Hãy giải bài toán sau theo ít nhất cách:
Bài toán. Cho là số nguyên dương không phải là lập phương của một số nguyên. Chứng minh rằng tồn tại hằng số dương
sao cho với mỗi số nguyên dương
, ta có
Hãy giải bài toán sau theo ít nhất cách:
Bài toán. Cho là số nguyên dương không phải là lập phương của một số nguyên. Chứng minh rằng tồn tại hằng số dương
sao cho với mỗi số nguyên dương
, ta có
Chúng ta đã biết là với mỗi số nguyên dương dãy Fibonacci modulo
là một dãy tuần hoàn. Với mọi số nguyên dương
gọi
là chu kỳ cơ sở của dãy đó. Trong bài này tôi sẽ giới thiệu một chứng minh cho kết quả sau:
Định lí (D. D. Wall, 1960). Với mọi số nguyên
là một số chẵn.
Chứng minh. Với mỗi số nguyên dương cố định nó. Gọi
là số nguyên dương bé nhất sao cho
chia hết cho
và
là tỷ số vàng.
Vì nên
do đó
Từ kết quả trên ta có suy ra
Bây giờ trong ta có
suy ra
nhưng ta biết
do đó
Nếu
không phải là số chẵn thì
và
là số lẻ. Khi đó từ
ta được
suy ra
Kết hợp điều này với
ta thu được
vô lý.
Một chứng minh khác có trong bài của Wall ở AMM, Vol 67, trang 525.