,n) từ (1,1) sau nhiều nhất |m-n| lần nhảy.
Bài 3. Cho số nguyên n \ge 5. Xét các số nguyên a_i,b_i (i = 1,2, \cdots ,n) thỏa mãn đồng thời hai điều kiện:
(a) Các cặp (a_i,b_i) với i = 1,2,\cdots,n đôi một khác nhau;
(b) |a_1b_2-a_2b_1| = |a_2b_3-a_3b_2| = \cdots = |a_nb_1-a_1b_n| = 1.
Chứng minh rằng tồn tại các chỉ số i,j sao cho 1<|i-j|<n-1|a_ib_j-a_jb_i|=1.
Bài 4. Trong mặt phẳng tọa độ, tô màu các điểm nguyên với hoành độ và tung độ chẵn bởi màu đen và các điểm nguyên còn lại bởi màu trắng. Cho P là một đa giác lồi có các đỉnh là các điểm nguyên màu đen. Chứng minh rằng mỗi điểm nguyên trắng nằm bên trong hoặc trên biên của P sẽ nằm giữa hai điểm nguyên đen nằm trong hay trên biên của P. Continue reading “IMO 2017 training (1)”

Mở đầu về đa thức


Trong bài này \mathbb{K} sẽ được hiểu là \mathbb{C},\mathbb{R},\mathbb{Q} hay \mathbb{Z}.

1. Hệ số và bậc

Định nghĩa 1. Một tổng hình thức a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0, ở đây n\in\mathbb{N}, a_i\in \mathbb{K}\,\forall i được gọi là một đa thức với hệ số trong \mathbb{K}.

Như vậy mỗi phần tử của \mathbb{K} là một đa thức với hệ số trong \mathbb{K}, chúng được gọi là các đa thức hằng. Số 0\in\mathbb{K} ứng với đa thức không và cũng được ký hiệu bởi 0.

Tập các đa thức với hệ số trong \mathbb{K} được ký hiệu là \mathbb{K}[x].

Định nghĩa 2. Với đa thức f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0\,\,(a_n\not =0), ta sẽ gọi các a_i là các hệ số của f(x), a_n là hệ số cao nhất, a_0 là hệ số tự do. f(x) được gọi là monic nếu a_n=1. Số n được gọi là bậc của f(x), ký hiệu \deg f(x)=n.

Quy ước. Bậc của đa thức 0 bằng -\infty.

Định nghĩa 3. Hai đa thức f(x),g(x)\in\mathbb{K}[x] được gọi là bằng nhau, ký hiệu f(x)=g(x) hay f(x)\equiv g(x), nếu chúng cùng là đa thức 0 hoặc cả hai khác 0 đồng thời \deg f(x)=\deg g(x) và các hệ số tương ứng bằng nhau.

Ví dụ 1. Tìm bậc, hệ số hằng và hệ số cao nhất của các đa thức sau

a) 3x^4-3x^2+1;

b) 6x^2.

Ví dụ 2. Tìm

a) Một đa thức monic có bậc 12;

b) Một đa thức có bậc 5 nhưng không phải là monic;

c) Một đa thức có bậc 0.

2. Các phép toán

Định nghĩa 4. Xét hai đa thức f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0g(x)=b_mx^m+b_{m-1}x^{m-1}+\cdots+b_0, ở đây a_i,b_j là các phần tử của \mathbb{K}a_n,b_m không cần phải khác 0 (sau này nếu không quan tâm đến bậc của đa thức thì ta cũng dùng biểu diễn này cho tiện).

Tổng của hai đa thức trên, ký hiệu f(x)+g(x), là đa thức xác định bởi

f(x)+g(x)=(a_0+b_0)+(a_1+b_1)x+(a_2+b_2)x^2+\cdots

Tích của f(x)g(x), ký hiệu f(x)g(x), là đa thức xác định bởi

f(x)g(x)=a_0b_0+(a_0b_1+a_1b_0)x+(a_0b_2+a_1b_1+a_2b_0)x^2+\cdots

Ta dễ dàng chứng minh được các kết quả sau:

Định lí 1.

