IMO 2019 – Problems and Solutions


Mời các bạn tải về dùng cho tiện.

  1. Đề thi IMO 2019 Download -IMO2019 Vie
  2. IMO Shortlist 2018 (Chính thức) Download – IMO2018SL
  3. Đáp án được tổng hợp bởi Evan Chen Download – IMO2019sol
  4. Đáp án chính thức IMO2019 – solutions
  5. Link thảo luận các bài toán IMO 2019 trên AoPS:

Bài 1. https://artofproblemsolving.com/community/c6t360f6h1876068

Bài 2. https://artofproblemsolving.com/community/c6t360f6h1876070

Bài 3. https://artofproblemsolving.com/community/c6t360f6h1876067

Bài 4. https://artofproblemsolving.com/community/c6t360f6h1876742

Bài 5. https://artofproblemsolving.com/community/c6t360f6h1876772

Bài 6. https://artofproblemsolving.com/community/c6t360f6h1876745

Các em học sinh tải đề về làm thử, khoảng 1 tuần sau (hoặc lâu hơn) vào 6 links trên để thảo luận nhé!


Tham khảo:

[1] https://www.imo-official.org/year_info.aspx?year=2019

[2] http://web.evanchen.cc/problems.html

[3] https://artofproblemsolving.com/

[4] https://www.imo2019.uk/

Đề thi chọn đội tuyển IMO 2019 của Mỹ


Ngày thứ nhất
Bài 1. Cho tam giác \displaystyle ABC. Gọi \displaystyle M\displaystyle N lần lượt là trung điểm của \displaystyle AB\displaystyle AC. Gọi \displaystyle X là điểm sao cho \displaystyle AX tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác \displaystyle ABC. Ký hiệu \displaystyle \omega_B là đường tròn qua \displaystyle M, \displaystyle B và tiếp xúc với \displaystyle MX, \displaystyle \omega_C là đường tròn qua \displaystyle N, \displaystyle C và tiếp xúc với \displaystyle NX. Chứng minh rằng \displaystyle \omega_B\displaystyle \omega_C cắt nhau trên \displaystyle BC.
Bài 2. Tìm tất cả các số nguyên dương \displaystyle n sao cho tồn tại một song ánh \displaystyle g: \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} để \displaystyle 101 hàm \displaystyle g(x), \quad g(x) + x, \quad g(x) + 2x, \quad \dots, \quad g(x) + 100x là song ánh trên \displaystyle \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}.
Bài 3. Một con rắn độ dài \displaystyle k là một động vật nằm ở bộ \displaystyle (s_1, \dots, s_k) gồm \displaystyle k ô vuông con của bảng \displaystyle n \times n các ô vuông con, các ô vuông con này đôi một khác nhau, đồng thời \displaystyle s_i\displaystyle s_{i+1} có chung cạnh với mọi \displaystyle i = 1, \dots, k-1. Nếu con rắn nằm ở \displaystyle (s_1, \dots, s_k)\displaystyle s là một ô vuông con không thuộc bộ đó và có chung cạnh với \displaystyle s_1, thì nó có thể di chuyển đến \displaystyle (s, s_1, \dots, s_{k-1}). Con rắn được gọi là quay lại nếu lúc đầu nó ở vị trí \displaystyle (s_1, s_2, \dots, s_k) và sau một số hữu hạn lần di chuyển nó ở vị trí \displaystyle (s_k, s_{k-1}, \dots, s_1). Tồn tại hay không số nguyên \displaystyle n > 1 có tính chất: có thể đặt một con rắn độ dài \displaystyle 0.9n^2 trong một bảng \displaystyle n \times n sao cho nó có thể quay đầu. Continue reading “Đề thi chọn đội tuyển IMO 2019 của Mỹ”

