VMO training 2017 – Part 3


Link part 2: https://nttuan.org/2016/12/01/topic-841/


TEST 2, DAY 2

Bài 5. Cho các số nguyên dương ak. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, tồn tại số nguyên dương m sao cho ka^m+m chia hết cho n.

Bài 6. Tìm tất cả các hàm số f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} sao cho

\forall x,y,z\in\mathbb{R},\quad|x-y|<|x-z|\Longrightarrow |f(x)-f(y)|<|f(x)-f(z)|. Continue reading “VMO training 2017 – Part 3”

Phương trình hàm với đối số biến đổi (3)


Đây là phần thứ ba bài viết của GS. TSKH. Nguyễn Văn Mậu, phần hai có ở đây.

Continue reading “Phương trình hàm với đối số biến đổi (3)”

Phương trình hàm với đối số biến đổi (1)


Đây là phần đầu của bài viết năm 1997 của GS. TSKH. Nguyễn Văn Mậu.

Continue reading “Phương trình hàm với đối số biến đổi (1)”

IMO 2015 Shortlist (*.pdf, full)


Tôi gửi tặng mọi người 2 file pdf: Một file là bản tiếng Việt ISL 2015 do tôi dịch, file còn lại là bản tiếng Anh chính thức.

Continue reading “IMO 2015 Shortlist (*.pdf, full)”

Sum and product


Bài 1. Tính giới hạn của các dãy (u_n) xác định bởi

a) \displaystyle u_n=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\cdots+\frac{1}{n(n+1}\,\,\forall n\geq 1.

b) \displaystyle u_n=\left(1-\frac{1}{2^2}\right).\left(1-\frac{1}{3^2}\right)\cdots \left(1-\frac{1}{n^2}\right)\,\,\forall n\geq 2.

c) \displaystyle u_n=\frac{2^3-1}{2^3+1}.\frac{3^3-1}{3^3+1}\cdots\frac{n^3-1}{n^3+1}\,\,\forall n\geq 2.

Bài 2. Cho dãy số (x_n) xác định bởi x_1=\dfrac{2}{3},x_{n+1}=\dfrac{x_n}{2(2n+1)x_n+1}\,\,\forall n\geq 1. Tính tổng 2016 số hạng đầu tiên của dãy.

Bài 3. Dãy a_1,a_2,\ldots các số thực dương thỏa mãn a_{k+1}\geq\dfrac{ka_k}{a_k^2+(k-1)} với mọi số nguyên dương k. Chứng minh rằng a_1+a_2+\ldots+a_n\geq n với mọi n\geq 2.

Bài 4. Cho dãy số dương \{a_n\} xác định bởi a_{1}=1,\,\,(n^2+1)a^2_{n-1}=(n-1)^2a^2_{n}\,\,\forall n>1. Chứng minh rằng

\displaystyle\frac{1}{a^2_1}+\frac{1}{a^2_2}+\cdots +\frac{1}{a^2_n}\le 1+\sqrt{1-\frac{1}{a^2_n}}.

Bài 5. Các dãy (x_n),(y_n) xác định bởi x_1=2,y_1=1x_{n+1}=x_n^2+1,y_{n+1}=x_ny_n\,\,\,\,\,\,\,\,\forall n\geq 1. Chứng minh rằng dãy số (x_n/y_n)_{n\geq 1} hội tụ và giới hạn của nó bé hơn \sqrt{7}.

Bài 6. Cho dãy \{x_n\} được xác định bởi \displaystyle x_1=1;x_n=\dfrac{2n}{(n-1)^2} \sum_{i=1}^{n-1} x_i\,\,\forall n>1. Chứng minh rằng dãy (y_n) xác định bởi y_n=x_{n+1}-x_n\,\,\forall n\geq 1 có giới hạn hữu hạn.

Bài 7. Tồn tại hay không dãy \{x_{n}\} các số thực thỏa mãn đồng thời hai điều kiện

i) |x_{n}|\leq 0,666 với mỗi n=1,2,...;

ii) |x_{m}-x_{n}|\geq \dfrac{1}{n(n+1)}+\dfrac{1}{m(m+1)} với mỗi m\not = n? Continue reading “Sum and product”

Functional inequalities (1)


Problem 1. Find all functions f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} such that

\displaystyle \frac{1}{2}f(xy)+\frac{1}{2}f(xz)-f(x)f(yz)\geq\frac{1}{4}\,\,\forall x,y,z\in\mathbb{R}.

Problem 2. Let f:(0;+\infty)\to (0;+\infty) be a function such that

f(2x)\geq x+f(f(x))\,\,\forall x\in (0;+\infty). Prove that f(x)\geq x\,\,\forall x\in (0;+\infty).

Problem 3. Let f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} be a function such that

f(x+19)-19\leq f(x)\leq f(x+94)-94\,\,\forall x\in\mathbb{R}. Prove that f(x+1)=f(x)+1\,\,\forall x\in\mathbb{R}.

Problem 4. Find all functions f:[1;+\infty)\to [1;+\infty) such that

f(x)\leq 2x+2\,\,\text{and}\,\, xf(x+1)=f^2(x)-1\,\,\forall x\in [1;+\infty).

Problem 5. Find all functions f:\mathbb{N}\to \mathbb{N} such that

mf(n)+nf(m)=(m+n)f(m^2+n^2)\,\,\forall m,n\in \mathbb{N}.

Problem 6. Find all injective mappings f:\mathbb{N}^*\to\mathbb{N}^* such that for all positive integers n the following relation holds: f(f(n)) \leq \dfrac {n+f(n)}{2}.

Problem 7. Find all surjective mappings f:\mathbb{N}^*\to\mathbb{N}^* such that for all positive integers n the following relation holds: f(n) \geq n+(-1)^n. Continue reading “Functional inequalities (1)”

IMO Shortlist 2015 – Algebra


Trong topic này và 3 topic sau tôi sẽ dịch các bài toán từ IMO Shortlist 2015.

A1. Dãy a_1,a_2,\ldots các số thực dương thỏa mãn

a_{k+1}\geq\dfrac{ka_k}{a_k^2+(k-1)} với mọi số nguyên dương k. Chứng minh rằng a_1+a_2+\ldots+a_n\geq n với mọi n\geq 2.

A2. Tìm tất cả các hàm f:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z} sao cho

f(x-f(y))=f(f(x))-f(y)-1\,\,\forall x,y\in\mathbb{Z}.

A3. Cho số nguyên dương n. Tìm giá trị lớn nhất của

\displaystyle\sum_{1 \le r < s \le 2n} (s-r-n)x_rx_s, ở đây -1 \le x_i \le 1 với mỗi i = 1, \cdots 2n.

A4. Tìm tất cả các hàm f:\mathbb R\to\mathbb R sao cho

f(x+f(x+y))+f(xy)=x+f(x+y)+yf(x)\,\,\forall x,y\in\mathbb{R}.

A5. Kí hiệu 2\mathbb{Z} + 1 là tập các số nguyên lẻ. Tìm tất cả các hàm f:\mathbb{Z} \to 2\mathbb{Z} + 1 sao cho

f(x + f(x) + y) + f(x - f(x) - y) = f(x+y) + f(x-y)\,\,\forall x, y \in \mathbb{Z}. Continue reading “IMO Shortlist 2015 – Algebra”