Một số sách về Olympic Toán


Chào các em học sinh đang chuẩn bị cho các kỳ thi Olympic Toán, trong tài liệu này tôi sẽ giới thiệu một số sách các em nên có. Trước tiên các em cần có bộ sách “Tài liệu giáo khoa Chuyên Toán” lớp 10,11,12. Dưới đây là vài cuốn khác.

ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH

A1. Nguyễn Văn Mậu, Phương trình hàm.
A2. Jean-Marie Monier, Giải tích 1.
A3. Phạm Kim Hùng, Secrets In Inequalities (Vol 1 and Vol 2).
A4. Nguyễn Hữu Điển, Đa thức.
A5. Titu Andreescu, Navid Safaei, and Alessandro Ventullo, 117 Polynomial Problems.
A6. T. Andreescu, V. Cartoaje, G. Dospinescu, and M. Lascu, Old and New Inequalities.
A7. E.J. Barbeau, Polynomials.
A8. T. Andreescu and D. Andrica, Complex Numbers from A to Z.
A9. Titu Andreescu, Iurie Boreico, Oleg Mushkarov, and Nikolai Nikolov, Topics in Functional Equations.
A10. B. J. Venkatachala, Functional Equations.

TỔ HỢP

C1. C. Chuan-Chong and K. Khee-Meng, Principles and Techiques in Combinatorics.
C2. T. Andreescu and Z. Feng, 102 Combinatorial Problems.
C3. Vũ Đình Hòa, Hình học tổ hợp.
C4. Vũ Đình Hòa, Graph.
C5. T. Andreescu and Z. Feng, A Path to Combinatorics for Undergraduates.
C6. H.S. Wilf, Generatingfunctionology.
C7. Pranav A. Sriram, Olympiad combinatorics.
C8. R. Brualdi, Introductory Combinatorics.

HÌNH HỌC

G1. Nguyễn Minh Hà và Nguyễn Xuân Bình, Bài tập nâng cao và một số chuyên đề Hình học 10.
G2. Titu Andreescu, Sam Korsky, and Cosmin Pohoata, Lemmas in Olympiad Geometry.
G3. I.M. Yaglom, Geometric Transformations.
G4. T. Andreescu, O. Mushkarov, and L. Stoyanov, Geometric Problems on Maxima and Minima.
G5. Roger A. Johnson, Advanced Euclidean Geometry.

SỐ HỌC

N1. Đặng Hùng Thắng, Nguyễn Văn Ngọc, và Vũ Kim Thủy, Bài giảng số học.
N2. D. Burton, Elementary Number Theory.
N3. Titu Andreescu, Dorin Andrica, and Ion Cucurezeanu, An Introduction to Diophantine Equations.
N4. T. Andreescu, D. Andrica, and Z. Feng, 104 Number Theory Problems.
N5. G.H. Hardy, E.M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers.

ĐỀ THI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

M1. Lê Anh Vinh (chủ biên), Định hướng bồi dưỡng học sinh năng khiếu Toán.
M2. Dusan Djukic, Vladimir Jankovic, Ivan Matic, and Nikola Petrovic, The IMO Compendium. Continue reading “Một số sách về Olympic Toán”

IMO 2019 – Problems and Solutions


Mời các bạn tải về dùng cho tiện.

  1. Đề thi IMO 2019 Download -IMO2019 Vie
  2. IMO Shortlist 2018 (Chính thức) Download – IMO2018SL
  3. Đáp án được tổng hợp bởi Evan Chen Download – IMO2019sol
  4. Đáp án chính thức IMO2019 – solutions
  5. Link thảo luận các bài toán IMO 2019 trên AoPS:

Bài 1. https://artofproblemsolving.com/community/c6t360f6h1876068

Bài 2. https://artofproblemsolving.com/community/c6t360f6h1876070

Bài 3. https://artofproblemsolving.com/community/c6t360f6h1876067

Bài 4. https://artofproblemsolving.com/community/c6t360f6h1876742

Bài 5. https://artofproblemsolving.com/community/c6t360f6h1876772

Bài 6. https://artofproblemsolving.com/community/c6t360f6h1876745

Các em học sinh tải đề về làm thử, khoảng 1 tuần sau (hoặc lâu hơn) vào 6 links trên để thảo luận nhé!