Đề thi chọn HSG Quốc gia của Nhật năm 2019


Bài 1. Tìm tất cả các bộ ba các số nguyên dương \displaystyle (a,\ b,\ c) sao cho
\displaystyle a^2+b+3=(b^2-c^2)^2.
Bài 2. Cho số nguyên lẻ \displaystyle n\geq 3. Ta sẽ chơi một trò chơi trên bảng vuông \displaystyle n\times n như sau: Ở mỗi bước ta chọn một ô vuông con chưa được viết số và viết vào đó một số nguyên thuộc tập \displaystyle [n^2], mỗi số nguyên được dùng đúng một lần. Như vậy trò chơi sẽ kết thúc sau \displaystyle n^2 bước. Khi kết thúc, với mỗi ô vuông con, nếu hàng hoặc cột chứa nó có tổng các số chia hết cho \displaystyle n thì ta nhận được \displaystyle 1 điểm (nếu cả hai có tổng các số trên đó chia hết cho \displaystyle n thì ta có \displaystyle 2 điểm). Hỏi ta có thể nhận được nhiều nhất bao nhiêu điểm?
Bài 3. Tìm tất cả các hàm số \displaystyle f:(0;+\infty)\to (0;+\infty) sao cho
\displaystyle f\left(\frac{f(y)}{f(x)}+1\right)=f\left(x+\frac{y}{x}+1\right)-f(x),\quad \forall x;y\in (0;+\infty).
Bài 4. Cho tam giác \displaystyle ABC với tâm nội tiếp \displaystyle I, đường tròn nội tiếp \displaystyle w, và \displaystyle M là trung điểm của \displaystyle BC. Đường thẳng qua \displaystyle A vuông góc với \displaystyle BC cắt đường thẳng qua \displaystyle M vuông góc với \displaystyle AI tại \displaystyle K. Chứng minh rằng đường tròn đường kính \displaystyle AK tiếp xúc với \displaystyle w. Continue reading “Đề thi chọn HSG Quốc gia của Nhật năm 2019”

Đề thi chọn HSG Quốc gia của Trung Quốc năm 2019


Ngày thứ nhất
Bài 1. Xét các số thực \displaystyle a;b;c;d;e\geq -1 thỏa mãn \displaystyle a+b+c+d+e=5. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
\displaystyle S=(a+b)(b+c)(c+d)(d+e)(e+a).
Bài 2. Một tập các số nguyên dương \displaystyle \{a,b,c\} được gọi là tập Pythagorean nếu \displaystyle a,b,c là độ dài các cạnh của một tam giác vuông. Chứng minh rằng với mỗi hai tập Pythagorean \displaystyle P,Q, tồn tại số nguyên \displaystyle m\ge 2 và các tập Pythagorean \displaystyle P_1,P_2,\ldots ,P_m sao cho \displaystyle P=P_1, Q=P_m\displaystyle \forall 1\le i\le m-1, \displaystyle P_i\cap P_{i+1}\neq \emptyset.
Bài 3. Cho \displaystyle O là tâm đường tròn ngoại tiếp của \displaystyle \triangle ABC(\displaystyle AB<AC) và \displaystyle D là điểm trên phân giác của \displaystyle \angle BAC. Điểm \displaystyle E thuộc \displaystyle BC sao cho \displaystyle OE\parallel AD, \displaystyle DE\perp BC. Điểm \displaystyle K nằm trên \displaystyle EB kéo dài sao cho \displaystyle EK=EA. Đường tròn ngoại tiếp của \displaystyle \triangle ADK cắt \displaystyle BC tại \displaystyle P\neq K, và cắt đường tròn ngoại tiếp của \displaystyle \triangle ABC tại \displaystyle Q\neq A. Chứng minh rằng \displaystyle PQ tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp của \displaystyle \triangle ABC. Continue reading “Đề thi chọn HSG Quốc gia của Trung Quốc năm 2019”

