Tính rời rạc của tập số nguyên (1)


Bài 1. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình \displaystyle\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1.

Bài 2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình x^3+y^3=(x+y)^2.

Bài 3. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình

x^2+y^2+z^2+2xy+2x(z-1)+2y(z+1)=w^2.

Bài 4. Cho số nguyên dương n và bốn số nguyên dương a,b,c,d thỏa mãn

n^2<a<b<c<d<(n+1)^2. Chứng minh rằng ad\not=bc.

Bài 5. Cho số nguyên dương n. Chứng minh rằng \left|\sqrt2-\dfrac mn\right|>\dfrac{1}{4n^2}\,\,\forall m\in\mathbb{Z}. Continue reading “Tính rời rạc của tập số nguyên (1)”

Một số trang về Olympic Toán


Tôi có post một số trang về Olympic Toán trên facebook  nhưng nó cứ chìm xuống khi đăng một bài khác, vì thế nên tôi lập topic này để lưu các link đó lại.

P. S. Hãy góp link bằng cách comment các bạn nhé! 🙂

Continue reading “Một số trang về Olympic Toán”

IMO 2015 Shortlist (*.pdf, full)


Tôi gửi tặng mọi người 2 file pdf: Một file là bản tiếng Việt ISL 2015 do tôi dịch, file còn lại là bản tiếng Anh chính thức.

Continue reading “IMO 2015 Shortlist (*.pdf, full)”

Sum and product


Bài 1. Tính giới hạn của các dãy (u_n) xác định bởi

a) \displaystyle u_n=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\cdots+\frac{1}{n(n+1}\,\,\forall n\geq 1.

b) \displaystyle u_n=\left(1-\frac{1}{2^2}\right).\left(1-\frac{1}{3^2}\right)\cdots \left(1-\frac{1}{n^2}\right)\,\,\forall n\geq 2.

c) \displaystyle u_n=\frac{2^3-1}{2^3+1}.\frac{3^3-1}{3^3+1}\cdots\frac{n^3-1}{n^3+1}\,\,\forall n\geq 2.

Bài 2. Cho dãy số (x_n) xác định bởi x_1=\dfrac{2}{3},x_{n+1}=\dfrac{x_n}{2(2n+1)x_n+1}\,\,\forall n\geq 1. Tính tổng 2016 số hạng đầu tiên của dãy.

Bài 3. Dãy a_1,a_2,\ldots các số thực dương thỏa mãn a_{k+1}\geq\dfrac{ka_k}{a_k^2+(k-1)} với mọi số nguyên dương k. Chứng minh rằng a_1+a_2+\ldots+a_n\geq n với mọi n\geq 2.

Bài 4. Cho dãy số dương \{a_n\} xác định bởi a_{1}=1,\,\,(n^2+1)a^2_{n-1}=(n-1)^2a^2_{n}\,\,\forall n>1. Chứng minh rằng

\displaystyle\frac{1}{a^2_1}+\frac{1}{a^2_2}+\cdots +\frac{1}{a^2_n}\le 1+\sqrt{1-\frac{1}{a^2_n}}.

Bài 5. Các dãy (x_n),(y_n) xác định bởi x_1=2,y_1=1x_{n+1}=x_n^2+1,y_{n+1}=x_ny_n\,\,\,\,\,\,\,\,\forall n\geq 1. Chứng minh rằng dãy số (x_n/y_n)_{n\geq 1} hội tụ và giới hạn của nó bé hơn \sqrt{7}.

Bài 6. Cho dãy \{x_n\} được xác định bởi \displaystyle x_1=1;x_n=\dfrac{2n}{(n-1)^2} \sum_{i=1}^{n-1} x_i\,\,\forall n>1. Chứng minh rằng dãy (y_n) xác định bởi y_n=x_{n+1}-x_n\,\,\forall n\geq 1 có giới hạn hữu hạn.

Bài 7. Tồn tại hay không dãy \{x_{n}\} các số thực thỏa mãn đồng thời hai điều kiện

i) |x_{n}|\leq 0,666 với mỗi n=1,2,...;

ii) |x_{m}-x_{n}|\geq \dfrac{1}{n(n+1)}+\dfrac{1}{m(m+1)} với mỗi m\not = n? Continue reading “Sum and product”

Analyzing Squares (1)


Problem 1. Let a,b,c be positive real numbers. Prove that

\displaystyle\frac{a^3}{a^2+2b^2}+\frac{b^3}{b^2+2c^2}+\frac{c^3}{c^2+2a^2}\geq \frac{a^3}{2a^2+b^2}+\frac{b^3}{2b^2+c^2}+\frac{c^3}{2c^2+a^2}.

Problem 2. Let a,b,c be positive real numbers such that a^2+b^2+c^2=1. Prove that \displaystyle a+b+c+\frac{1}{abc}\geq 4\sqrt{3}.

Problem 3. Let a,b,c be non-negative real nunbers. Prove that

\displaystyle a^3+b^3+c^3+3abc\geq ab\sqrt{2a^2+2b^2}+bc\sqrt{2b^2+2c^2}+ca\sqrt{2c^2+2a^2}.