Tham khảo:

[1] https://www.imo-official.org/year_info.aspx?year=2019

[2] http://web.evanchen.cc/problems.html

[3] https://artofproblemsolving.com/

[4] https://www.imo2019.uk/

IMO 2019 training (1)


Chào các bạn đồng nghiệp,

đây là một số bài toán tôi dùng để luyện cho đội IMO 2019. Tuyển tập này gồm nhiều phần, đây là phần thứ nhất.

P. S. Năm nay chuẩn bị 28 bài, cuối cùng dùng có 7. Nhưng tôi vẫn cứ chia sẻ các bác nhé!


Bài 1. Cho số nguyên dương \displaystyle m. Chứng minh rằng \displaystyle \left| \sum_{n=1}^{m}\frac{\mu(n)}{n} \right| \le 1.
Bài 2. Cho số nguyên tố lẻ \displaystyle p. Chứng minh rằng nếu \displaystyle g_{1}, \cdots, g_{\varphi(p-1)} là các căn nguyên thủy \displaystyle\pmod{p} thì \displaystyle \sum_{i=1}^{\varphi(p-1)}g_{i}\equiv \mu(p-1) \pmod{p}.
Bài 3. Cho dãy số \displaystyle(a_n) thỏa mãn \displaystyle \sum_{d|n} a_d = 2^n,\quad \forall n\in\mathbb{N}^*. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương \displaystyle n, ta có \displaystyle n|a_n. Continue reading “IMO 2019 training (1)”

Đề thi chọn đội tuyển IMO 2019 của Mỹ


Ngày thứ nhất
Bài 1. Cho tam giác \displaystyle ABC. Gọi \displaystyle M\displaystyle N lần lượt là trung điểm của \displaystyle AB\displaystyle AC. Gọi \displaystyle X là điểm sao cho \displaystyle AX tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác \displaystyle ABC. Ký hiệu \displaystyle \omega_B là đường tròn qua \displaystyle M, \displaystyle B và tiếp xúc với \displaystyle MX, \displaystyle \omega_C là đường tròn qua \displaystyle N, \displaystyle C và tiếp xúc với \displaystyle NX. Chứng minh rằng \displaystyle \omega_B\displaystyle \omega_C cắt nhau trên \displaystyle BC.
Bài 2. Tìm tất cả các số nguyên dương \displaystyle n sao cho tồn tại một song ánh \displaystyle g: \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} để \displaystyle 101 hàm \displaystyle g(x), \quad g(x) + x, \quad g(x) + 2x, \quad \dots, \quad g(x) + 100x là song ánh trên \displaystyle \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}.
Bài 3. Một con rắn độ dài \displaystyle k là một động vật nằm ở bộ \displaystyle (s_1, \dots, s_k) gồm \displaystyle k ô vuông con của bảng \displaystyle n \times n các ô vuông con, các ô vuông con này đôi một khác nhau, đồng thời \displaystyle s_i\displaystyle s_{i+1} có chung cạnh với mọi \displaystyle i = 1, \dots, k-1. Nếu con rắn nằm ở \displaystyle (s_1, \dots, s_k)\displaystyle s là một ô vuông con không thuộc bộ đó và có chung cạnh với \displaystyle s_1, thì nó có thể di chuyển đến \displaystyle (s, s_1, \dots, s_{k-1}). Con rắn được gọi là quay lại nếu lúc đầu nó ở vị trí \displaystyle (s_1, s_2, \dots, s_k) và sau một số hữu hạn lần di chuyển nó ở vị trí \displaystyle (s_k, s_{k-1}, \dots, s_1). Tồn tại hay không số nguyên \displaystyle n > 1 có tính chất: có thể đặt một con rắn độ dài \displaystyle 0.9n^2 trong một bảng \displaystyle n \times n sao cho nó có thể quay đầu. Continue reading “Đề thi chọn đội tuyển IMO 2019 của Mỹ”

