Category: High School Math

Đề thi chọn đội tuyển IMO 2019 của Mỹ


Ngày thứ nhất
Bài 1. Cho tam giác \displaystyle ABC. Gọi \displaystyle M và \displaystyle N lần lượt là trung điểm của \displaystyle AB và \displaystyle AC. Gọi \displaystyle X là điểm sao cho \displaystyle AX tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác \displaystyle ABC. Ký hiệu \displaystyle \omega_B là đường tròn qua \displaystyle M, \displaystyle B và tiếp xúc với \displaystyle MX, \displaystyle \omega_C là đường tròn qua \displaystyle N, \displaystyle C và tiếp xúc với \displaystyle NX. Chứng minh rằng \displaystyle \omega_B và \displaystyle \omega_C cắt nhau trên \displaystyle BC.
Bài 2. Tìm tất cả các số nguyên dương \displaystyle n sao cho tồn tại một song ánh \displaystyle g: \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} để \displaystyle 101 hàm \displaystyle g(x), \quad g(x) + x, \quad g(x) + 2x, \quad \dots, \quad g(x) + 100x là song ánh trên \displaystyle \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}.
Bài 3. Một con rắn độ dài \displaystyle k là một động vật nằm ở bộ \displaystyle (s_1, \dots, s_k) gồm \displaystyle k ô vuông con của bảng \displaystyle n \times n các ô vuông con, các ô vuông con này đôi một khác nhau, đồng thời \displaystyle s_i và \displaystyle s_{i+1} có chung cạnh với mọi \displaystyle i = 1, \dots, k-1. Nếu con rắn nằm ở \displaystyle (s_1, \dots, s_k) và \displaystyle s là một ô vuông con không thuộc bộ đó và có chung cạnh với \displaystyle s_1, thì nó có thể di chuyển đến \displaystyle (s, s_1, \dots, s_{k-1}). Con rắn được gọi là quay lại nếu lúc đầu nó ở vị trí \displaystyle (s_1, s_2, \dots, s_k) và sau một số hữu hạn lần di chuyển nó ở vị trí \displaystyle (s_k, s_{k-1}, \dots, s_1). Tồn tại hay không số nguyên \displaystyle n > 1 có tính chất: có thể đặt một con rắn độ dài \displaystyle 0.9n^2 trong một bảng \displaystyle n \times n sao cho nó có thể quay đầu. Continue reading “Đề thi chọn đội tuyển IMO 2019 của Mỹ”

Đề thi chọn HSG Quốc gia của Mỹ năm 2019


Ngày thứ nhất
Bài 1. Cho hàm số \displaystyle f:\mathbb{N}^*\to\mathbb{N}^* thỏa mãn
\displaystyle \forall n\in\mathbb{N}^*,\quad \underbrace{f(f(\ldots f}_{f(n)}(n)\ldots))=\frac{n^2}{f(f(n))}. Tính f(1000).
Bài 2. Cho tứ giác nội tiếp \displaystyle ABCD thỏa mãn \displaystyle AD^2 + BC^2 = AB^2. Các đường chéo của \displaystyle ABCD cắt nhau tại \displaystyle E. Gọi \displaystyle P là một điểm trên cạnh \displaystyle AB thỏa mãn \displaystyle \angle APD = \angle BPC. Chứng minh \displaystyle PE chia đôi \displaystyle CD.
Bài 3. Cho \displaystyle K là tập tất cả các số nguyên dương không chứa chữ số \displaystyle 7 trong biểu diễn thập phân của nó. Tìm tất cả các đa thức \displaystyle f với hệ số nguyên sao cho \displaystyle f(n)\in K mỗi khi \displaystyle n\in K.

Ngày thứ hai
Bài 4. Cho số tự nhiên n. Có bao nhiêu cách chọn \displaystyle (n+1)^2 tập hợp \displaystyle S_{i,j}\subseteq\{1,2,\ldots,2n\}, với \displaystyle 0\leq i,j\leq n, sao cho hai điều kiện sau được thỏa mãn đồng thời:
1) Với mỗi \displaystyle 0\leq i,j\leq n, \displaystyle S_{i,j} có \displaystyle i+j phần tử;
2) \displaystyle S_{i,j}\subseteq S_{k,l} mỗi khi \displaystyle 0\leq i\leq k\leq n và \displaystyle 0\leq j\leq l\leq n. Continue reading “Đề thi chọn HSG Quốc gia của Mỹ năm 2019”

