Một số sách về Olympic Toán


Chào các em học sinh đang chuẩn bị cho các kỳ thi Olympic Toán, trong tài liệu này tôi sẽ giới thiệu một số sách các em nên có. Trước tiên các em cần có bộ sách “Tài liệu giáo khoa Chuyên Toán” lớp 10,11,12. Dưới đây là vài cuốn khác.

ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH

A1. Nguyễn Văn Mậu, Phương trình hàm.
A2. Jean-Marie Monier, Giải tích 1.
A3. Phạm Kim Hùng, Secrets In Inequalities (Vol 1 and Vol 2).
A4. Nguyễn Hữu Điển, Đa thức.
A5. Titu Andreescu, Navid Safaei, and Alessandro Ventullo, 117 Polynomial Problems.
A6. T. Andreescu, V. Cartoaje, G. Dospinescu, and M. Lascu, Old and New Inequalities.
A7. E.J. Barbeau, Polynomials.
A8. T. Andreescu and D. Andrica, Complex Numbers from A to Z.
A9. Titu Andreescu, Iurie Boreico, Oleg Mushkarov, and Nikolai Nikolov, Topics in Functional Equations.
A10. B. J. Venkatachala, Functional Equations.

TỔ HỢP

C1. C. Chuan-Chong and K. Khee-Meng, Principles and Techiques in Combinatorics.
C2. T. Andreescu and Z. Feng, 102 Combinatorial Problems.
C3. Vũ Đình Hòa, Hình học tổ hợp.
C4. Vũ Đình Hòa, Graph.
C5. T. Andreescu and Z. Feng, A Path to Combinatorics for Undergraduates.
C6. H.S. Wilf, Generatingfunctionology.
C7. Pranav A. Sriram, Olympiad combinatorics.
C8. R. Brualdi, Introductory Combinatorics.

HÌNH HỌC

G1. Nguyễn Minh Hà và Nguyễn Xuân Bình, Bài tập nâng cao và một số chuyên đề Hình học 10.
G2. Titu Andreescu, Sam Korsky, and Cosmin Pohoata, Lemmas in Olympiad Geometry.
G3. I.M. Yaglom, Geometric Transformations.
G4. T. Andreescu, O. Mushkarov, and L. Stoyanov, Geometric Problems on Maxima and Minima.
G5. Roger A. Johnson, Advanced Euclidean Geometry.

SỐ HỌC

N1. Đặng Hùng Thắng, Nguyễn Văn Ngọc, và Vũ Kim Thủy, Bài giảng số học.
N2. D. Burton, Elementary Number Theory.
N3. Titu Andreescu, Dorin Andrica, and Ion Cucurezeanu, An Introduction to Diophantine Equations.
N4. T. Andreescu, D. Andrica, and Z. Feng, 104 Number Theory Problems.
N5. G.H. Hardy, E.M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers.

ĐỀ THI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

M1. Lê Anh Vinh (chủ biên), Định hướng bồi dưỡng học sinh năng khiếu Toán.
M2. Dusan Djukic, Vladimir Jankovic, Ivan Matic, and Nikola Petrovic, The IMO Compendium. Continue reading “Một số sách về Olympic Toán”

Đề thi chọn đội tuyển Trung Quốc tham dự IMO 2018 (China TST 2018) – Phần 1


Ngày thứ nhất
Bài 1. Cho \displaystyle p;q là các số thực dương có tổng bằng \displaystyle 1. Chứng minh rằng với mỗi bộ \displaystyle n số thực \displaystyle (y_1,y_2,...,y_n), tồn tại bộ \displaystyle n số thực \displaystyle (x_1,x_2,...,x_n) sao cho \displaystyle p\cdot \max\{x_i,x_{i+1}\} + q\cdot \min\{x_i,x_{i+1}\} = y_i với mỗi \displaystyle i=1,2,...,2017, ở đây \displaystyle x_{2018}=x_1.
Bài 2. Một số nguyên dương \displaystyle n được gọi là tốt nếu \displaystyle 2018| d(n). Tìm tất cả các số nguyên dương \displaystyle k sao cho tồn tại cấp số cộng vô hạn có công sai \displaystyle k và mọi số hạng của nó là tốt.
Bài 3. Đường tròn \displaystyle \omega tiếp xúc với các cạnh \displaystyle AB, \displaystyle AC của tam giác \displaystyle ABC tại \displaystyle D, \displaystyle E tương ứng, sao cho \displaystyle D\neq B, \displaystyle E\neq C\displaystyle BD+CE<BC. \displaystyle F, \displaystyle G nằm trên \displaystyle BC sao cho \displaystyle BF=BD, \displaystyle CG=CE. \displaystyle DG cắt \displaystyle EF tại \displaystyle K. \displaystyle L nằm trên cung nhỏ \displaystyle DE của \displaystyle \omega sao cho tiếp tuyến tại \displaystyle L của \displaystyle \omega song song với \displaystyle BC. Chứng minh rằng tâm nội tiếp của \displaystyle \triangle ABC nằm trên \displaystyle KL. Continue reading “Đề thi chọn đội tuyển Trung Quốc tham dự IMO 2018 (China TST 2018) – Phần 1”

