IMO 2009


Danh sách các bạn thuộc đội tuyển năm nay

1.Hà Khương Duy, lớp 12A1 Toán,Khối THPT chuyên ĐHKHTN-ĐHQG Hà Nội.

2.Nguyễn Xuân Cương, lớp 12 Toán 1,THPT chuyên Nguyễn Trãi,Hải Dương.

3.Nguyễn Hoàng Hải, lớp 12A1 ,THPT chuyên Vĩnh Phúc,Vĩnh Phúc.

4.Phạm Đức Hùng, lớp 11 Toán,THPT NK Trần Phú,Hải Phòng.

5.Phạm Hy Hiếu, lớp 11 Toán,PT NK ĐHKHTN-ĐHQG TP Hồ Chí Minh.

6.Tạ Đức Thành, lớp 11 Toán,THPT CHV,Phú Thọ

Các bài toán của ngày thứ  nhất:

Bài 1. Cho n là một số nguyên dương và a_1,\cdots, a_kk>1 số nguyên đôi một khác nhau trong \{1,2,\cdots, n\} sao cho n|a_i(a_{i+1}-1) với i=1,2,\cdots, k-1. Chứng minh rằng n không chia hết a_k(a_1-1).

Bài 2. Cho ABC là một tam giác có tâm đường tròn ngoại tiếp O.  Các điểm P,Q nằm trên các cạnh CA, AB tương ứng. Gọi K,L,M lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BP,CQ,PQ. Chứng minh rằng nếu PQ là tiếp tuyến của đường tròn (KLM) thì OP=OQ.

Bài 3.  Gỉa sử (s_i) là dãy tăng ngặt các số nguyên dương sao cho các dãy con (s_{s_i})(s_{s_i+1}) là các cấp số cộng. Chứng minh rằng dãy số đã cho cũng là một cấp số cộng.

Đề ngày 2 sẽ có trong comment dưới đây.

Góc nội tiếp và tam giác đồng dạng


Bài này chúng ta sẽ đề cập đến các bài toán chứng minh các tam giác đồng dạng mà sử dụng công cụ góc nội tiếp.

Bài 1.  Các đỉêm A,B,C,D nằm trên một đường tròn cho trước. Gỉa sử ABCD cắt nhau tại M. Chứng minh rằng \dfrac{AC\cdot AD}{AM}=\dfrac{BC\cdot BD}{BM}.

Bài 2.  Đường thẳng l tiếp xúc với đường tròn đường kính AB tại điểm C. Các điểm M,N là hình chiếu vuông góc của các điểm A,B lên đường thẳng l, tương ứng. Đỉêm D là hình chiếu vuông góc của điểm C trên AB. Chứng minh rằng CD^2=AM\cdot BN.

Bài 3.  Các điểm A,B,C nằm trên một đường tròn cho trước. Khoảng cách BC lớn hơn khoảng cách từ B đến đường thẳng l, là tiếp tuyến của đường tròn tại A. Đường thẳng AC cắt đường thẳng vẽ qua B song song với l tại D. Chứng minh rằng AB^2=AC\cdot AD.

Bài 4. Cho tam giác ABC với AH là đường cao của nó. Một đường thẳng l bất kỳ đi qua A. Gọi B_1,C_1 lần lượt là hình chiếu vuông góc của B,C lên l. Chứng minh rằng \Delta ABC\sim \Delta HB_1C_1.

Bài 5. Trên cung BC của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC lấy một điểm P. Các đoạn APBC cắt nhau tại Q. Chứng minh rằng \dfrac{1}{PQ}=\dfrac{1}{PB}+\dfrac{1}{PC}.

Bài 6. Một đường thẳng đi qua đỉnh C của tam giác đều ABC cắt cạnh AB tại điểm M và đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại N. Chứng minh rằng CM\cdot CN=AC^2  và \dfrac{CM}{CN}=\dfrac{AM\cdot BM}{AN\cdot BN}.

Bài 7. Xét hình bình hành ABCD với góc tại đỉnh A nhọn. Trên tia ABCB lấy các điểm HK tương ứng sao cho CH=CBAK=AB. Chứng minh rằng

a)DH=DK;

b)\Delta DKH\sim \Delta ABK.

Bài 8. Đường tròn S_1 có đường kính AB giao với đường tròn S_2 có tâm tại A tại các điểm CD. Qua điểm B vẽ một đường thẳng, nó cắt S_2 tại M(nằm trong S_1) và nó cắt S_1 tại N. Chứng minh rằng MN^2=CN\cdot ND.

Bài 9. Hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm A,B. Qua A vẽ các tiếp tuyến AM,AN với hai đường tròn(M,N là các điểm trên các đường tròn). Chứng minh rằng \dfrac{BM}{BN}=\left(\dfrac{AM}{AN}\right)^2.

Hai đường tròn tiếp xúc(Bài Kid hỏi)


Một đường thẳng đi qua tâm đường tròn nội tiếp I của tam giác ABC cắt AB, AC tại P,Q tương ứng . Chứng minh rằng đường tròn tiếp xúc với AB, AC tại P,Q tương ứng cũng tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Hướng dẫn: Gọi J là tâm của đường tròn đó. Từ tam giác vuông APJ tính được JP(là bán kính của (J)) và AJ, bằng định lý cosin trong tam giác AOJ sẽ tính được OJ (O là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC). Gìơ chứng minh OJ=R-IP là xong!(R là bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC).