Categories
Contests

Iran TST 2020 – Test 1


Ngày thứ nhất

Bài 1. Cho một đồ thị đủ có trọng số với các trọng số dương và đôi một khác nhau. Giả sử rằng mọi tam giác đều suy biến, nghĩa là trọng số của một cạnh bằng tổng hai trọng số của hai cạnh còn lại. Chứng minh rằng có thể gán số cho mỗi đỉnh của đồ thị này sao cho trọng số của mỗi cạnh bằng hiệu hai số được gán trên hai đầu mút của cạnh đó.
Bài 2. Cho tam giác ABC với tâm đường tròn ngoại tiếp O. Gọi D,E lần lượt là các điểm nằm trên các cạnh AC,AB. Lấy các điểm P,Q,R,S nằm trên mặt phẳng sao cho P,CR,C nằm về hai phía khác nhau của AB, Q,BS,B nằm trên hai phía khác nhau của AC, và R,S lần lượt thuộc (DAP),(EAQ), \triangle BCE \sim \triangle ADQ , \triangle CBD \sim \triangle AEP, \angle ARE=\angle ASD=\angle BAC. Chứng minh rằng nếu RS|| PQ thì RE ,DS cắt nhau trên AO.
Bài 3. Ta gọi số nguyên dương n là tốt nếu với mỗi hoán vị \sigma của [n], tồn tại các đa thức P_1, P_2,\ldots , P_n với hệ số thực và \epsilon > 0 để các điều kiện sau được thỏa mãn đồng thời:
1) P_1(0)=P_2(0)=\ldots =P_n(0).
2) P_1(x)>P_2(x)>\ldots >P_n(x) với -\epsilon<x<0.
3) P_{\sigma (1)} (x)>P_{\sigma (2)}(x)> \ldots >P_{\sigma (n)} (x) với 0<x<\epsilon.
Tìm tất cả số tốt.

Ngày thứ hai

Bài 4. Cho g:[0,1] \to \mathbb{R} có tính chất: Với mọi cách chia đoạn [0,1] thành hai tập khác rỗng AB, \exists x \in A,\, g(x) \in B hoặc \exists x \in B,\, g(x) \in Ag(x)>x với mọi x \in [0,1]. Chứng minh có vô hạn x \in [0,1] để g(x)=1.
Bài 5. Cho số nguyên k. Chứng minh rằng có vô hạn cặp số nguyên dương (m,n) để n+s(2n)=m+s(2m)kn+s(n^2)=km+s(m^2).
Bài 6. Cho số nguyên dương nn số dương. Liệu có thể tìm một (n+3)-giác lồi và một cách tam giác hóa nó sao cho các đường kính trong phép tam giác hóa là n số đã cho?

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google photo

You are commenting using your Google account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s