Đề thi chọn đội tuyển Trung Quốc tham dự IMO 2017 (China TST 2017) – Phần 4


Các bạn có thể xem phần 3 tại https://nttuan.org/2017/04/14/topic-880/

Ngày thứ nhất
Bài 1. Chứng minh rằng \displaystyle\sum_{k=0}^{58}C_{2017+k}^{58-k}C_{2075-k}^{k}=\sum_{p=0}^{29}C_{4091-2p}^{58-2p}.
Bài 2. Cho tam giác \displaystyle ABC, đường tròn bàng tiếp góc \displaystyle A tiếp xúc với cạnh \displaystyle BC, đường thẳng \displaystyle AB\displaystyle AC lần lượt tại \displaystyle E,D,F. \displaystyle EZ là đường kính của đường tròn. \displaystyle B_1\displaystyle C_1 thuộc \displaystyle DF sao cho \displaystyle BB_1\perp{BC}, \displaystyle CC_1\perp{BC}. Đường thẳng \displaystyle ZB_1,ZC_1 cắt \displaystyle BC tại \displaystyle X,Y tương ứng. \displaystyle EZ cắt \displaystyle DF tại \displaystyle H, \displaystyle ZK vuông góc với \displaystyle FD tại \displaystyle K. Chứng minh rằng nếu \displaystyle H là trực tâm của tam giác \displaystyle XYZ thì \displaystyle H,K,X,Y cùng nằm trên một đường tròn.
Bài 3. Tìm số các bộ \displaystyle (x_1,...,x_{100}) thỏa mãn đồng thời ba điều kiện
i) \displaystyle x_1,...,x_{100}\in\{1,2,..,2017\};
ii) \displaystyle 2017|x_1+...+x_{100};
iii) \displaystyle 2017|x_1^2+...+x_{100}^2. Continue reading “Đề thi chọn đội tuyển Trung Quốc tham dự IMO 2017 (China TST 2017) – Phần 4”

IMO 2016 Shortlist (*.pdf, full)


Tôi gửi tặng mọi người 2 file pdf: Một file là bản tiếng Việt ISL 2016 do tôi dịch, file còn lại là bản tiếng Anh chính thức.

Nếu có chỗ nào sai, hãy báo cho tôi.

Continue reading “IMO 2016 Shortlist (*.pdf, full)”

Một số trang về Olympic Toán


Tôi có post một số trang về Olympic Toán trên facebook  nhưng nó cứ chìm xuống khi đăng một bài khác, vì thế nên tôi lập topic này để lưu các link đó lại.

P. S. Hãy góp link bằng cách comment các bạn nhé! 🙂

Continue reading “Một số trang về Olympic Toán”

IMO 2015 Shortlist (*.pdf, full)


Tôi gửi tặng mọi người 2 file pdf: Một file là bản tiếng Việt ISL 2015 do tôi dịch, file còn lại là bản tiếng Anh chính thức.

Continue reading “IMO 2015 Shortlist (*.pdf, full)”

Lagrange’s interpolation polynomial


In this article, I will use Lagrange polynomial to solve some polynomial problems from Mathematical Olympiads.

Continue reading “Lagrange’s interpolation polynomial”

Tổ hợp


Định nghĩa. Cho một tập An phần tử(n\in\mathbb{N}) và 0\leq k\leq n là một số nguyên. Một k-tổ hợp(một tổ hợp chập k) của A là một tập con k phần tử của A.