Đề thi chọn đội tuyển Trung Quốc tham dự IMO 2018 (China TST 2018) – Phần 2


Mời các bạn xem phần 1 ở https://nttuan.org/2018/04/02/chinatst2018-test1/


Ngày thứ nhất
Bài 1. Cho tam giác \displaystyle ABC\displaystyle D là một điểm di động trên cạnh \displaystyle BC. Điểm \displaystyle E và điểm \displaystyle F lần lượt thuộc các cạnh \displaystyle AB\displaystyle AC sao cho \displaystyle BE=CD\displaystyle CF=BD. \displaystyle (BDE)\displaystyle (CDF) cắt nhau tại hai điểm khác nhau \displaystyle P\displaystyle D. Chứng minh tồn tại điểm cố định \displaystyle Q sao cho \displaystyle QP là hằng số.
Bài 2. Với mỗi số nguyên dương \displaystyle n, \textit{một phân hoạch nguyên} của \displaystyle n là một cách viết \displaystyle n thành tổng của các số nguyên dương (không kể thứ tự), số phân hoạch nguyên của \displaystyle n ký hiệu bởi \displaystyle p\left ( n \right ). Tìm tất cả các số nguyên dương \displaystyle n sao cho
\displaystyle p\left ( n \right )+p\left ( n+4 \right )=p\left ( n+2 \right )+p\left ( n+3 \right ).
Bài 3. Cho hai số nguyên dương \displaystyle p,q. Có một cái bảng trên đó viết \displaystyle n số nguyên dương. Cho phép thực hiện phép toán sau: Chọn hai số bằng nhau \displaystyle a,a trên bảng và thay chúng bởi \displaystyle a+p,a+q. Tìm giá trị nhỏ nhất của \displaystyle n sao cho ta có thể thực hiện vô hạn lần phép toán trên. Continue reading “Đề thi chọn đội tuyển Trung Quốc tham dự IMO 2018 (China TST 2018) – Phần 2”

Đề thi chọn đội tuyển Trung Quốc tham dự IMO 2018 (China TST 2018) – Phần 1


Ngày thứ nhất
Bài 1. Cho \displaystyle p;q là các số thực dương có tổng bằng \displaystyle 1. Chứng minh rằng với mỗi bộ \displaystyle n số thực \displaystyle (y_1,y_2,...,y_n), tồn tại bộ \displaystyle n số thực \displaystyle (x_1,x_2,...,x_n) sao cho \displaystyle p\cdot \max\{x_i,x_{i+1}\} + q\cdot \min\{x_i,x_{i+1}\} = y_i với mỗi \displaystyle i=1,2,...,2017, ở đây \displaystyle x_{2018}=x_1.
Bài 2. Một số nguyên dương \displaystyle n được gọi là tốt nếu \displaystyle 2018| d(n). Tìm tất cả các số nguyên dương \displaystyle k sao cho tồn tại cấp số cộng vô hạn có công sai \displaystyle k và mọi số hạng của nó là tốt.
Bài 3. Đường tròn \displaystyle \omega tiếp xúc với các cạnh \displaystyle AB, \displaystyle AC của tam giác \displaystyle ABC tại \displaystyle D, \displaystyle E tương ứng, sao cho \displaystyle D\neq B, \displaystyle E\neq C\displaystyle BD+CE<BC. \displaystyle F, \displaystyle G nằm trên \displaystyle BC sao cho \displaystyle BF=BD, \displaystyle CG=CE. \displaystyle DG cắt \displaystyle EF tại \displaystyle K. \displaystyle L nằm trên cung nhỏ \displaystyle DE của \displaystyle \omega sao cho tiếp tuyến tại \displaystyle L của \displaystyle \omega song song với \displaystyle BC. Chứng minh rằng tâm nội tiếp của \displaystyle \triangle ABC nằm trên \displaystyle KL. Continue reading “Đề thi chọn đội tuyển Trung Quốc tham dự IMO 2018 (China TST 2018) – Phần 1”

