## Lagrange’s interpolation polynomial (4)

Problem 17. Prove that, for infinitely many positive integers $n$, there exists a polynomial $P$ of degree $n$ with real coefficients such that $P(1),P(2),\cdots, P(n+2)$ are different whole powers of $2$.

Problem 18. Suppose $q_{0}, \, q_{1}, \, q_{2}, \ldots \; \,$ is an infinite sequence of integers satisfying the following two conditions:

(i)  $m-n \,$ divides $q_{m}-q_{n}$ for $m > n \geq 0,$

(ii) there is a polynomial $P$ such that $|q_{n}| < P(n) \,$ for all $n$

Prove that there is a polynomial $Q$ such that $q_{n}= Q(n)$ for all $n$.

Problem 19. Let $P\in\mathbb{R}[x]$ such that for infty of integer number $c$ : Equation $P(x)=c$ has more than one integer root. Prove that $P(x)=Q((x-a)^{2})$, where $a\in\mathbb R$ and $Q$ is a polynomial.

Problem 20. Find all the polynomials $P(x)$ with odd degree such that

$P(x^{2}-2)=P^{2}(x)-2.$

Problem 21. Suppose $p(x)$ is a polynomial  with integer coefficients assumes at $n$ distinct integral values of $x$ that are different form $0$ and in absolute value less than  $\dfrac{(n-[\frac n2])!}{2^{n-[\frac n2]}} .$ Prove that $p(x)$ is irreducible.

Prove that the bound may be replaced by $(\dfrac d2)^{n-[\frac n2]}(n-[\frac n2])!$ where $d$ is minimum distance between any two of the $n$ integral values of $x$ where $p(x)$ assumes the integral values considered.

## Lagrange’s interpolation polynomial (3)

Problem 9. Let $t$ and $n$ be fixed integers each at least $2$. Find the largest positive integer $m$ for which there exists a polynomial $P$, of degree $n$ and with rational coefficients, such that the following property holds: exactly one of  $\displaystyle\frac{P(k)}{t^k} \text{ and } \frac{P(k)}{t^{k+1}}$  is an integer for each $k = 0,1, ..., m$.

Problem 10. Let $f\left ( x \right )=x^{n}+a_{n-2}x^{n-2}+a_{n-3}x^{n-3}+...+a_{1}x+a_{0}$ be a polynomial. Prove that we have an $\displaystyle i\in \left \{ 1,2,...,n \right \}\mid \left | f\left ( i \right ) \right |\geq \frac{n!}{\binom{n}{i}}$.

Problem 11.  Let $(F_n)_{n\geq 1}$ be the Fibonacci sequence $F_1 = F_2 = 1, F_{n+2} = F_{n+1} + F_n (n \geq 1),$ and $P(x)$ the polynomial of degree $990$ satisfying

$P(k) = F_k, \qquad \text{ for } k = 992, . . . , 1982.$ Prove that $P(1983) = F_{1983} - 1.$

## Lagrange’s interpolation polynomial (2)

Problem 1. Let $P$ be a polynomial of degree at most $n$ satisfying $\displaystyle P(k)=\frac{1}{C^k_{n+1}}\,\,\forall k=\overline{0,n}.$ Determine $P(n+1)$.

Problem 2. A polynomial $P(x)$ has degree at most $2k$, where $k = 0, 1,2,\cdots$. Given that for an integer $i$, the inequality $-k \le i \le k$ implies $|P(i)| \le 1$, prove that for all real numbers $x$, with $-k \le x \le k$, the following inequality holds $|P(x)| \leq 2^{2k}.$

Problems 3. Prove that at least one of the numbers $|f(1)|,|f(2)|,\cdots,$ $|f(n+1)|$ is greater than or equal to $\dfrac{n!}{2n}.$ Where

$f(x) = x^n + a_1x^{n-1} + \cdots+ a_n\,\, (\quad a_i \in \mathbb R, \quad i = 1, \ldots , n,n\in\mathbb{N}.)$

Problem 4. Prove that any monic polynomial (a polynomial with leading coefficient $1$) of degree $n$ with real coefficients is the average of two monic polynomials of degree $n$ with $n$ real roots.

