## Đại số

Bài 1. Cho dãy số thực $(a_n)$ thỏa mãn $a_1=1007$$a_{i+1}\geq a_i+1\,\,\forall i\in\mathbb{N}^*.$ Chứng minh rằng

$\displaystyle \frac{1}{2016}>\sum_{i=1}^{2016}\frac{1}{a_{i+1}^{2}+a_{i+2}^2}.$

Bài 2. Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{N}^*\rightarrow\mathbb{N}^*$ sao cho

$\forall a,b\in\mathbb{N}^*,\quad (f(a)+b) f(a+f(b))=(a+f(b))^2.$

Bài 3. Tồn tại hay không dãy vô hạn điểm $(x_1,y_1),(x_2,y_2),...$ sao cho với mọi dãy $b_1,b_2,...$ các số thực, tồn tại $P(x,y)\in \mathbb{R}[x,y]$ thỏa mãn điều kiện $\forall i\in\mathbb{N}^*,\quad P(x_{i},y_{i})=b_{i}.$

## Hình học

Bài 4. Cho tam giác $ABC$, $P$ là giao điểm của đường cao qua $C$ và tiếp tuyến tại $A$ của đường tròn $(ABC)$. Phân giác của góc $A$ cắt $BC$ tại $D$. $PD$ cắt $AB$ tại $K$, nếu $H$ là trực tâm của tam giác, chứng minh $HK\perp AD$.

Bài 5. Cho tam giác $ABC$. Gọi $E,E$ là hai điểm trên $AB,AC$ tương ứng sao cho khoảng cách từ chúng đến trung điểm của $BC$ bằng nhau. Gọi $P$ là giao điểm thứ hai của $(ABC)$$(AEF)$. Các tiếp tuyến tại $E,F$ của $(AEF)$ cắt nhau tại $K$. Chứng minh $\angle KPA = 90^{\circ}.$

Bài 6. Cho tam giác $ABC$ với các đường cao $AD,BE,CF$. Hạ các đoạn vuông góc $FA_{1},DB_{1},EC_{1}$ đến $BC,AC,AB$ tương ứng. Chứng minh tam giác $ABC$ đồng dạng với tam giác $A_{1}B_{1}C_{1}$.

## Số học

Bài 7. Cho $F$ là một tập con của tập các số nguyên dương với ít nhất hai phần tử và $P(x) \in \mathbb Z[X]$ thỏa mãn: Với mọi $a,b\in F$, ta có $a+b \in F$$\gcd(P(a),P(b))=1$. Chứng minh $P(x)$ là đa thức hằng.

Bài 8. Ta nói $P(x)\in Z[x]$tốt nếu có vô hạn số nguyên tố $q$ sao cho tập $\{P(n) \pmod{q} | n\in \mathbb{N}^*\}$ có ít nhất $\dfrac{q+1}{2}$ phần tử. Chứng minh $x^3+x$ là tốt.

Bài 9. Ta nói số nguyên dương $a$đẹp theo modulo $m$ nếu $\gcd (a,m)=1$ và tồn tại số nguyên dương $x$ sao cho $x^x \equiv a \pmod m$. Cho $a$ là đẹp theo modulo $n^n$. Chứng minh $a$ cũng là đẹp theo modulo $n^{n^n}.$

## Tổ hợp

Bài 10. Tìm số các hoán vị $p$ của $\left \{ 1,2,\cdots ,n \right \}$ sao cho tồn tại duy nhất $i \in \left \{ 1,2,\cdots ,n \right \}$ thỏa mãn $p(p(i)) \geq i.$

Bài 11. Liệu có thể chia bảng vuông cỡ $7\times 7$ thành một vài phần liên thông có cùng chu vi? (Một nhóm các ô vuông con được gọi là liên thông nếu từ mỗi ô trong nhóm có thể đến các ô khác bằng cách đi qua các cạnh của các ô vuông con).

Bài 12.$24$ robot trên mặt phẳng, mỗi robot có góc nhìn $70^{\circ}$. Có nhiều nhất bao nhiêu quan hệ quan sát? (Quan sát là quan hệ một chiều).

## Problems From the Book

Tôi giới thiệu với các bạn chuẩn bị tham dự kì thi chọn đội tuyển Toán Việt Nam tham dự IMO (Vietnam TST) hai cuốn sách sau đây:

1) “Problems From the Book” của Titu Andreescu và Gabriel Dospinescu.