1) f(x)+(g(x)+h(x))=(f(x)+g(x))+h(x)\,\,\forall f(x),g(x),h(x)\in\mathbb{K}[x].

2) f(x)+g(x)=g(x)+f(x)\,\,\forall f(x),g(x)\in\mathbb{K}[x].

3) f(x)+0=0+f(x)=f(x)\,\,\forall f(x)\in\mathbb{K}[x].

4) Với mỗi f(x)\in\mathbb{K}[x] có duy nhất g(x)\in\mathbb{K}[x] thỏa mãn f(x)+g(x)=g(x)+f(x)=0.

Đa thức g(x) sẽ được kí hiệu bởi -f(x) và được gọi là đa thức đối của đa thức f(x). Từ đây với mỗi f(x),g(x)\in\mathbb{K}[x] ta có thể định nghĩa hiệu của f(x)g(x), kí hiệu f(x)-g(x), bởi f(x)+(-g(x)).

Định lí 2.

1) f(x)(g(x)h(x))=(f(x)g(x))h(x)\,\,\forall f(x),g(x),h(x)\in\mathbb{K}[x].

Với đa thức f(x) và số nguyên dương n, đa thức f(x)f(x)\cdots f(x) (n chữ f) sẽ được ký hiệu bởi f^n(x) hoặc (f(x))^n.

2) f(x)g(x)=g(x)f(x)\,\,\forall f,g\in\mathbb{K}[x].

3) f(x)1=1f(x)=f(x)\,\,\forall f(x)\in\mathbb{K}[x].

4) f(x)(g(x)+h(x))=f(x)g(x)+f(x)h(x)\,\,\forall f(x),g(x),h(x)\in\mathbb{K}[x].

Xét hai đa thức f(x)g(x) với f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0, khi đó đa thức

a_n(g(x))^n+a_{n-1}(g(x))^{n-1}+\cdots+a_1g(x)+a_0 sẽ được ký hiệu bởi f(g(x)).

Ví dụ 3. Cho hai đa thức P(x)=x^2-2x+11Q(x)=2x^2-3x+5. Tìm các đa thức P(x)+Q(x),P(x)-Q(x),P(x)Q(x),P(Q(x))Q(P(x)).

Định lí 3. Cho P(x),Q(x) là các đa thức khác hằng. Khi đó

1) \deg (P(x)+Q(x))\leq\max (\deg P(x),\deg Q(x)).

2) \deg (P(x)Q(x))=\deg P(x)+\deg Q(x).

3) \deg (P(Q(x))=\deg (Q(P(x))=\deg P\deg Q.

3. Bài tập

Bài 1.  Tìm tất cả các số thực a,b sao cho đa thức x^4+4x^3+ax^2+bx+1 là bình phương của một đa thức với hệ số thực.

Bài 2. Cho P là một đa thức với hệ số thực thỏa mãn P^2 là đa thức của x^2. Chứng minh rằng P hoặc P/x cũng là đa thức của x^2.

Bài 3. Cho số nguyên dương n và đa thức f(x)=\sum a_ix^i có bậc n. Lập đa thức (x-b)f(x)=\sum c_ix^i với b là số thực nào đấy. Chứng minh rằng A\leq (n+1)C, ở đây A=\max |a_i|C=\max |c_i|.

Bài 4. Cho PQ là các đa thức monic với hệ số thực thỏa mãn P(P(x))=Q(Q(x)). Chứng minh rằng P=Q.