Problem 4. Let a,b,c be positive real nunbers such that abc=1. Prove that \displaystyle \frac{1}{(1+a)^3}+\frac{1}{(1+b)^3}+\frac{1}{(1+c)^3}+\frac{5}{(1+a)(1+b)(1+c)}\geq 1.

Problem 5. Let a,b,c be real numbers such that a,b,c\geq 1 and a+b+c=9. Prove that \sqrt{ab+bc+ca}\leq\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}. Continue reading “Analyzing Squares (1)”

IMO Shortlist 2015 – Algebra


Trong topic này và 3 topic sau tôi sẽ dịch các bài toán từ IMO Shortlist 2015.

A1. Dãy a_1,a_2,\ldots các số thực dương thỏa mãn

a_{k+1}\geq\dfrac{ka_k}{a_k^2+(k-1)} với mọi số nguyên dương k. Chứng minh rằng a_1+a_2+\ldots+a_n\geq n với mọi n\geq 2.

A2. Tìm tất cả các hàm f:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z} sao cho

f(x-f(y))=f(f(x))-f(y)-1\,\,\forall x,y\in\mathbb{Z}.

A3. Cho số nguyên dương n. Tìm giá trị lớn nhất của

\displaystyle\sum_{1 \le r < s \le 2n} (s-r-n)x_rx_s, ở đây -1 \le x_i \le 1 với mỗi i = 1, \cdots 2n.

A4. Tìm tất cả các hàm f:\mathbb R\to\mathbb R sao cho

f(x+f(x+y))+f(xy)=x+f(x+y)+yf(x)\,\,\forall x,y\in\mathbb{R}.

A5. Kí hiệu 2\mathbb{Z} + 1 là tập các số nguyên lẻ. Tìm tất cả các hàm f:\mathbb{Z} \to 2\mathbb{Z} + 1 sao cho

f(x + f(x) + y) + f(x - f(x) - y) = f(x+y) + f(x-y)\,\,\forall x, y \in \mathbb{Z}. Continue reading “IMO Shortlist 2015 – Algebra”

Schur’s inequality (2)


Part 1

Bài 1. Cho các số thực dương a,bc thỏa mãn abc=1. Chứng minh rằng

2(a^2+b^2+c^2)+12\geq 3(a+b+c)+3(ab+bc+ca).

Bài 2. Chứng minh rằng với mỗi ba số thực không âm a,bc ta có

(a^4+b^4+c^4)(ab+bc+ca)\geq (a^2+b^2+c^2)(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2).

Bài 3. Cho ba số thực dương a,bc. Chứng minh rằng

\displaystyle\sum\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{3\sqrt[3]{abc}}{2(a+b+c)}\geq 2.

Bài 4. Cho các số thực không âm thỏa mãn ab+bc+ca+abc=4. Chứng minh rằng 3(a^2+b^2+c^2)+abc\geq 10.

Bài 5. (USA TST 2002)

Chứng minh rằng với mỗi tam giác ABC ta có

\displaystyle\sum\sin\dfrac{3A}{2}\leq\sum\cos\dfrac{A-B}{2}.

Bài 6. Cho các số thực không âm a,bc. Chứng minh rằng

\displaystyle\dfrac{a+b+c}{3}-\sqrt[3]{abc}\leq\max \{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2,(\sqrt{b}-\sqrt{c})^2,(\sqrt{c}-\sqrt{a})^2\}.

Bài 7. (USA MO 2003)

Chứng minh rằng với mỗi ba số thực dương a,bc ta có

\sum\dfrac{(2a+b+c)^2}{2a^2+(b+c)^2}\leq 8. Continue reading “Schur’s inequality (2)”

Schur’s inequality (1)


See here.

Bài 1. (IMO 1984) Cho x,yz là các số thực không âm thỏa mãn x+y+z=1. Chứng minh rằng 0\leq xy+yz+zx-2xyz\leq\dfrac{7}{27}.

Bài 2. (IMO 2000) Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn abc=1. Chứng minh rằng

\displaystyle\left(a-1+\dfrac{1}{b}\right)\left(b-1+\dfrac{1}{c}\right)\left(c-1+\dfrac{1}{a}\right)\leq 1.

Bài 4. (AoPS)  Chứng minh rằng nếu a,b,c là các số thực dương thì

a^2+b^2+c^2+2abc+1\geq 2(ab+bc+ca).

Bài 5. (Crux Math) Chứng minh rằng với mỗi ba số thực dương a,bc ta có \displaystyle\sum\dfrac{1}{a}\geq\sum\dfrac{b+c}{a^2+bc}.

Bài 6. Cho các số thực dương a,bc. Chứng minh rằng

\displaystyle\sum\sqrt[3]{\dfrac{a^2+bc}{b^2+c^2}}\geq\dfrac{9\sqrt[3]{abc}}{a+b+c}. Continue reading “Schur’s inequality (1)”

Olympic sinh viên và học sinh 2016-Đề thi dành cho học sinh


Đây là đề dành cho học sinh THPT.

Đề Số học giới thiệu một chứng minh sơ cấp của một trường hợp đặc biệt của định lý Dirichlet. Continue reading “Olympic sinh viên và học sinh 2016-Đề thi dành cho học sinh”