Đề thi chọn HSG Quốc gia của Nhật năm 2019


Bài 1. Tìm tất cả các bộ ba các số nguyên dương \displaystyle (a,\ b,\ c) sao cho
\displaystyle a^2+b+3=(b^2-c^2)^2.
Bài 2. Cho số nguyên lẻ \displaystyle n\geq 3. Ta sẽ chơi một trò chơi trên bảng vuông \displaystyle n\times n như sau: Ở mỗi bước ta chọn một ô vuông con chưa được viết số và viết vào đó một số nguyên thuộc tập \displaystyle [n^2], mỗi số nguyên được dùng đúng một lần. Như vậy trò chơi sẽ kết thúc sau \displaystyle n^2 bước. Khi kết thúc, với mỗi ô vuông con, nếu hàng hoặc cột chứa nó có tổng các số chia hết cho \displaystyle n thì ta nhận được \displaystyle 1 điểm (nếu cả hai có tổng các số trên đó chia hết cho \displaystyle n thì ta có \displaystyle 2 điểm). Hỏi ta có thể nhận được nhiều nhất bao nhiêu điểm?
Bài 3. Tìm tất cả các hàm số \displaystyle f:(0;+\infty)\to (0;+\infty) sao cho
\displaystyle f\left(\frac{f(y)}{f(x)}+1\right)=f\left(x+\frac{y}{x}+1\right)-f(x),\quad \forall x;y\in (0;+\infty).
Bài 4. Cho tam giác \displaystyle ABC với tâm nội tiếp \displaystyle I, đường tròn nội tiếp \displaystyle w, và \displaystyle M là trung điểm của \displaystyle BC. Đường thẳng qua \displaystyle A vuông góc với \displaystyle BC cắt đường thẳng qua \displaystyle M vuông góc với \displaystyle AI tại \displaystyle K. Chứng minh rằng đường tròn đường kính \displaystyle AK tiếp xúc với \displaystyle w. Continue reading “Đề thi chọn HSG Quốc gia của Nhật năm 2019”

Đề thi chọn HSG Quốc gia của Trung Quốc năm 2019


Ngày thứ nhất
Bài 1. Xét các số thực \displaystyle a;b;c;d;e\geq -1 thỏa mãn \displaystyle a+b+c+d+e=5. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
\displaystyle S=(a+b)(b+c)(c+d)(d+e)(e+a).
Bài 2. Một tập các số nguyên dương \displaystyle \{a,b,c\} được gọi là tập Pythagorean nếu \displaystyle a,b,c là độ dài các cạnh của một tam giác vuông. Chứng minh rằng với mỗi hai tập Pythagorean \displaystyle P,Q, tồn tại số nguyên \displaystyle m\ge 2 và các tập Pythagorean \displaystyle P_1,P_2,\ldots ,P_m sao cho \displaystyle P=P_1, Q=P_m và \displaystyle \forall 1\le i\le m-1, \displaystyle P_i\cap P_{i+1}\neq \emptyset.
Bài 3. Cho \displaystyle O là tâm đường tròn ngoại tiếp của \displaystyle \triangle ABC(\displaystyle AB<AC) và \displaystyle D là điểm trên phân giác của \displaystyle \angle BAC. Điểm \displaystyle E thuộc \displaystyle BC sao cho \displaystyle OE\parallel AD, \displaystyle DE\perp BC. Điểm \displaystyle K nằm trên \displaystyle EB kéo dài sao cho \displaystyle EK=EA. Đường tròn ngoại tiếp của \displaystyle \triangle ADK cắt \displaystyle BC tại \displaystyle P\neq K, và cắt đường tròn ngoại tiếp của \displaystyle \triangle ABC tại \displaystyle Q\neq A. Chứng minh rằng \displaystyle PQ tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp của \displaystyle \triangle ABC. Continue reading “Đề thi chọn HSG Quốc gia của Trung Quốc năm 2019”

IMO 2018 training (1)


Chào các bạn đồng nghiệp,

đây là một số bài toán tôi dùng để luyện cho đội IMO 2018. Tuyển tập này gồm nhiều phần, đây là phần thứ nhất.