Continue reading “Mở đầu về đa thức”

Luyện tập về phương trình bậc hai (2)


Các bạn có thể xem phần trước ở https://nttuan.org/2017/03/07/topic-868/

Bài 16. Cho phương trình x^2-2mx+m^2-m+1=0.

a/. Giải phương trình với m=1;

b/. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x_1,x_2;

c/. Với điều kiện của b/, hãy tìm m để A=x_1x_2-x_1-x_2 đạt giá trị bé nhất;

d/. Với điều kiện của b/, hãy tìm m để x_1+3x_2=4.

Bài 17. Cho phương trình x^2-2mx-1=0.

a/. Chứng minh rằng với mỗi m, phương trình có hai nghiệm phân biệt;

b/. Tìm m để hai nghiệm x_1,x_2 của phương trình thỏa mãn x_1^2+x_2^2-x_1x_2=7.

Bài 18. Cho phương trình x^2+2mx+m-1=0.

a/. Giải phương trình khi m=2;

b/. Chứng minh rằng với mỗi m, phương trình có hai nghiệm phân biệt;

c/. Tìm m để phương trình có nghiệm dương. Continue reading “Luyện tập về phương trình bậc hai (2)”

Luyện tập về phương trình bậc hai (1)


Các học sinh có thể ôn lại các dạng bài về phương trình bậc hai tại https://nttuan.org/2010/05/01/topic-49/

Bài 1. Tìm m\in\mathbb{Z} để x^4+2mx^2+18=0 có bốn nghiệm phân biệt x_1,x_2,x_3,x_4 sao cho \dfrac{x_1^4+x_2^4+x_3^4+x_4^4}{2} là bình phương của một số nguyên dương.

Bài 2. Cho phương trình x^2-2(m+1)x+2m-2=0.

a) Chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt với mỗi m;

b) Gọi hai nghiệm là x_1,x_2. Tính theo m giá trị của

x_1^2+2(m+1)x_2+2m-2.

Bài 3. Cho phương trình mx^3-(m^2+1)x^2-m^2x+m+1=0\quad (1).

a) Chứng minh x=-1 là một nghiệm của (1);

b) Tìm m để (1) có ba nghiệm phân biệt.

Bài 4. Cho phương trình x^2-2(m+2)x+6m+1=0 với x là ẩn số và m là tham số.

a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m;

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm lớn hơn 2.

Bài 5. Cho phương trình x^2-6x+m+1=0.

a) Tìm m để phương trình có nghiệm x=2;

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x_1,x_2 thoả mãn x_1^2+x_2^2=26.

Bài 6. Tìm các giá trị k để hai phương trình x^2+kx+1=0x^2+x+k=0 có nghiệm chung.

Bài 7. Tìm m để phương trình x^4-2mx^2+m^2-25=0 có bốn nghiệm phân biệt. Khi đó, gọi các nghiệm là x_1,x_2,x_3,x_4. Chứng minh rằng biểu thức \dfrac{1}{x_1x_2x_3}+\dfrac{1}{x_2x_3x_4}+\dfrac{1}{x_3x_4x_1}+\dfrac{1}{x_4x_1x_2} có giá trị không phụ thuộc m.

Bài 8. Giả sử phương trình x^2-mx-1=0 có hai nghiệm là x_1,x_2. Không giải phương trình hãy tính x_1-x_2.

Bài 9. Chứng minh rằng với mỗi m\in\mathbb{R} ít nhất một trong hai phương trình sau vô nghiệm

x^2+(m-1)x+2m^2=0,\quad\quad\quad x^2+4mx-m+2=0.

Bài 10. Xét phương trình x^4-2(m^2+2)x^2+5m^2+3=0\quad (1).

a) Chứng minh rằng với mỗi m, phương trình (1) luôn có bốn nghiệm phân biệt;

b) Gọi các nghiệm là x_1,x_2,x_3,x_4. Tính theo m giá trị của biểu thức

M=\dfrac{1}{x_1^2}+\dfrac{1}{x_2^2}+\dfrac{1}{x_3^2}+\dfrac{1}{x_4^2}.

