Các bạn có thể xem phần 4 tại https://nttuan.org/2018/03/07/chinatst2017-test4/
—
Ngày thứ nhất
Bài 1. Cho số nguyên . Xét dãy
, nếu
thỏa mãn
và
ta nói nó là tốt. Nếu một dãy chứa ít nhất một bộ ba tốt thì nó chứa ít nhất bao nhiêu bộ ba tốt?
Bài 2. Tìm số nguyên dương nhỏ nhất có tính chất: với mỗi đa thức
với hệ số thực, tồn tại đa thức
với hệ số thực có bậc không lớn hơn $m$ sao cho tồn tại
số khác nhau
thỏa mãn
với mọi
. Ở đây chỉ số lấy theo modulo
Bài 3. Với một điểm hữu tỷ , nếu
là số nguyên chia hết cho
nhưng không chia hết cho
ta tô nó màu đỏ, nếu
là số nguyên chia hết cho
nhưng không chia hết cho
ta tô nó màu xanh. Tồn tại hay không một đoạn thẳng chứa đúng
điểm xanh và đúng
điểm đỏ? Continue reading “Đề thi chọn đội tuyển Trung Quốc tham dự IMO 2017 (China TST 2017) – Phần 5”
Category: Polynomial
Đề thi chọn đội tuyển Trung Quốc tham dự IMO 2017 (China TST 2017) – Phần 4
Các bạn có thể xem phần 3 tại https://nttuan.org/2017/04/14/topic-880/
—
Ngày thứ nhất
Bài 1. Chứng minh rằng
Bài 2. Cho tam giác , đường tròn bàng tiếp góc
tiếp xúc với cạnh
, đường thẳng
và
lần lượt tại
.
là đường kính của đường tròn.
và
thuộc
sao cho
,
. Đường thẳng
cắt
tại
tương ứng.
cắt
tại
,
vuông góc với
tại
. Chứng minh rằng nếu
là trực tâm của tam giác
thì
cùng nằm trên một đường tròn.
Bài 3. Tìm số các bộ thỏa mãn đồng thời ba điều kiện
i) ;
ii) ;
iii) . Continue reading “Đề thi chọn đội tuyển Trung Quốc tham dự IMO 2017 (China TST 2017) – Phần 4”
Đề chọn đội VMO 2018
Giống như topic năm 2016 https://nttuan.org/2016/09/18/topic-817/ , trong topic này tôi sẽ tổng hợp tất cả các đề chọn đội VMO 2018 của các tỉnh thành *.pdf. Mọi người có thể hỗ trợ tôi theo các cách:
1) Chỉ ra lỗi trong file;
2) Gửi đề của tỉnh mình qua email cho tôi (có file text càng tốt).
Cảm ơn các bạn rất nhiều. Continue reading “Đề chọn đội VMO 2018”
IMO 2016 Shortlist (*.pdf, full)
Tôi gửi tặng mọi người 2 file pdf: Một file là bản tiếng Việt ISL 2016 do tôi dịch, file còn lại là bản tiếng Anh chính thức.
Nếu có chỗ nào sai, hãy báo cho tôi.
IMO 2016 Shortlist – Algebra
A1. Cho là các số thực dương thỏa mãn
Chứng minh rằng
A2. Tìm hằng số thực nhỏ nhất sao cho: Với mỗi
số thực dương (không cần phân biệt)
,
,
,
và
, tồn tại các chỉ số
,
,
và
đôi một khác nhau để
A3. Tìm tất cả các số nguyên có tính chất: với mỗi
số thực
,
,
;
thỏa mãn
, tồn tại
số
sao cho
A4. Tìm tất cả các hàm số sao cho
A5.
(a) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương , tồn tại phân số
thỏa mãn
và
(b) Chứng minh rằng có vô hạn số nguyên dương sao cho không tồn tại phân số
thỏa mãn
và
Continue reading “IMO 2016 Shortlist – Algebra”
Mở đầu về đa thức
Trong bài này sẽ được hiểu là
hay
.
1. Hệ số và bậc
Định nghĩa 1. Một tổng hình thức , ở đây
được gọi là một đa thức với hệ số trong
.
Như vậy mỗi phần tử của là một đa thức với hệ số trong
, chúng được gọi là các đa thức hằng. Số
ứng với đa thức không và cũng được ký hiệu bởi
.
Tập các đa thức với hệ số trong được ký hiệu là
Định nghĩa 2. Với đa thức , ta sẽ gọi các
là các hệ số của
,
là hệ số cao nhất,
là hệ số tự do.
được gọi là monic nếu
. Số
được gọi là bậc của
, ký hiệu
.
Quy ước. Bậc của đa thức bằng
Định nghĩa 3. Hai đa thức được gọi là bằng nhau, ký hiệu
hay
, nếu chúng cùng là đa thức
hoặc cả hai khác
đồng thời
và các hệ số tương ứng bằng nhau.
Ví dụ 1. Tìm bậc, hệ số hằng và hệ số cao nhất của các đa thức sau
a) ;
b) .
Ví dụ 2. Tìm
a) Một đa thức monic có bậc ;
b) Một đa thức có bậc nhưng không phải là monic;
c) Một đa thức có bậc .