Bài 1. Cho \displaystyle a_1, a_2, \dots, a_{2^{2018}} là các số nguyên dương không lớn hơn \displaystyle 2018 sao cho với mỗi \displaystyle n \leq 2^{2018}, \displaystyle a_1a_2 \dots a_{n} +1 là số chính phương. Chứng minh rằng tồn tại \displaystyle i sao cho \displaystyle a_i=1.
Bài 2. Cho \displaystyle (a_n)_{n\geq 1} là một dãy các số nguyên dương thỏa mãn
\displaystyle a_{n+1}=[\sqrt{a_n}]+[\sqrt[3]{a_n}]+\cdots+[\sqrt[n+1]{a_n}],\quad \forall n\in\mathbb{N}^*. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên tố \displaystyle p, có vô hạn các số hạng của dãy chia hết cho \displaystyle p.
Bài 3. Cho số nguyên \displaystyle k>1. Dãy số \displaystyle a_1,a_2, \cdots xác định bởi \displaystyle a_1=1, a_2=k và \displaystyle a_{n+1}-(k+1)a_n+a_{n-1}=0,\,\forall n>1. Tìm tất cả các số nguyên dương \displaystyle n sao cho \displaystyle a_n là một lũy thừa của \displaystyle k.
Bài 4. Hai dãy số \displaystyle \{u_{n}\}, \displaystyle \{v_{n}\} xác định bởi \displaystyle u_{0} =u_{1} =1 ,\displaystyle u_{n}=2u_{n-1}-3u_{n-2} \displaystyle (n\geq 2), \displaystyle v_{0} =a, v_{1} =b , v_{2}=c ,\displaystyle v_{n}=v_{n-1}-3v_{n-2}+27v_{n-3} \displaystyle (n\geq 3). Giả sử có số nguyên dương \displaystyle N sao cho với mỗi \displaystyle n> N ta có \displaystyle u_{n}|v_{n}. Chứng minh rằng \displaystyle 3a=2b+c.
Bài 5. Với mỗi số thực \displaystyle x, gọi \displaystyle M(x) là tập tất cả các số nguyên dương \displaystyle q thỏa mãn: tồn tại số nguyên \displaystyle p sao cho \displaystyle \left|x - \dfrac{p}{q}\right|<\dfrac{1}{10q}. Chứng minh nếu hai số vô tỷ \displaystyle \alpha và \displaystyle \beta thỏa mãn \displaystyle M(\alpha)=M(\beta) thì \displaystyle \alpha+\beta hoặc \displaystyle \alpha- \beta là một số nguyên.
Bài 6. Cho \displaystyle M là một tập con của \displaystyle \mathbb{R} thỏa mãn đồng thời các điều kiện:
a) Với mọi \displaystyle x \in M, n \in \mathbb{Z}, ta có \displaystyle x+n \in M.
b) Với mọi \displaystyle x \in M, ta có \displaystyle -x \in M.
c) \displaystyle M và \displaystyle \mathbb{R}\setminus M chứa một đoạn có độ dài lớn hơn \displaystyle 0.
Với mỗi \displaystyle x, đặt \displaystyle M(x) = \{ n \in \mathbb{Z}^{+} | nx \in M \}. Chứng minh rằng nếu \displaystyle \alpha,\beta là các số vô tỷ thỏa mãn \displaystyle M(\alpha) = M(\beta) thì \displaystyle \alpha + \beta hoặc \displaystyle \alpha - \beta là số hữu tỷ. Continue reading “IMO 2018 training (1)”

Định lí Dirichlet về các số nguyên tố nằm trong một cấp số cộng


Đây là bản pdf của bài  “Selberg, Atle (1949), An elementary proof of Dirichlet’s theorem about primes in an arithmetic progression,  Annals of Mathematics, 50 (2): 297–304″.

Download

Các bạn học sinh có thể tham khảo thêm các trường hợp đặc biệt ở đây.

Đề thi chọn đội tuyển Trung Quốc tham dự IMO 2018 (China TST 2018) – Phần 2


Mời các bạn xem phần 1 ở https://nttuan.org/2018/04/02/chinatst2018-test1/

Ngày thứ nhất
Bài 1. Cho tam giác \displaystyle ABC và \displaystyle D là một điểm di động trên cạnh \displaystyle BC. Điểm \displaystyle E và điểm \displaystyle F lần lượt thuộc các cạnh \displaystyle AB và \displaystyle AC sao cho \displaystyle BE=CD và \displaystyle CF=BD. \displaystyle (BDE) và \displaystyle (CDF) cắt nhau tại hai điểm khác nhau \displaystyle P và \displaystyle D. Chứng minh tồn tại điểm cố định \displaystyle Q sao cho \displaystyle QP là hằng số.
Bài 2. Với mỗi số nguyên dương \displaystyle n, \textit{một phân hoạch nguyên} của \displaystyle n là một cách viết \displaystyle n thành tổng của các số nguyên dương (không kể thứ tự), số phân hoạch nguyên của \displaystyle n ký hiệu bởi \displaystyle p\left ( n \right ). Tìm tất cả các số nguyên dương \displaystyle n sao cho
\displaystyle p\left ( n \right )+p\left ( n+4 \right )=p\left ( n+2 \right )+p\left ( n+3 \right ).
Bài 3. Cho hai số nguyên dương \displaystyle p,q. Có một cái bảng trên đó viết \displaystyle n số nguyên dương. Cho phép thực hiện phép toán sau: Chọn hai số bằng nhau \displaystyle a,a trên bảng và thay chúng bởi \displaystyle a+p,a+q. Tìm giá trị nhỏ nhất của \displaystyle n sao cho ta có thể thực hiện vô hạn lần phép toán trên. Continue reading “Đề thi chọn đội tuyển Trung Quốc tham dự IMO 2018 (China TST 2018) – Phần 2”

