Trung bình cộng – trung bình nhân (1)


Nếu a_1,a_2,\cdots,a_nn số thực không âm thì \dfrac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}\geq\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}.

Bài 1. Cho các số thực dương a,b,c thoả mãn a+b+c=3. Chứng minh rằng \sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\leq 3\sqrt{2}.

Bài 2. Cho các số thực dương a,b,c thay đổi thoả mãn a+b+c=1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}.

Bài 3. Cho các số thực dương a,b,c thoả mãn a+b+c=3. Chứng minh rằng

a)a^2+b^2+c^2\geq 3;

b)a^3+b^3+c^3\geq 3;

c)a^3+b^3+c^3\geq a^2+b^2+c^2

Bài 4. Cho a,b,c là các số thực dương thay đổi và thoả mãn điều kiện a+b+c=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức a^2+b^2+c^2a^3+b^3+c^3.

Bài 5. Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng  (a+b)(b+c)(c+a)\geq 8abc.

Bài 6. Chứng minh rằng

a)(a+b)(1/a+1/b)\geq 4\forall a,b>0;

b)(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)\geq 9\forall a,b,c>0.

Bài 7. Cho x,y,z là các số thực dương thay đổi nhưng luôn thoả mãn \dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{y}+\dfrac{3}{z}=6. Xét biểu thức P=x+y^2+z^3.

a)Chứng minh rằng P\geq x+2y+3z-3;

b)Tìm giá trị nhỏ nhất của P.

Bài 8. Chứng minh rằng a+\dfrac{1}{b(a-b)}\geq 3 với a>b>0.

Bài 9. Cho hai số dương a,b thoả mãn a+b=1. Chứng minh rằng

a)\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{a^2+b^2}\geq 6;

b)\dfrac{2}{ab}+\dfrac{3}{a^2+b^2}\geq 14.

Bài 10. Chứng minh rằng

\dfrac{a+c}{a+b}+\dfrac{b+d}{b+c}+\dfrac{c+a}{c+d}+\dfrac{d+b}{d+a}\geq 4\forall a,b,c,d>0.

Mở đầu về bất đẳng thức



I. Phương pháp biến đổi tương đương

Bài 1. Chứng minh rằng

a, x^4+y^4\geq x^3y+xy^4\forall x,y\in\mathbb{R};

b, a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca\forall a,b,c\in\mathbb{R};

c, a^2+b^2+c^2+d^2+e^2\geq a(b+c+d+e)\forall a,b,c,d,e\in\mathbb{R}.

Bài 2. Cho z\geq y\geq x>0. Chứng minh rằng y\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{z}\right)+\dfrac{1}{y}(x+z)\leq (x+z)\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{z}\right).

II. Đánh giá đại diện

Bài 1. Cho các số thực dương x,y,z thoả mãn xyz=1.

Chứng minh rằng \sum\dfrac{1}{x^3+y^3+1}\leq 1.

Bài 2. Chứng minh rằng với ba số thực dương a,b,c ta có \sum \dfrac{a^3}{a^2+ab+b^2}\geq \dfrac{a+b+c}{3}.

III. Phản chứng

Bài 1. Cho 0<a,b,c<1. Chứng minh rằng có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là sai a(1-b)>\dfrac{1}{4}, b(1-c)>\dfrac{1}{4},c(1-a)>\dfrac{1}{4}.

Bài 2. Cho các số thực a,b,c thoả mãn abc>0,ab+bc+ca>0,a+b+c>0. Chứng minh rằng a>0,b>0,c>0.

IV. Bài tập về nhà

Bài 1. Cho 0<a,b,c<2. Chứng minh rằng có ít nhất một trong ba bất đẳng thức sau là sai a(2-b)>1, b(2-c)>1, c(2-a)>1 .

Bài 2. Cho ab\geq 1. Chứng minh rằng \dfrac{1}{1+a^2}+\dfrac{1}{1+b^2}\geq\dfrac{2}{1+ab}, từ đó suy ra rằng nếu x,y,z\geq 1 thì \dfrac{1}{1+x^3}+\dfrac{1}{1+y^3}+\dfrac{1}{1+z^3}\geq\dfrac{3}{1+xyz}.

Bài 3. Cho hai số thực a,b thoả mãn a+b\geq 0.  Chứng minh rằng \left(\dfrac{a+b}{2}\right)^3\leq\dfrac{a^3+b^3}{2}.

Bài 4. Cho các số thực dương x,y,z. Chứng minh rằng

\sqrt{x^2+xy+y^2}+\sqrt{y^2+yz+z^2}+\sqrt{z^2+zx+x^2}\geq\sqrt{3}(x+y+z).

Bài 5. Cho a,b,c>0 thoả mãn \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{2}{b}. Chứng minh rằng \dfrac{a+b}{2a-b}+\dfrac{c+b}{2c-b}\geq 4.

Bài 6. Cho các số thực dương x,y thoả mãn x^2+y^3\geq x^3+y^4. Chứng minh rằng x^3+y^3\leq x^2+y^2\leq x+y\leq 2.

Bài 7. Cho các số thực a,b,c. Chứng minh rằng ba số này cùng dấu khi và chỉ khi ab+bc+ca>0\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}>0.