Ví dụ 4.1. Các 3-tổ hợp của A=\{a,b,c,d\}\{a,b,c\},\{b,c,d\},\{c,d,a\},\{d,a,b\}\Box.

Số tổ hợp. Cho một tập An phần tử(n\in\mathbb{N}) và 0\leq k\leq n là một số nguyên. Khi đó số k-tổ hợp của A bằng C_n^k=\dfrac{A_n^k}{k!}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}.

Chứng minh. Sự khác nhau giữa một k-tổ hợp và một k-hoán vị chính là một đằng không quan tâm đến thứ tự, trong khi đằng kia có quan tâm đến thứ tự. Tận dụng điều này ta có chứng minh như sau.

Continue reading “Tổ hợp”

Một đồng dư modulo nguyên tố


Người dịch: Nguyễn Trung Tuân
Tặng Thầy nhân dịp 20-11-2007

Trong năm 1961, Erdos, Ginzburg, và Ziv [3] đã tìm ra định lý nổi tiếng sau đây, bây giờ nó là trung tâm của các bài toán 0- tổng( về các bài toán này các bạn có thể tìm trong [1],[2] và [5]).

Định lý EGZ. Giả sử n là một số nguyên dương. Khi đó với mỗi dãy a_1,a_2,\cdots,a_{2n-1} gồm 2n-1 số nguyên có một dãy con a_{i_1},a_{i_2},\cdots, a_{i_n} độ dài n sao cho tổng \sum_{j=1}^na_{i_j} chia hết cho n.

Dễ kiểm tra thấy rằng định lý EGZ là nhân tính, nghĩa là, nếu mệnh đề đúng với n=k và n=l thì nó cũng đúng với n=kl. Do đó chỉ cần chứng minh định lý đúng với n nguyên tố là đủ. Trong các chứng minh cổ điển của định lý, trường hợp n nguyên tố thường có được từ định lý Cauchy-Davenport hoặc định lý Chevalley-Waring (xem [6]). Tuy nhiên, với sự giúp đỡ của định thức Vandermonde, Gao [4] cho một chứng minh khác của định lý EGZ dựa trên đồng dư sau \sum_{I\subseteq\{1,\cdots,2p-1\},|I|=p}\;(\sum_{i\in I}a_i)^{p-1}\equiv 0\pmod{p},\; (*)
ở đó p là một số nguyên tố và a_1,\cdots,a_{2p-1} là các số nguyên bất kì. Chú ý rằng định lý EGZ là một hệ quả đơn giản của (*) vì theo định lý Fermat nhỏ chúng ta có

\left|\{I\subseteq\{1,2,\cdots,2p-1\}:\sum_{i\in I}a_i\equiv 0\pmod{p},|I|=p\}\right|\equiv
\equiv\sum_{I\subseteq\{1,\cdots,2p-1\},|I|=p}\;(1-(\sum_{i\in I}a_i)^{p-1})\equiv C_{2p-1}^p\equiv 1\pmod{p}.

Trong bài báo này, chúng tôi sẽ chứng minh định lý sau, mà đồng dư của Gao chỉ là một hệ quả đơn giản của nó:

Định lý. Giả sử p là một số nguyên tố và k là một số nguyên dương thỏa mãn k\leq p. Cho f(x_1,\cdots,x_k) là một đa thức đối xứng với hệ số nguyên biến x_1,\cdots,x_k. Nếu bậc của f nhỏ hơn k thì với một dãy bất kì gồm p+k-1 số nguyên a_1,a_2,\cdots,a_{p+k-1}, chúng ta có

\sum_{1\leq i_1<\cdots<i_k\leq p+k-1}\; f(a_{i_1},\cdots,a_{i_k})\equiv f(0,\cdots,0)\pmod{p} nếu k=p

\equiv 0\pmod{p} trong trường hợp còn lại.

Chứng minh. Chứng minh là sơ cấp, chỉ cần đến một tính chất số học cơ  bản của hệ số nhị thức: C_{p+k-1}^k\equiv 1\pmod{p} nếu k=p và \equiv 0\pmod{p} nếu 1\leq k<p.