Đề thi chọn đội tuyển Trung Quốc tham dự IMO 2017 (China TST 2017) – Phần 5


Các bạn có thể xem phần 4 tại https://nttuan.org/2018/03/07/chinatst2017-test4/

Ngày thứ nhất
Bài 1. Cho số nguyên \displaystyle n\ge 3. Xét dãy \displaystyle a_1,a_2,...,a_n, nếu \displaystyle (a_i,a_j,a_k) thỏa mãn \displaystyle i+k=2j\, (i<j<k)\displaystyle a_i+a_k\ne 2a_j ta nói nó là tốt. Nếu một dãy chứa ít nhất một bộ ba tốt thì nó chứa ít nhất bao nhiêu bộ ba tốt?
Bài 2. Tìm số nguyên dương \displaystyle m nhỏ nhất có tính chất: với mỗi đa thức \displaystyle f(x) với hệ số thực, tồn tại đa thức \displaystyle g(x) với hệ số thực có bậc không lớn hơn $m$ sao cho tồn tại \displaystyle 2017 số khác nhau \displaystyle a_1,a_2,...,a_{2017} thỏa mãn \displaystyle g(a_i)=f(a_{i+1}) với mọi \displaystyle i=1,2,...,2017. Ở đây chỉ số lấy theo modulo \displaystyle 2017.
Bài 3. Với một điểm hữu tỷ \displaystyle (x,y), nếu \displaystyle xy là số nguyên chia hết cho \displaystyle 2 nhưng không chia hết cho \displaystyle 3 ta tô nó màu đỏ, nếu \displaystyle xy là số nguyên chia hết cho \displaystyle 3 nhưng không chia hết cho \displaystyle 2 ta tô nó màu xanh. Tồn tại hay không một đoạn thẳng chứa đúng \displaystyle 2017 điểm xanh và đúng \displaystyle 58 điểm đỏ? Continue reading “Đề thi chọn đội tuyển Trung Quốc tham dự IMO 2017 (China TST 2017) – Phần 5”

Đề thi chọn đội tuyển Trung Quốc tham dự IMO 2017 (China TST 2017) – Phần 4


Các bạn có thể xem phần 3 tại https://nttuan.org/2017/04/14/topic-880/

Ngày thứ nhất
Bài 1. Chứng minh rằng \displaystyle\sum_{k=0}^{58}C_{2017+k}^{58-k}C_{2075-k}^{k}=\sum_{p=0}^{29}C_{4091-2p}^{58-2p}.
Bài 2. Cho tam giác \displaystyle ABC, đường tròn bàng tiếp góc \displaystyle A tiếp xúc với cạnh \displaystyle BC, đường thẳng \displaystyle AB\displaystyle AC lần lượt tại \displaystyle E,D,F. \displaystyle EZ là đường kính của đường tròn. \displaystyle B_1\displaystyle C_1 thuộc \displaystyle DF sao cho \displaystyle BB_1\perp{BC}, \displaystyle CC_1\perp{BC}. Đường thẳng \displaystyle ZB_1,ZC_1 cắt \displaystyle BC tại \displaystyle X,Y tương ứng. \displaystyle EZ cắt \displaystyle DF tại \displaystyle H, \displaystyle ZK vuông góc với \displaystyle FD tại \displaystyle K. Chứng minh rằng nếu \displaystyle H là trực tâm của tam giác \displaystyle XYZ thì \displaystyle H,K,X,Y cùng nằm trên một đường tròn.
Bài 3. Tìm số các bộ \displaystyle (x_1,...,x_{100}) thỏa mãn đồng thời ba điều kiện
i) \displaystyle x_1,...,x_{100}\in\{1,2,..,2017\};
ii) \displaystyle 2017|x_1+...+x_{100};
iii) \displaystyle 2017|x_1^2+...+x_{100}^2. Continue reading “Đề thi chọn đội tuyển Trung Quốc tham dự IMO 2017 (China TST 2017) – Phần 4”

Đề chọn đội VMO 2018


Giống như topic năm 2016 https://nttuan.org/2016/09/18/topic-817/ , trong topic này tôi sẽ tổng hợp tất cả các đề chọn đội VMO 2018 của các tỉnh thành *.pdf. Mọi người có thể hỗ trợ tôi theo các cách:

1) Chỉ ra lỗi trong file;

2) Gửi đề của tỉnh mình qua email cho tôi (có file text càng tốt).

Cảm ơn các bạn rất nhiều. Continue reading “Đề chọn đội VMO 2018”

IMO 2017 training (2)


Chào các bạn đồng nghiệp,

đây là một số bài toán tôi dùng để luyện cho đội IMO 2017. Tuyển tập này gồm nhiều phần, đây là phần thứ hai.