Bài 11. Xét phương trình mx^2+(2m-1)x+m-2=0.

a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x_1,x_2 thoả mãn x_1^2+x_2^2-x_1x_2=4;

b) Chứng minh rằng nếu m là tích của hai số tự nhiên liên tiếp thì phương trình có nghiệm hữu tỷ.

Bài 12. Cho phương trình x^2-2(a-1)x+2a-5=0\quad (1).

a) Chứng minh (1) có nghiệm với mỗi a;

b) Với giá trị nào của a thì (1) có hai nghiệm x_1,x_2 thoả mãn x_1<1<x_2;

c) Tìm a để (1) có hai nghiệm x_1,x_2 thoả mãn x_1^2+x_2^2=6.

Bài 13. Cho phương trình bậc hai

x^2-2(m-1)x+2mn-m^2-2n^2=0, ở đây m,n là các tham số. Chứng minh rằng phương trình đã cho không thể có nghiệm kép với mỗi m,n.

Bài 14. Cho phương trình x^2-2x-3m^2=0, với m là tham số.

1) Giải phương trình khi m = 1.

2) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x_1, x_2 khác 0 và thỏa điều kiện

\displaystyle \frac{{{x}_{1}}}{{{x}_{2}}}-\frac{{{x}_{2}}}{{{x}_{1}}}=\frac{8}{3}.

Bài 15. Tìm m để x^2-4x-2m|x-2|-m+6=0 vô nghiệm.

Kiểm tra – 2/3/2017


Bài 1.

1) Giải bất phương trình {{x}^{2}}+x-2+2\sqrt{x+2}\ge 0.

2) Giải hệ phương trình \begin{cases}xy-2x+y=8 \\{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-5x-11y+34=0.\end{cases}

Bài 2.

1) Tìm tất cả các cặp số nguyên tố (p;q) sao cho {{p}^{2}}+{{q}^{2}}+4 cũng là một số nguyên tố.

2) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (m;n) sao cho (3m-1) chia hết cho n(3n-1) chia hết cho m. Continue reading “Kiểm tra – 2/3/2017”

Orthocenter (1)


Tôi ghi ra đây một số kết quả về trực tâm của tam giác. Bạn nào biết kết quả khác thì đóng góp nhé!

Kết quả 1. Cho tam giác ABC không vuông với trực tâm H và tâm ngoại tiếp O. Khi đó \widehat{BAO}=\widehat{CAH},\quad \widehat{CBO}=\widehat{ABH},\quad \widehat{ACO}=\widehat{BCH}.

Kết quả 2. Cho tam giác ABC với trực tâm H và đường tròn ngoại tiếp (O). Nếu H_1 là điểm đối xứng với H qua BC thì H_1\in (O).

Kết quả 3. Cho tam giác ABC với trực tâm H và đường tròn ngoại tiếp (O). Nếu H_2 là điểm đối xứng với H qua trung điểm của BC thì H_2\in (O).

Kết quả 4. Cho tam giác ABC với trực tâm H và đường tròn ngoại tiếp (O;R). Khi đó HA^2=4R^2-BC^2,\quad HB^2=4R^2-CA^2,\quad HC^2=4R^2-AB^2.

Kết quả 5. Cho tam giác ABC với trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp O. Nếu A_1,B_1,C_1 lần lượt là trung điểm của BC,CA,AB thì AH=2OA_1,\quad BH=2OB_1,\quad CH=2OC_1.

Kết quả 6. Cho tam giác không vuông ABC với trực tâm H và các đường cao AA_1,BB_1,CC_1. Khi đó H, A,B,C là tâm đường tròn nội tiếp hoặc bằng tiếp (đỉnh thích hợp) của tam giác A_1B_1C_1.

Kết quả 7. Cho tam giác nhọn ABC với trực tâm H. Nếu AM,AN là các tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC (M, N là các tiếp điểm) thì M, HN thẳng hàng.