Đa thức – Định nghĩa và các phép toán


Định nghĩa
Trong mục này \mathbb{K} sẽ được hiểu là \mathbb{C},\mathbb{R},\mathbb{Q} hay \mathbb{Z}.

Gọi D là một tập con của \mathbb{K}. Một hàm f:D\to\mathbb{C} được gọi là một đa thức trên D nếu có số tự nhiên n và các hằng số a_n,a_{n-1},\cdots,a_0 sao cho
f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0\,\,\forall x\in D.
Sau đây nếu không nói cụ thể ta sẽ luôn hiểu là D=\mathbb{K}.
Với đa thức f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0\,\,(a_n\not =0), ta sẽ gọi các a_i là các hệ số của f, a_n là hệ số cao nhất, a_0 là hệ số tự do. f được gọi là monic nếu a_n=1. Số n được gọi là bậc của f, ta viết \deg f=n và quy ước bậc của đa thức 0 (là đa thức mà f(x)=0\,\,\forall x\in\mathbb{K}) bằng -\infty.
Đa thức f được gọi là đa thức hằng nếu có hằng số C\in\mathbb{K} thỏa mãn f(x)=C\,\,\forall x\in\mathbb{K}, theo trên ta có nếu C là một hằng số khác 0 thì \deg C=0.
Tập các đa thức với hệ số thuộc \mathbb{K} cùng với đa thức 0 sẽ được ký hiệu là \mathbb{K}[x].
Hai đa thức f,g\in\mathbb{K}[x] được gọi là bằng nhau, và viết f=g, nếu chúng cùng là đa thức 0 hoặc cả hai khác 0 đồng thời \deg f=\deg g và các hệ số tương ứng bằng nhau.
Cho r\in\mathbb{C}f(x)=\sum a_ix^i\in\mathbb{K}[x]. Giá trị của f tại r là một số phức, kí hiệu bởi f(r), và được cho bởi f(r)=\sum a_ir^i, r được gọi là nghiệm của f nếu f(r)=0. Số r được gọi là nghiệm bội k\,\,(k\in\mathbb{N}^*) của f nếu f(x)=(x-r)^kg(x), ở đây g là một đa thức không nhận r làm nghiệm. Nếu f là một đa thức có bậc dương thì số nghiệm của f nhiều nhất bằng \deg f tính cả bội (nếu tính nghiệm phức thì có đủ \deg f nghiệm), chỉ có đa thức 0 là đa thức có vô số nghiệm.
Ví dụ 1. Tìm bậc, hệ số hằng và hệ số cao nhất của các đa thức sau
1/. 3x^4-3x^2+1
2/. 6x^2
3/. (2x^3-1)(x+2).
Ví dụ 2. Tìm
1/. Một đa thức monic có bậc 12.
2/. Một đa thức có bậc 5 nhưng không phải là monic.
3/. Một đa thức có bậc 0.
Ví dụ 3. Tìm tất cả các đa thức P(x) với hệ số thực sao cho
P(x)=P(-x)\,\,\forall x\in\mathbb{R}.
Ví dụ 4. Tìm tất cả các đa thức P(x) với hệ số thực sao cho
P(x)=-P(-x)\,\,\forall x\in\mathbb{R}.
Ví dụ 5. Chứng minh rằng \sin x không phải là một đa thức với hệ số thực trên \mathbb{R}.

Continue reading “Đa thức – Định nghĩa và các phép toán”

Gauss’s lemma (polynomial)


Đây là một số link liên quan đến bổ đề Gauss với đa thức.

  1. Wiki: https://en.wikipedia.org/wiki/Gauss’s_lemma_(polynomial)
  2. AoPS: http://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/Gauss%27s_Lemma_(polynomial)
  3. ProofWiki: https://proofwiki.org/wiki/Gauss’s_Lemma_(Polynomial_Theory)

Mở đầu về đa thức Chebyshev


Một số bài toán tìm kiếm của Giải tích không thể giải được theo nghĩa tìm ra nghiệm chính xác. Chẳng hạn như bài toán tìm nghiệm thực của một đa thức bậc cao, giải các phương trình vi phân, …Với những bài toán kiểu này người ta tìm ra các thuật toán để tính gần đúng nghiệm, và như vậy cũng là đủ cho các ứng dụng thực tế. Ngành học nghiên cứu các thuật toán nói trên gọi là Giải tích số, các đa thức Chebyshev xuất hiện khắp nơi trong lĩnh vực này.

Trong phần đầu của bài viết tôi sẽ trình bày các tính chất sơ cấp nhất của các đa thức Chebyshev, bạn nào muốn tìm hiểu sâu thêm có thể tìm đọc sách của J.C. Mason và D.C. Handscomb. Ở phần thứ hai tôi sẽ giới thiệu một số bài toán đa thức trong các kỳ thi Olympic liên quan đến các kiến thức đã trình bày ở phần đầu.

Continue reading “Mở đầu về đa thức Chebyshev”

Bài số 5 trong CMO 2010


Năm nay Canada đã tổ chức kì thi Toán Quốc gia của họ rồi, đề thi các bạn có thể xem ở đây. Trong này có bài đa thức khá hay, vừa cần chút kiến thức về Số học vừa cần tý Đại số và Giải tích. Đề bài như sau

Bài toán. Cho P,Q là các đa thức với hệ số nguyên và (a_n) là dãy xác định bởi a_n=n!+n\forall n\geq 1. Chứng minh rằng nếu P(a_n)/Q(a_n)\in\mathbb{Z}\forall n\geq 1 thì P(n)/Q(n)\in\mathbb{Z} với mỗi số nguyên n không là nghiệm của Q.

Các bạn cùng làm xem. Bây giờ lời giải chưa có ở đâu cả.

Một tiêu chuẩn bất khả quy của đa thức


Các bạn học sinh phổ thông chắc đã biết tiêu chuẩn Eisenstein:

Gỉa sử ta có một đa thức với hệ số nguyên f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0.  Nếu có một số nguyên tố p sao cho tất cả các hệ số của nó trừ a_n chia hết cho p nhưng a_0 không chia hết cho p^2 thì f(x) bất khả quy trên \mathbb{Q}.

Dưới đây là một tiêu chuẩn khác và các ví dụ áp dụng:

Cho p là một số nguyên tố. Nếu một đa thức A(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0 với các hệ số nguyên là phân tích được trong \mathbb{Z}[x]p chia hết các hệ số a_0,\cdots,a_{n-2} nhưng không chia hết a_np^2 không chia hết a_0 khi đó p không chia hết a_{n-1}A(x) phải có nghiệm hữu tỷ.
1. Cho các số nguyên tố khác nhau pq và số tự nhiên n>2. Tìm tất cả các số nguyên a sao cho f(x)=x^n+ax^{n-1}+pq có thể viết được thành tích của hai đa thức với hệ số nguyên có bậc ít nhất 1.
2. Cho n>1 là một số nguyên và cho f(x)=x^n+5x^{n-1}+3. Chứng minh rằng f không thể viết dưới dạng tích của hai đa thức với hệ số nguyên có bậc ít nhất 1.
3. Tìm tất cả các số nguyên k để có vô hạn giá trị nguyên n>2 thoả mãn đa thức P_n(x)=x^{n+1}+kx^n-870x^2+1945x+1995 có thể phân tích được thành tích của hai đa thức có hệ số nguyên với bậc ít nhất 1.

Polynomials by Victor V. Prasolov


Download all following 5 files

http://uploadwordpress.googlepages.com/1-PrasolovPolynomials.part1.rar

http://uploadwordpress.googlepages.com/2-PrasolovPolynomials.part2.rar

http://uploadwordpress.googlepages.com/3-PrasolovPolynomials.part3.rar

http://uploadwordpress.googlepages.com/4-PrasolovPolynomials.part4.rar

http://uploadwordpress.googlepages.com/5-PrasolovPolynomials.part5.rar

Note: Use winrar.