Đề thi chọn HSG Quốc gia của Nhật năm 2019


Bài 1. Tìm tất cả các bộ ba các số nguyên dương \displaystyle (a,\ b,\ c) sao cho
\displaystyle a^2+b+3=(b^2-c^2)^2.
Bài 2. Cho số nguyên lẻ \displaystyle n\geq 3. Ta sẽ chơi một trò chơi trên bảng vuông \displaystyle n\times n như sau: Ở mỗi bước ta chọn một ô vuông con chưa được viết số và viết vào đó một số nguyên thuộc tập \displaystyle [n^2], mỗi số nguyên được dùng đúng một lần. Như vậy trò chơi sẽ kết thúc sau \displaystyle n^2 bước. Khi kết thúc, với mỗi ô vuông con, nếu hàng hoặc cột chứa nó có tổng các số chia hết cho \displaystyle n thì ta nhận được \displaystyle 1 điểm (nếu cả hai có tổng các số trên đó chia hết cho \displaystyle n thì ta có \displaystyle 2 điểm). Hỏi ta có thể nhận được nhiều nhất bao nhiêu điểm?
Bài 3. Tìm tất cả các hàm số \displaystyle f:(0;+\infty)\to (0;+\infty) sao cho
\displaystyle f\left(\frac{f(y)}{f(x)}+1\right)=f\left(x+\frac{y}{x}+1\right)-f(x),\quad \forall x;y\in (0;+\infty).
Bài 4. Cho tam giác \displaystyle ABC với tâm nội tiếp \displaystyle I, đường tròn nội tiếp \displaystyle w, và \displaystyle M là trung điểm của \displaystyle BC. Đường thẳng qua \displaystyle A vuông góc với \displaystyle BC cắt đường thẳng qua \displaystyle M vuông góc với \displaystyle AI tại \displaystyle K. Chứng minh rằng đường tròn đường kính \displaystyle AK tiếp xúc với \displaystyle w. Continue reading “Đề thi chọn HSG Quốc gia của Nhật năm 2019”

Định lí Dirichlet về các số nguyên tố nằm trong một cấp số cộng


Đây là bản pdf của bài  “Selberg, Atle (1949), An elementary proof of Dirichlet’s theorem about primes in an arithmetic progression,  Annals of Mathematics50 (2): 297–304″.

Download

Các bạn học sinh có thể tham khảo thêm các trường hợp đặc biệt ở đây.