Đây là đoạn mô tả trên trang của nhà xuất bản XYZ: “The authors provide a combination of enthusiasm and experience which will delight any reader. In this volume they present innumerable beautiful results, intriguing problems, and ingenious solutions. The problems range from elementary gems to deep truths. A trully delightful and highly instructive book, this will prepare the engaged reader not only for any mathematics competition they may enter but also for a life time of mathematical enjoyment. A must for the bookshelves of both aspiring and seasoned mathematicians.”

Bạn mua từ nhà xuất bản hoặc tìm E-book.

2) “Straight from the Book” của Titu Andreescu và Gabriel Dospinescu.

Cuốn 1) có rất nhiều bài tập về nhà, và nhiều bài rất khó. Cuốn 2) sẽ có lời giải của hầu hết các bài tập về nhà trong 1). Đây là đoạn mô tả trên trang của nhà xuất bản XYZ: “This book is a compilation of many suggestions, much advice, and even more hard work. Its main objective is to provide solutions to the problems which were originally proposed in the first 12 chapters of “Problems from the Book”. The volume is far more than a collection of solutions. The solutions are used as motivation for the introduction of some very clear expositions of mathematics. And this is modern, current, up-to-the-minute mathematics. This is absolutely state-of-the-art material. Everyone who loves mathematics and mathematical thinking should acquire this book.”

Editorial Reviews

(Đoạn này được lấy từ amazon. )

This is an exceptionally well-written book. The material is arranged in small chapters, with brief theory in the beginning of each chapter followed by a set of exceptionally difficult problems with solutions. These solutions are elegant, innovative and beautiful. You learn a lot from the solutions. In every page, you will discover one or more clever steps/tricks that will make you wonder “How come I could not think of that?”. If you are preparing for Mathematics Olympiads, working through this book will boost your confidence 100 fold. If you are a math enthusiast, you will enjoy the material – most of it is “Mathematical poetry”. Grab it before it gets sold out! –Dr S Muralidharan

Problems from the Book is rife with elegant mathematical pursuits that are well worth the effort of exploring and solving. For high schoolers up through University students, the book’s problems will illustrate important concepts and provide hours of fun at every sitting. –David Cordeiro

This book is a treasure of the mathematical gems: many many very nice problems and results, historic notes and useful comments. Readers will also find many very interesting original problems from the authors of the book and from others. If you want to develop your mathematical skills in problem solving and your knowledge in diverse mathematical branches, you will definitely find many instructive topics throughout this book. Many thanks to Prof. Andreescu and his colleagues for their invaluable books and problems. I do highly recommend this book and all other books by Prof. Andreescu to all mathematics lovers: from the pupils preparing to participate in mathematical contests to people searching excitement in mathematics. The book contains the following 23 chapters, in addition to preface, bibliography and index: 1. Some Useful Substitutions 2. Always Cauchy-Schwarz … 3. Look at the Exponent 4. Primes and Squares 5. T2’s Lemma 6. Some Classical Problems in Extremal Graph theory 7. Complex Combinatorics 8. Formal Series Revisited 9. A Brief Introduction to Algebraic Number Theory 10. Arithmetic Properties of Polynomials 11. Lagrange Interpolation Formula 12. Higher Algebra in Combinatorics 13. Geometry and Numbers 14. The Smaller, The Better 15. Density and Regular Distribution 16. The Digit Sum of Positive Integer 17. At the Border of Analysis and Number Theory 18. Quadratic Reciprocity 19. Solving Elementary Inequalities Using Integrals 20. Pigeonhole Principle Revisited 21. Some Useful Irreducibility Criteria 22. Cycles, Paths and Other Ways 23. Some Special Applications of Polynomials –H. A. Shah Ali.

Bạn mua từ nhà xuất bản hoặc tìm E-book. Continue reading “Problems From the Book”

## VMO training 2017 – Part 2

#### Test 2, Day 1

Bài 1. Cho dãy số $(u_n)_{n\geq 1}$ xác định bởi $u_1=2$

$u_{n+1}=u_n+\sqrt{1+\dfrac{u_n}{2}},\,\,\forall n\geq 1.$ Tìm tất cả các số thực $\alpha$ sao cho dãy số $\left(\dfrac{u_n^{\alpha}}{n}\right)_{n\geq 1}$ có giới hạn hữu hạn và giới hạn của nó khác $0$.