2. Các phép toán
Định nghĩa 4. Xét hai đa thức và
, ở đây
là các phần tử của
và
không cần phải khác
(sau này nếu không quan tâm đến bậc của đa thức thì ta cũng dùng biểu diễn này cho tiện).
Tổng của hai đa thức trên, ký hiệu , là đa thức xác định bởi
Tích của và
, ký hiệu
, là đa thức xác định bởi
Ta dễ dàng chứng minh được các kết quả sau:
Định lí 1.
1)
2)
3)
4) Với mỗi có duy nhất
thỏa mãn
Đa thức sẽ được kí hiệu bởi
và được gọi là đa thức đối của đa thức
. Từ đây với mỗi
ta có thể định nghĩa hiệu của
và
, kí hiệu
, bởi
.
Định lí 2.
1)
Với đa thức và số nguyên dương
, đa thức
(
chữ
) sẽ được ký hiệu bởi
hoặc
.
2)
3)
4)
Xét hai đa thức và
với
, khi đó đa thức
sẽ được ký hiệu bởi
.
Ví dụ 3. Cho hai đa thức và
. Tìm các đa thức
và
.
Định lí 3. Cho là các đa thức khác hằng. Khi đó
1) .
2) .
3) .
3. Bài tập
Bài 1. Tìm tất cả các số thực sao cho đa thức
là bình phương của một đa thức với hệ số thực.
Bài 2. Cho là một đa thức với hệ số thực thỏa mãn
là đa thức của
. Chứng minh rằng
hoặc
cũng là đa thức của
.
Bài 3. Cho số nguyên dương và đa thức
có bậc
. Lập đa thức
với
là số thực nào đấy. Chứng minh rằng
, ở đây
và
.
Bài 4. Cho và
là các đa thức monic với hệ số thực thỏa mãn
. Chứng minh rằng
.
Luyện tập về phương trình bậc hai (2)
Các bạn có thể xem phần trước ở https://nttuan.org/2017/03/07/topic-868/
—
Bài 16. Cho phương trình .
a/. Giải phương trình với ;
b/. Tìm để phương trình có hai nghiệm phân biệt
;
c/. Với điều kiện của hãy tìm
để
đạt giá trị bé nhất;
d/. Với điều kiện của hãy tìm
để
.
Bài 17. Cho phương trình .
a/. Chứng minh rằng với mỗi , phương trình có hai nghiệm phân biệt;
b/. Tìm để hai nghiệm
của phương trình thỏa mãn
.
Bài 18. Cho phương trình .
a/. Giải phương trình khi ;
b/. Chứng minh rằng với mỗi , phương trình có hai nghiệm phân biệt;
c/. Tìm để phương trình có nghiệm dương. Continue reading “Luyện tập về phương trình bậc hai (2)”
Tính bất khả quy của các đa thức chia đường tròn
Các đa thức chia đường tròn là bất khả quy trên . Bài viết sau của Steven H. Weintraub giới thiệu một số chứng minh cổ điển của kết quả này.
Các kết quả khác về các đa thức này có ở link https://nttuan.org/2017/02/09/topic-861/
Continue reading “Tính bất khả quy của các đa thức chia đường tròn”
Đa thức chia đường tròn và dạng yếu của định lí Dirichlet
Trong bài này, qua các bài toán tôi sẽ giới thiệu các tính chất của các đa thức chia đường tròn, từ các tính chất đó tôi giới thiệu dạng yếu của định lí Dirichlet. Phần cuối của bài viết là một số bài toán thi chọn học sinh giỏi liên quan. Bạn đọc có thể xem thêm về định lí Dirichlet tại https://nttuan.org/2016/02/11/topic-746/.
—
Định nghĩa. Cho số nguyên dương . Đa thức chia đường tròn thứ
, ký hiệu
, là đa thức monic có các nghiệm là các căn nguyên thủy bậc
của đơn vị, nghĩa là
ở đây
là tập tất cả các căn nguyên thủy bậc
của đơn vị.
Vì nên
.
Ví dụ. đa thức chia đường tròn đầu tiên là
Bài 1. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương ta có
Từ đó suy ra
Bài 2. Chứng minh
Bài 3. Chứng minh rằng nếu và
là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau thì
Bài 4. Cho số nguyên dương và số nguyên tố
. Chứng minh rằng
Bài 5. Cho số nguyên dương ,
là một ước dương của
, và
là một số nguyên. Giả sử
là một ước nguyên tố chung của
và
. Chứng minh rằng
.
Bài 6. Cho và
là các số nguyên dương. Giả sử rằng tồn tại số nguyên
sao cho
. Chứng minh rằng
là lũy thừa nguyên của một số nguyên tố.
Bài 7. Cho số nguyên dương và số nguyên
. Chứng minh rằng mỗi ước nguyên tố
của
phải thỏa mãn
hoặc
.
Bài 8. (Dạng yếu của định lý Dirichlet) Cho số nguyên dương . Chứng minh rằng có vô hạn số nguyên tố
thỏa mãn
. Continue reading “Đa thức chia đường tròn và dạng yếu của định lí Dirichlet”