Chu kỳ cơ sở của dãy Fibonacci modulo m là một số chẵn

Chúng ta đã biết là với mỗi số nguyên dương dãy Fibonacci modulo là một dãy tuần hoàn. Với mọi số nguyên dương gọi là chu kỳ cơ sở của dãy đó. Trong bài này tôi sẽ giới thiệu một chứng minh cho kết quả sau:

Định lí (D. D. Wall, 1960). Với mọi số nguyên là một số chẵn.

Chứng minh. Với mỗi số nguyên dương cố định nó. Gọi là số nguyên dương bé nhất sao cho chia hết cho và là tỷ số vàng.

Vì nên do đó

Từ kết quả trên ta có suy ra

Bây giờ trong ta có suy ra nhưng ta biết do đó Nếu không phải là số chẵn thì và là số lẻ. Khi đó từ ta được suy ra Kết hợp điều này với ta thu được vô lý.

---

Một chứng minh khác có trong bài của Wall ở AMM, Vol 67, trang 525.