Bài 2. Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ và có $AC > BC.$ Giả sử $H$ là trực tâm tam giác $ABC,$ đường tròn ngoại tiếp tam giác $BHC$ cắt $AB$ tại điểm thứ hai $E.$ Gọi $D$ là hình chiếu vuông góc của $C$ trên $AB.$ Đường thẳng đi qua $D$ và vuông góc với $DO$ cắt $BC$ tại $F$. Chứng minh rằng $H, E$$F$ thẳng hàng.  Continue reading “VMO training 2017 – Part 2”

## Xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai

Bài 1. Tìm giá trị của $m$ để phương trình sau có nghiệm cùng dấu. Khi đó hai nghiệm mang dấu gì?

a) $x^2-2mx+5m-4=0$;

b) $mx^2+mx+3=0$.

Bài 2. Tìm $m$ để phương trình $(m+1)x^2+2(m+4)x+m+1=0$

a) Một nghiệm;

b) Hai nghiệm cùng dấu phân biệt;

c) Hai nghiệm âm phân biệt.

Bài 3. Tìm $m$ để phương trình $(m-4)x^2-2(m-2)x+m-1=0$

a) Hai nghiệm cùng dấu;

b) Hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn;

c) Đúng một nghiệm dương.

## Real roots of a polynomial

Cách đây vài tháng tôi có đưa lên blog này một số bài toán về nghiệm thực của đa thức, cụ thể ở các link sau:

Dưới đây là file pdf tổng hợp các bài trên sau khi nhận được sự góp ý từ các bạn đồng nghiệp và các em học sinh.

## Lagrange’s interpolation polynomial (4)

Problem 17. Prove that, for infinitely many positive integers $n$, there exists a polynomial $P$ of degree $n$ with real coefficients such that $P(1),P(2),\cdots, P(n+2)$ are different whole powers of $2$.

Problem 18. Suppose $q_{0}, \, q_{1}, \, q_{2}, \ldots \; \,$ is an infinite sequence of integers satisfying the following two conditions:

(i)  $m-n \,$ divides $q_{m}-q_{n}$ for $m > n \geq 0,$

(ii) there is a polynomial $P$ such that $|q_{n}| < P(n) \,$ for all $n$

Prove that there is a polynomial $Q$ such that $q_{n}= Q(n)$ for all $n$.

Problem 19. Let $P\in\mathbb{R}[x]$ such that for infty of integer number $c$ : Equation $P(x)=c$ has more than one integer root. Prove that $P(x)=Q((x-a)^{2})$, where $a\in\mathbb R$ and $Q$ is a polynomial.

Problem 20. Find all the polynomials $P(x)$ with odd degree such that

$P(x^{2}-2)=P^{2}(x)-2.$

Problem 21. Suppose $p(x)$ is a polynomial  with integer coefficients assumes at $n$ distinct integral values of $x$ that are different form $0$ and in absolute value less than  $\dfrac{(n-[\frac n2])!}{2^{n-[\frac n2]}} .$ Prove that $p(x)$ is irreducible.

Prove that the bound may be replaced by $(\dfrac d2)^{n-[\frac n2]}(n-[\frac n2])!$ where $d$ is minimum distance between any two of the $n$ integral values of $x$ where $p(x)$ assumes the integral values considered.

## Lagrange’s interpolation polynomial (3)

Problem 9. Let $t$ and $n$ be fixed integers each at least $2$. Find the largest positive integer $m$ for which there exists a polynomial $P$, of degree $n$ and with rational coefficients, such that the following property holds: exactly one of  $\displaystyle\frac{P(k)}{t^k} \text{ and } \frac{P(k)}{t^{k+1}}$  is an integer for each $k = 0,1, ..., m$.
Problem 10. Let $f\left ( x \right )=x^{n}+a_{n-2}x^{n-2}+a_{n-3}x^{n-3}+...+a_{1}x+a_{0}$ be a polynomial. Prove that we have an $\displaystyle i\in \left \{ 1,2,...,n \right \}\mid \left | f\left ( i \right ) \right |\geq \frac{n!}{\binom{n}{i}}$.
Problem 11.  Let $(F_n)_{n\geq 1}$ be the Fibonacci sequence $F_1 = F_2 = 1, F_{n+2} = F_{n+1} + F_n (n \geq 1),$ and $P(x)$ the polynomial of degree $990$ satisfying
$P(k) = F_k, \qquad \text{ for } k = 992, . . . , 1982.$ Prove that $P(1983) = F_{1983} - 1.$