Ngày thứ nhất
Bài 1. Cho một đồ thị đủ có trọng số với các trọng số dương và đôi một khác nhau. Giả sử rằng mọi tam giác đều suy biến, nghĩa là trọng số của một cạnh bằng tổng hai trọng số của hai cạnh còn lại. Chứng minh rằng có thể gán số cho mỗi đỉnh của đồ thị này sao cho trọng số của mỗi cạnh bằng hiệu hai số được gán trên hai đầu mút của cạnh đó.
Bài 2. Cho tam giác với tâm đường tròn ngoại tiếp
Gọi
lần lượt là các điểm nằm trên các cạnh
Lấy các điểm
nằm trên mặt phẳng sao cho
và
nằm về hai phía khác nhau của
,
và
nằm trên hai phía khác nhau của
, và
lần lượt thuộc
,
,
. Chứng minh rằng nếu
thì
cắt nhau trên
Bài 3. Ta gọi số nguyên dương là tốt nếu với mỗi hoán vị
của
tồn tại các đa thức
với hệ số thực và
để các điều kiện sau được thỏa mãn đồng thời:
1)
2) với
.
3) với
.
Tìm tất cả số tốt.
Ngày thứ hai
Bài 4. Cho có tính chất: Với mọi cách chia đoạn
thành hai tập khác rỗng
và
hoặc
và
với mọi
Chứng minh có vô hạn
để
Bài 5. Cho số nguyên Chứng minh rằng có vô hạn cặp số nguyên dương
để
và
Bài 6. Cho số nguyên dương và
số dương. Liệu có thể tìm một
giác lồi và một cách tam giác hóa nó sao cho các đường kính trong phép tam giác hóa là
số đã cho?