Chúng tôi sẽ chứng minh định lý bằng quy nạp theo k. Khi k=1, vì \deg f<k nên f phải là một hằng số c. Trong trường hợp này \sum_{1\leq i\leq p}f(a_i)=p\cdot c\equiv 0\pmod{p}. Bây giờ giả sử rằng k>1 và định lý là đúng với tất cả các giá trị nhỏ hơn k. Đặt S_{f,k}(x_1,\cdots,x_{p+k-1})=\sum_{1\leq i_1<\cdots<i_k\leq p+k-1}\; f(x_{i_1},\cdots,x_{i_k}) và viết f(x_1,\cdots, x_k) dưới dạng f(x_1,\cdots,x_k)=\sum_{j=0}^{k-1}g_j(x_1,\cdots,x_{k-1})x_k^j, ở đây g_j là các đa thức biến x_1,\cdots,x_{k-1}. Từ tính đối xứng của f ta có S_{f,k} và tất cả g_j là các đa thức đối xứng.

Tiếp theo chúng ta thấy rằng

S_{f,k}(a_1,\cdots,a_{p+k-1})=\sum_{1\leq i_1<\cdots<i_k\leq p+k-2}\;f(a_{i_1},\cdots,a_{i_k})+
+\sum_{1\leq i_1<\cdots<i_{k-1}\leq p+k-2}\; f(a_{i_1},\cdots,a_{i_{k-1}},a_{p+k-1}).

Do đó S_{f,k}(a_1,\cdots,a_{p+k-1})-S_{f,k}(a_1,\cdots,a_{p+k-2} ,0)

=\sum_{1\leq i_1<\cdots<i_{k-1}\leq p+k-2}\;(f(a_{i_1},\cdots,a_{i_{k-1}},a_{p+k-1})-f(a_{i_1},\cdots,a_{i_{k-1}},0))

=\sum_{1\leq i_1<\cdots<i_{k-1}\leq p+k-2}\;\left(\sum_{j=0}^{k-1}g_j(a_{i_1},\cdots,a_{i_{k-1}})a_{p+k-1}^j-g_0(a_{i_1},\cdots,a_{i_{k-1}})\right)

=\sum_{j=1}^{k-1}a_{p+k-1}^j\;\sum_{1\leq i_1<\cdots<i_{k-1}\leq p+k-2}\;g_j(a_{i_1},\cdots,a_{i_{k-1}})

=\sum_{j=1}^{k-1}a_{p+k-1}^jS_{g_j,k-1}(a_1,\cdots,a_{p+k-2}).

k\leq p\deg g_j\leq \deg f-j<k-j, chúng ta có thể dùng giả thiết quy nạp để có

S_{g_j,k-1}(a_1,\cdots,a_{p+k-2})\equiv 0\pmod{p}\forall j=\overline{1,k-1}. Do đó

S_{f,k}(a_1,\cdots,a_{p+k-1})\equiv S_{f,k}(a_1,\cdots,a_{p+k-2},0)\pmod{p}. Từ đây, sử dụng tính đối xứng của S_{f,k}, chúng ta có S_{f,k}(a_1,\cdots,a_{p+k-1})\equiv S_{f,k}(0,\cdots,0)\pmod{p}.

Cuối cùng, bởi định nghĩa của S_{f,k}, ta có S_{f,k}(a_1,\cdots,a_{p+k-1})=C_{p+k-1}^kf(0,\cdots,0)\equiv f(0,\cdots,0)\pmod{p} nếu k=p và \equiv 0\pmod{p} nếu 1\leq k<p.

Định lý được chứng minh.

Tài liệu tham khảo

[1]N. Alon and M. Dubiner, Zero-sum sets of prescribed size, in: “Combinatorics, Paul Erdos is Eighty”, Bolyai Society, Mathematical Studies, Keszthely, Hungary, 1993, 33-50.

[2]Y. Caro, “Zero-sum problems: a survey” Discrete Math. , 152 (1996) pp. 93–113.

[3]Erdos, P., Ginzburg, A., Ziv, A. Theorem in additive number Theory,. Bull. Res. Council, Israel, 10 F(1961) 41–43.

[4]W. D. Gao – Two addition theorems on groups of prime order, J. Number Theory, Vol.56 (1996) 211-213.

[5]W.D. Gao, A. Geroldinger, On zero sum sequences in Zn ⊕ Zn Integers 3 (A8) (2003) 45 (electronic).

[6]M. B. Nathanson, Additive Number Theory: Inverse Problems and the Geometry of Sumsets, 1996.