Đề thi chọn đội tuyển Trung Quốc tham dự IMO 2018 (China TST 2018) – Phần 1


Ngày thứ nhất
Bài 1. Cho \displaystyle p;q là các số thực dương có tổng bằng \displaystyle 1. Chứng minh rằng với mỗi bộ \displaystyle n số thực \displaystyle (y_1,y_2,...,y_n), tồn tại bộ \displaystyle n số thực \displaystyle (x_1,x_2,...,x_n) sao cho \displaystyle p\cdot \max\{x_i,x_{i+1}\} + q\cdot \min\{x_i,x_{i+1}\} = y_i với mỗi \displaystyle i=1,2,...,2017, ở đây \displaystyle x_{2018}=x_1.
Bài 2. Một số nguyên dương \displaystyle n được gọi là tốt nếu \displaystyle 2018| d(n). Tìm tất cả các số nguyên dương \displaystyle k sao cho tồn tại cấp số cộng vô hạn có công sai \displaystyle k và mọi số hạng của nó là tốt.
Bài 3. Đường tròn \displaystyle \omega tiếp xúc với các cạnh \displaystyle AB, \displaystyle AC của tam giác \displaystyle ABC tại \displaystyle D, \displaystyle E tương ứng, sao cho \displaystyle D\neq B, \displaystyle E\neq C và \displaystyle BD+CE<BC. \displaystyle F, \displaystyle G nằm trên \displaystyle BC sao cho \displaystyle BF=BD, \displaystyle CG=CE. \displaystyle DG cắt \displaystyle EF tại \displaystyle K. \displaystyle L nằm trên cung nhỏ \displaystyle DE của \displaystyle \omega sao cho tiếp tuyến tại \displaystyle L của \displaystyle \omega song song với \displaystyle BC. Chứng minh rằng tâm nội tiếp của \displaystyle \triangle ABC nằm trên \displaystyle KL. Continue reading “Đề thi chọn đội tuyển Trung Quốc tham dự IMO 2018 (China TST 2018) – Phần 1”

Đề thi chọn đội tuyển Trung Quốc tham dự IMO 2017 (China TST 2017) – Phần 5


Các bạn có thể xem phần 4 tại https://nttuan.org/2018/03/07/chinatst2017-test4/
—
Ngày thứ nhất
Bài 1. Cho số nguyên \displaystyle n\ge 3. Xét dãy \displaystyle a_1,a_2,...,a_n, nếu \displaystyle (a_i,a_j,a_k) thỏa mãn \displaystyle i+k=2j\, (i<j<k) và \displaystyle a_i+a_k\ne 2a_j ta nói nó là tốt. Nếu một dãy chứa ít nhất một bộ ba tốt thì nó chứa ít nhất bao nhiêu bộ ba tốt?
Bài 2. Tìm số nguyên dương \displaystyle m nhỏ nhất có tính chất: với mỗi đa thức \displaystyle f(x) với hệ số thực, tồn tại đa thức \displaystyle g(x) với hệ số thực có bậc không lớn hơn $m$ sao cho tồn tại \displaystyle 2017 số khác nhau \displaystyle a_1,a_2,...,a_{2017} thỏa mãn \displaystyle g(a_i)=f(a_{i+1}) với mọi \displaystyle i=1,2,...,2017. Ở đây chỉ số lấy theo modulo \displaystyle 2017.
Bài 3. Với một điểm hữu tỷ \displaystyle (x,y), nếu \displaystyle xy là số nguyên chia hết cho \displaystyle 2 nhưng không chia hết cho \displaystyle 3 ta tô nó màu đỏ, nếu \displaystyle xy là số nguyên chia hết cho \displaystyle 3 nhưng không chia hết cho \displaystyle 2 ta tô nó màu xanh. Tồn tại hay không một đoạn thẳng chứa đúng \displaystyle 2017 điểm xanh và đúng \displaystyle 58 điểm đỏ? Continue reading “Đề thi chọn đội tuyển Trung Quốc tham dự IMO 2017 (China TST 2017) – Phần 5”