A proof of Fermat’s theorem

Trong bài này chúng tôi sẽ giới thiệu một chứng minh của định lí Fermat nhỏ, chứng minh này của Euler.

Định lí. Cho số nguyên tố và số nguyên không chia hết cho Khi đó

Chứng minh. Vì có hai trong các số có cùng số dư khi chia cho nên tồn tại số nguyên dương sao cho và chọn nhỏ nhất có tính chất này. Nếu thì ta có điều cần chứng minh, sau đây ta xét trường hợp
Tồn tại số nguyên dương không thuộc tập có phần tử
Khi đó tập có phần tử và có giao bằng rỗng với Nếu thì chia hết cho và ta có điều cần chứng minh. Nếu không, gọi là một số nguyên dương không thuộc tập và xây dựng tập có phần tử
và cứ thế. Cuối cùng ta sẽ có một phân hoạch của trong đó mỗi khối có phần tử. Suy ra chia hết cho và định lí được chứng minh.