Một tổng quát của CMO 2016/3

Trong kì thi chọn HSG QG của Trung Quốc năm 2016 có bài toán dưới đây:

Bài toán (CMO 2016/3). Cho số nguyên tố lẻ và các số nguyên . Chứng minh rằng hai điều kiện sau tương đương:
1) Tồn tại đa thức bậc với hệ số nguyên sao cho
2) Với mỗi số nguyên dương ,

Ở đây chỉ số được mở rộng theo

Tuần trước, biết tôi đang dạy đa thức, một học sinh cũ đã gửi bài toán sau:

Bài toán tổng quát. Cho số nguyên tố lẻ số nguyên dương và các số nguyên . Chứng minh rằng hai điều kiện sau tương đương:
1) Tồn tại đa thức bậc với hệ số nguyên sao cho
2) Với mỗi số nguyên dương ,

Ở đây chỉ số được mở rộng theo

Các bạn thử giải nhé!