APMO 2020


Olympic Toán học châu Á Thái Bình Dương (APMO) là cuộc thi toán học dành cho các quốc gia trong Khu vực Vành đai Thái Bình Dương.

APMO được tổ chức hàng năm. Mỗi quốc gia tham gia có một đại diện phụ trách tổ chức APMO tại địa phương. Một ủy ban chọn một đề thi với 5 câu hỏi được giải trong 4 giờ, gửi đáp án và biểu điểm và xác định các thi sinh đạt giải.

APMO được tổ chức lần đầu năm 1989. Các mục tiêu của nó là:

1) Phát hiện, khuyến khích và thử thách các học sinh trung học có năng khiếu toán.

2) Thúc đẩy quan hệ và hợp tác giữa học sinh và giáo viên trong khu vực.

3) Tạo cơ hội cho việc trao đổi thông tin về giáo trình ở các nhà trường.

4) Khuyến khích và hỗ trợ  phong trào Olympic toán ở các nước tham gia và các nước khác trong khu vực.

Website chính thức của kỳ thi: http://www.apmo-official.org/.

Dưới đây là đề thi năm 2020.

APMO 2020

Bài 1. Cho \Gamma là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Gọi D là một điểm trên cạnh BC. Tiếp tuyến của \Gamma tại A cắt đường thẳng song song với BA qua D tại E. Đoạn thẳng CE cắt lại \Gamma tại F. Chứng minh rằng nếu B, D, F, E nằm trên một đường tròn thì AC, BF, DE đồng quy.
Bài 2. Chứng minh rằng r = 2 là số thực r lớn nhất thỏa mãn điều kiện sau: Nếu dãy số nguyên dương a_1, a_2, \ldots thỏa mãn
a_n \leq a_{n+2} \leq\sqrt{a_n^2+ra_{n+1}},\quad\forall n\geq 1 thì tồn tại số nguyên dương M sao cho a_{n+2} = a_n với mọi n \geq M.
Bài 3. Tìm tất cả các số nguyên dương k để tồn tại số nguyên dương m và tập S các số nguyên dương sao cho mỗi số nguyên n > m có thể viết như là tổng các phần tử phân biệt của S theo đúng k cách.
Bài 4. Tìm tất cả các đa thức P(x) với hệ số nguyên có tính chất: Với mỗi dãy a_1, a_2, \dotsc các số nguyên sao cho mỗi số nguyên xuất hiện trong dãy đúng một lần, tồn tại các chỉ số i < j và số nguyên k để a_i +a_{i+1} +\dotsb +a_j = P(k).
Bài 5. Cho số nguyên n \geq 3. Số 1 được viết n lần trên bảng đen và bên dưới bảng đen có hai cái thùng ban đầu rỗng. Ở mỗi bước, ta xóa hai số ab trên bảng, thay chúng bằng các số 1a + b, sau đó thêm một viên đá vào thùng đầu tiên và (a, b) viên đá vào thùng thứ hai. Sau một số hữu hạn lần thực hiện phép toán trên, ta được s viên đá trong thùng thứ nhất và t viên đá trong thùng thứ hai, trong đó st là các số nguyên dương. Tìm tất cả các giá trị có thể có của \dfrac{t}{s}.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google photo

You are commenting using your Google account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s