Problem 5. Let $p$ be a prime number and $f$ an integer polynomial of degree $d$ such that $f(0) = 0,f(1) = 1$ and $f(n)$ is congruent to $0$ or $1$ modulo $p$ for every integer $n$. Prove that $d\geq p - 1$.

Problem 6. Let $P$ be a polynomial of degree $n\in\mathbb{N}$ satisfying $P(k)=2^k\,\,\forall k=\overline{0,n}.$ Prove that $P(n+1)=2^{n+1}-1$.

Problem 7.  $P(x)$ is a polynomial of degree $3n\,\, (n\in\mathbb{N})$ such that

$P(0) = P(3) = \cdots = P(3n) = 2,\,\,\, P(1) = P(4) = \cdots = P(3n-2) = 1,$

$P(2) = P(5) = \cdots = P(3n-1) = 0, \quad\text{and}\quad P(3n+1) = 730.$

Determine $n$.

## IMO Shortlist 2015 – Algebra

Trong topic này và 3 topic sau tôi sẽ dịch các bài toán từ IMO Shortlist 2015.

A1. Dãy $a_1,a_2,\ldots$ các số thực dương thỏa mãn

$a_{k+1}\geq\dfrac{ka_k}{a_k^2+(k-1)}$ với mọi số nguyên dương $k$. Chứng minh rằng $a_1+a_2+\ldots+a_n\geq n$ với mọi $n\geq 2$.

A2. Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}$ sao cho

$f(x-f(y))=f(f(x))-f(y)-1\,\,\forall x,y\in\mathbb{Z}.$

A3. Cho số nguyên dương $n$. Tìm giá trị lớn nhất của

$\displaystyle\sum_{1 \le r < s \le 2n} (s-r-n)x_rx_s,$ ở đây $-1 \le x_i \le 1$ với mỗi $i = 1, \cdots 2n$.

A4. Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb R\to\mathbb R$ sao cho

$f(x+f(x+y))+f(xy)=x+f(x+y)+yf(x)\,\,\forall x,y\in\mathbb{R}.$

A5. Kí hiệu $2\mathbb{Z} + 1$ là tập các số nguyên lẻ. Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{Z} \to 2\mathbb{Z} + 1$ sao cho

$f(x + f(x) + y) + f(x - f(x) - y) = f(x+y) + f(x-y)\,\,\forall x, y \in \mathbb{Z}.$ Continue reading “IMO Shortlist 2015 – Algebra”

## Các trường hợp đặc biệt của định lý Dirichlet về cấp số cộng

Ta biết là có định lý sau đây

Định lý Dirichlet. Cho hai số nguyên dương nguyên tố cùng nhau $a$$d$. Khi đó có vô hạn các số nguyên tố có dạng $a+dk$ ($k$ là số tự nhiên.)

Trong topic này tôi giới thiệu một bài viết có chứng minh của các trường hợp đặc biệt của định lý trên:

$a=1,d=4;a=1,d=6;a=1,d=8$$a=1, d$ bất kỳ. Continue reading “Các trường hợp đặc biệt của định lý Dirichlet về cấp số cộng”

## Bài tập về nghiệm thực của Đa thức

Qua các bài trước tôi đã giới thiệu lý thuyết mở đầu về đa thức và một số kết quả về nghiệm thực của chúng. Trong bài này tôi sẽ post một số bài tập để các bạn học sinh tự luyện. Trước khi đọc bài này các bạn nên xem lại các bài đó. Continue reading “Bài tập về nghiệm thực của Đa thức”

## Một số ví dụ về nghiệm thực của Đa thức

Chiều nay tôi đã ghi một số kết quả về nghiệm thực của đa thức ở https://nttuan.org/2015/08/19/topic-662/, như đã hứa, bây giờ tôi sẽ đăng một số ví dụ về nghiệm thực của đa thức. Các ví dụ đầu tiên là các áp dụng của những kết quả trên, phần cuối của bài là vài ví dụ về biên của nghiệm.

## Một số kết quả về nghiệm thực của Đa thức

Trong bài này tôi sẽ giới thiệu một số kết quả về nghiệm thực của đa thức. Các kết quả dưới đây cũng đúng với nghiệm phức, phải giới hạn như thế bởi vì tôi đang quan tâm đến bất đẳng thức và các phương pháp Giải tích.