Đề thi chọn đội tuyển Trung Quốc tham dự IMO 2018 (China TST 2018) – Phần 1


Ngày thứ nhất
Bài 1. Cho \displaystyle p;q là các số thực dương có tổng bằng \displaystyle 1. Chứng minh rằng với mỗi bộ \displaystyle n số thực \displaystyle (y_1,y_2,...,y_n), tồn tại bộ \displaystyle n số thực \displaystyle (x_1,x_2,...,x_n) sao cho \displaystyle p\cdot \max\{x_i,x_{i+1}\} + q\cdot \min\{x_i,x_{i+1}\} = y_i với mỗi \displaystyle i=1,2,...,2017, ở đây \displaystyle x_{2018}=x_1.
Bài 2. Một số nguyên dương \displaystyle n được gọi là tốt nếu \displaystyle 2018| d(n). Tìm tất cả các số nguyên dương \displaystyle k sao cho tồn tại cấp số cộng vô hạn có công sai \displaystyle k và mọi số hạng của nó là tốt.
Bài 3. Đường tròn \displaystyle \omega tiếp xúc với các cạnh \displaystyle AB, \displaystyle AC của tam giác \displaystyle ABC tại \displaystyle D, \displaystyle E tương ứng, sao cho \displaystyle D\neq B, \displaystyle E\neq C\displaystyle BD+CE<BC. \displaystyle F, \displaystyle G nằm trên \displaystyle BC sao cho \displaystyle BF=BD, \displaystyle CG=CE. \displaystyle DG cắt \displaystyle EF tại \displaystyle K. \displaystyle L nằm trên cung nhỏ \displaystyle DE của \displaystyle \omega sao cho tiếp tuyến tại \displaystyle L của \displaystyle \omega song song với \displaystyle BC. Chứng minh rằng tâm nội tiếp của \displaystyle \triangle ABC nằm trên \displaystyle KL. Continue reading “Đề thi chọn đội tuyển Trung Quốc tham dự IMO 2018 (China TST 2018) – Phần 1”

Đề thi chọn đội tuyển Trung Quốc tham dự IMO 2017 (China TST 2017) – Phần 4


Các bạn có thể xem phần 3 tại https://nttuan.org/2017/04/14/topic-880/

Ngày thứ nhất
Bài 1. Chứng minh rằng \displaystyle\sum_{k=0}^{58}C_{2017+k}^{58-k}C_{2075-k}^{k}=\sum_{p=0}^{29}C_{4091-2p}^{58-2p}.
Bài 2. Cho tam giác \displaystyle ABC, đường tròn bàng tiếp góc \displaystyle A tiếp xúc với cạnh \displaystyle BC, đường thẳng \displaystyle AB\displaystyle AC lần lượt tại \displaystyle E,D,F. \displaystyle EZ là đường kính của đường tròn. \displaystyle B_1\displaystyle C_1 thuộc \displaystyle DF sao cho \displaystyle BB_1\perp{BC}, \displaystyle CC_1\perp{BC}. Đường thẳng \displaystyle ZB_1,ZC_1 cắt \displaystyle BC tại \displaystyle X,Y tương ứng. \displaystyle EZ cắt \displaystyle DF tại \displaystyle H, \displaystyle ZK vuông góc với \displaystyle FD tại \displaystyle K. Chứng minh rằng nếu \displaystyle H là trực tâm của tam giác \displaystyle XYZ thì \displaystyle H,K,X,Y cùng nằm trên một đường tròn.
Bài 3. Tìm số các bộ \displaystyle (x_1,...,x_{100}) thỏa mãn đồng thời ba điều kiện
i) \displaystyle x_1,...,x_{100}\in\{1,2,..,2017\};
ii) \displaystyle 2017|x_1+...+x_{100};
iii) \displaystyle 2017|x_1^2+...+x_{100}^2. Continue reading “Đề thi chọn đội tuyển Trung Quốc tham dự IMO 2017 (China TST 2017) – Phần 4”

Đề chọn đội VMO 2018


Giống như topic năm 2016 https://nttuan.org/2016/09/18/topic-817/ , trong topic này tôi sẽ tổng hợp tất cả các đề chọn đội VMO 2018 của các tỉnh thành *.pdf. Mọi người có thể hỗ trợ tôi theo các cách:

1) Chỉ ra lỗi trong file;

2) Gửi đề của tỉnh mình qua email cho tôi (có file text càng tốt).

Cảm ơn các bạn rất nhiều. Continue reading “Đề chọn đội VMO 2018”

IMO 2016 Shortlist (*.pdf, full)


Tôi gửi tặng mọi người 2 file pdf: Một file là bản tiếng Việt ISL 2016 do tôi dịch, file còn lại là bản tiếng Anh chính thức.

Nếu có chỗ nào sai, hãy báo cho tôi.

Continue reading “IMO 2016 Shortlist (*.pdf, full)”