Iran TST 2020 – Test 1 – Nguyen Trung Tuan

Ngày thứ nhất

Bài 1. Cho một đồ thị đủ có trọng số với các trọng số dương và đôi một khác nhau. Giả sử rằng mọi tam giác đều suy biến, nghĩa là trọng số của một cạnh bằng tổng hai trọng số của hai cạnh còn lại. Chứng minh rằng có thể gán số cho mỗi đỉnh của đồ thị này sao cho trọng số của mỗi cạnh bằng hiệu hai số được gán trên hai đầu mút của cạnh đó.
Bài 2. Cho tam giác $ABC$ với tâm đường tròn ngoại tiếp $O.$ Gọi $D,E$ lần lượt là các điểm nằm trên các cạnh $AC,AB.$ Lấy các điểm $P,Q,R,S$ nằm trên mặt phẳng sao cho $P,C$ và $R,C$ nằm về hai phía khác nhau của $AB$ , $Q,B$ và $S,B$ nằm trên hai phía khác nhau của $AC$ , và $R,S$ lần lượt thuộc $(DAP),(EAQ)$ , $\triangle BCE \sim \triangle ADQ , \triangle CBD \sim \triangle AEP$ , $\angle ARE=\angle ASD=\angle BAC$ . Chứng minh rằng nếu $RS|| PQ$ thì $RE ,DS$ cắt nhau trên $AO.$
Bài 3. Ta gọi số nguyên dương $n$ là tốt nếu với mỗi hoán vị $\sigma$ của $[n],$ tồn tại các đa thức $P_1,$ $P_2,\ldots ,$ $P_n$ với hệ số thực và $\epsilon > 0$ để các điều kiện sau được thỏa mãn đồng thời:
1) $P_1(0)=P_2(0)=\ldots =P_n(0).$
2) $P_1(x)>P_2(x)>\ldots >P_n(x)$ với $-\epsilon<x<0$ .
3) $P_{\sigma (1)} (x)>P_{\sigma (2)}(x)> \ldots >P_{\sigma (n)} (x)$ với $0<x<\epsilon$ .
Tìm tất cả số tốt.

Ngày thứ hai

Bài 4. Cho $g:[0,1] \to \mathbb{R}$ có tính chất: Với mọi cách chia đoạn $[0,1]$ thành hai tập khác rỗng $A$ và $B,$ $\exists x \in A,\, g(x) \in B$ hoặc $\exists x \in B,\, g(x) \in A$ và $g(x)>x$ với mọi $x \in [0,1].$ Chứng minh có vô hạn $x \in [0,1]$ để $g(x)=1.$
Bài 5. Cho số nguyên $k.$ Chứng minh rằng có vô hạn cặp số nguyên dương $(m,n)$ để $n+s(2n)=m+s(2m)$ và $kn+s(n^2)=km+s(m^2).$
Bài 6. Cho số nguyên dương $n$ và $n$ số dương. Liệu có thể tìm một $(n+3)-$ giác lồi và một cách tam giác hóa nó sao cho các đường kính trong phép tam giác hóa là $n$ số đã cho?

Share this:

Like this:

Leave a Reply Cancel reply