Một số trang về Olympic Toán


Tôi có post một số trang về Olympic Toán trên facebook  nhưng nó cứ chìm xuống khi đăng một bài khác, vì thế nên tôi lập topic này để lưu các link đó lại.

P. S. Hãy góp link bằng cách comment các bạn nhé! 🙂

Continue reading “Một số trang về Olympic Toán”

VMO training 2017 – Part 3


Link part 2: https://nttuan.org/2016/12/01/topic-841/


TEST 2, DAY 2

Bài 5. Cho các số nguyên dương ak. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, tồn tại số nguyên dương m sao cho ka^m+m chia hết cho n.

Bài 6. Tìm tất cả các hàm số f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} sao cho

\forall x,y,z\in\mathbb{R},\quad|x-y|<|x-z|\Longrightarrow |f(x)-f(y)|<|f(x)-f(z)|. Continue reading “VMO training 2017 – Part 3”

VMO training 2017 – Part 2


Link Part 1: https://nttuan.org/2016/11/08/topic-831/


Test 2, Day 1

Bài 1. Cho dãy số (u_n)_{n\geq 1} xác định bởi u_1=2

u_{n+1}=u_n+\sqrt{1+\dfrac{u_n}{2}},\,\,\forall n\geq 1. Tìm tất cả các số thực \alpha sao cho dãy số \left(\dfrac{u_n^{\alpha}}{n}\right)_{n\geq 1} có giới hạn hữu hạn và giới hạn của nó khác 0.

Bài 2. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) và có AC > BC. Giả sử H là trực tâm tam giác ABC, đường tròn ngoại tiếp tam giác BHC cắt AB tại điểm thứ hai E. Gọi D là hình chiếu vuông góc của C trên AB. Đường thẳng đi qua D và vuông góc với DO cắt BC tại F. Chứng minh rằng H, EF thẳng hàng.  Continue reading “VMO training 2017 – Part 2”

Real roots of a polynomial


Cách đây vài tháng tôi có đưa lên blog này một số bài toán về nghiệm thực của đa thức, cụ thể ở các link sau:

Dưới đây là file pdf tổng hợp các bài trên sau khi nhận được sự góp ý từ các bạn đồng nghiệp và các em học sinh.

Continue reading “Real roots of a polynomial”

IMO 2015 Shortlist (*.pdf, full)


Tôi gửi tặng mọi người 2 file pdf: Một file là bản tiếng Việt ISL 2015 do tôi dịch, file còn lại là bản tiếng Anh chính thức.

Continue reading “IMO 2015 Shortlist (*.pdf, full)”

Sum and product


Bài 1. Tính giới hạn của các dãy (u_n) xác định bởi

a) \displaystyle u_n=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\cdots+\frac{1}{n(n+1}\,\,\forall n\geq 1.

b) \displaystyle u_n=\left(1-\frac{1}{2^2}\right).\left(1-\frac{1}{3^2}\right)\cdots \left(1-\frac{1}{n^2}\right)\,\,\forall n\geq 2.

c) \displaystyle u_n=\frac{2^3-1}{2^3+1}.\frac{3^3-1}{3^3+1}\cdots\frac{n^3-1}{n^3+1}\,\,\forall n\geq 2.

Bài 2. Cho dãy số (x_n) xác định bởi x_1=\dfrac{2}{3},x_{n+1}=\dfrac{x_n}{2(2n+1)x_n+1}\,\,\forall n\geq 1. Tính tổng 2016 số hạng đầu tiên của dãy.

Bài 3. Dãy a_1,a_2,\ldots các số thực dương thỏa mãn a_{k+1}\geq\dfrac{ka_k}{a_k^2+(k-1)} với mọi số nguyên dương k. Chứng minh rằng a_1+a_2+\ldots+a_n\geq n với mọi n\geq 2.

Bài 4. Cho dãy số dương \{a_n\} xác định bởi a_{1}=1,\,\,(n^2+1)a^2_{n-1}=(n-1)^2a^2_{n}\,\,\forall n>1. Chứng minh rằng

\displaystyle\frac{1}{a^2_1}+\frac{1}{a^2_2}+\cdots +\frac{1}{a^2_n}\le 1+\sqrt{1-\frac{1}{a^2_n}}.

Bài 5. Các dãy (x_n),(y_n) xác định bởi x_1=2,y_1=1x_{n+1}=x_n^2+1,y_{n+1}=x_ny_n\,\,\,\,\,\,\,\,\forall n\geq 1. Chứng minh rằng dãy số (x_n/y_n)_{n\geq 1} hội tụ và giới hạn của nó bé hơn \sqrt{7}.

Bài 6. Cho dãy \{x_n\} được xác định bởi \displaystyle x_1=1;x_n=\dfrac{2n}{(n-1)^2} \sum_{i=1}^{n-1} x_i\,\,\forall n>1. Chứng minh rằng dãy (y_n) xác định bởi y_n=x_{n+1}-x_n\,\,\forall n\geq 1 có giới hạn hữu hạn.

Bài 7. Tồn tại hay không dãy \{x_{n}\} các số thực thỏa mãn đồng thời hai điều kiện

i) |x_{n}|\leq 0,666 với mỗi n=1,2,...;

ii) |x_{m}-x_{n}|\geq \dfrac{1}{n(n+1)}+\dfrac{1}{m(m+1)} với mỗi m\not = n? Continue reading “Sum and product”

IMO Shortlist 2015 – Algebra


Trong topic này và 3 topic sau tôi sẽ dịch các bài toán từ IMO Shortlist 2015.

A1. Dãy a_1,a_2,\ldots các số thực dương thỏa mãn

a_{k+1}\geq\dfrac{ka_k}{a_k^2+(k-1)} với mọi số nguyên dương k. Chứng minh rằng a_1+a_2+\ldots+a_n\geq n với mọi n\geq 2.

A2. Tìm tất cả các hàm f:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z} sao cho

f(x-f(y))=f(f(x))-f(y)-1\,\,\forall x,y\in\mathbb{Z}.

A3. Cho số nguyên dương n. Tìm giá trị lớn nhất của

\displaystyle\sum_{1 \le r < s \le 2n} (s-r-n)x_rx_s, ở đây -1 \le x_i \le 1 với mỗi i = 1, \cdots 2n.

A4. Tìm tất cả các hàm f:\mathbb R\to\mathbb R sao cho

f(x+f(x+y))+f(xy)=x+f(x+y)+yf(x)\,\,\forall x,y\in\mathbb{R}.

A5. Kí hiệu 2\mathbb{Z} + 1 là tập các số nguyên lẻ. Tìm tất cả các hàm f:\mathbb{Z} \to 2\mathbb{Z} + 1 sao cho

f(x + f(x) + y) + f(x - f(x) - y) = f(x+y) + f(x-y)\,\,\forall x, y \in \mathbb{Z}. Continue reading “IMO Shortlist 2015 – Algebra”

Olympic sinh viên và học sinh 2016-Đề thi dành cho sinh viên


Đề hay hơn hồi mình thi nhiều quá. Continue reading “Olympic sinh viên và học sinh 2016-Đề thi dành cho sinh viên”