Các bạn có thể xem phần đầu ở https://nttuan.org/2017/08/01/imo-2017-training-1/


Bài 1. Cho số nguyên dương \displaystyle n>1 và dãy số Fibonacci xác định như sau \displaystyle f_1=f_2=1, \displaystyle f_{k+2}=f_{k+1}+f_k,\,\forall k\in\mathbb{N}^*. Chứng minh rằng nếu \displaystyle a\displaystyle b là các số nguyên dương sao cho \displaystyle \dfrac{a}{b} nằm giữa hai phân số \displaystyle \dfrac{f_n}{f_{n-1}}\displaystyle \dfrac{f_{n+1}}{f_{n}} thì \displaystyle b\geq f_{n+1}.
Bài 2. (VMO 2013) Cho trước một số số tự nhiên được viết trên một đường thẳng. Ta thực hiện các bước điền số lên đường thẳng như sau: tại mỗi bước, trước tiên xác định tất cả các cặp số kề nhau hiện có trên đường thẳng theo thứ tự từ trái qua phải, sau đó điền vào giữa mỗi cặp một số bằng tổng của hai số thuộc cặp đó. Hỏi sau \displaystyle 2013 bước, số \displaystyle 2013 xuất hiện bao nhiêu lần trên đường thẳng trong các trường hợp sau:
a) Các số cho trước là: \displaystyle 1\displaystyle 1000?
b) Các số cho trước là: \displaystyle 1,2,...,1000 và được xếp theo thức tự tăng dần từ trái qua phải?
Bài 3. Dãy hữu hạn các số nguyên \displaystyle a_1, a_2, \dots, a_n được gọi là chính quy nếu tồn tại số thực \displaystyle x thỏa mãn \displaystyle \left\lfloor kx \right\rfloor = a_k với mọi \displaystyle k=1, 2,\cdots, n. Cho dãy chính quy \displaystyle a_1, a_2, \dots, a_n, với \displaystyle 1 \le k \le n ta nói \displaystyle a_k là số hạng bắt buộc nếu dãy \displaystyle a_1, a_2, \dots, a_{k-1}, b chính quy khi và chỉ khi \displaystyle b = a_k. Tìm số lớn nhất các số hạng bắt buộc của một dãy chính quy dài \displaystyle 1000.
Bài 4. Cho \displaystyle \nu là một số vô tỷ dương, và \displaystyle m là một số nguyên dương. Một cặp \displaystyle (a,b) các số nguyên dương được gọi là tốt nếu
\displaystyle a \left \lceil b\nu \right \rceil - b \left \lfloor a \nu \right \rfloor = m. Một cặp tốt \displaystyle (a,b) được gọi là rất tốt nếu không cặp nào trong hai cặp \displaystyle (a-b,b), \displaystyle (a,b-a) là tốt. Chứng minh rằng số cặp rất tốt bằng tổng các ước dương của \displaystyle m.
Bài 5. Cho \displaystyle m,n là các số nguyên dương thỏa mãn \displaystyle m \ge n. Gọi \displaystyle S là tập tất cả các cặp \displaystyle (a,b) các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau thỏa mãn \displaystyle a,b \le m\displaystyle a+b > m. Với mỗi \displaystyle (a,b)\in S, xét nghiệm tự nhiên \displaystyle (u,v) của phương trình \displaystyle au - bv = n sao cho \displaystyle v nhỏ nhất, và gọi \displaystyle I(a,b) là khoảng \displaystyle (v/a, u/b). Chứng minh rằng \displaystyle I(a,b) \subset (0,1) với mọi \displaystyle (a,b)\in S và mỗi số vô tỷ \displaystyle \alpha\in(0,1) thuộc \displaystyle I(a,b) với đúng \displaystyle n cặp phân biệt \displaystyle (a,b)\in S.
Bài 6. Một số nguyên dương \displaystyle q được gọi là mẫu phù hợp của số thực \displaystyle \alpha nếu \displaystyle \displaystyle |\alpha - \dfrac{p}{q}|<\dfrac{1}{10q} với số nguyên \displaystyle p nào đó. Chứng minh nếu hai số vô tỷ \displaystyle \alpha\displaystyle \beta có cùng tập các mẫu phù hợp thì \displaystyle \alpha+\beta hoặc \displaystyle \alpha- \beta là một số nguyên. Continue reading “IMO 2017 training (2)”