Đề thi chọn đội IMO 2019 của Trung Quốc


Bài kiểm tra số 1 – Ngày thứ nhất
Bài 1. Cho \displaystyle ABCDE là ngũ giác nội tiếp đường tròn tâm \displaystyle O và có \displaystyle AB=AE=CD. Gọi \displaystyle I là trung điểm của \displaystyle BC, \displaystyle J là trung điểm của \displaystyle DE, \displaystyle F là trực tâm của tam giác \displaystyle ABE, và \displaystyle G là trọng tâm của tam giác \displaystyle AIJ. \displaystyle CE cắt \displaystyle BD tại \displaystyle H, \displaystyle OG cắt \displaystyle FH tại \displaystyle M. Chứng minh \displaystyle AM\perp CD.
Bài 2. Cho số nguyên \displaystyle n\geq 3. Liệu có vô hạn tập \displaystyle S=\lbrace a_1,a_2,\ldots, a_n,b_1,b_2,\ldots,b_n\rbrace gồm các số nguyên dương sao cho \displaystyle (a_1,a_2,\ldots, a_n,b_1,b_2,\ldots,b_n)=1, \displaystyle \lbrace a_i\rbrace _{i=1}^n\displaystyle \lbrace b_i\rbrace _{i=1}^n là các cấp số cộng, đồng thời \displaystyle \displaystyle\prod_{i=1}^n a_i = \prod_{i=1}^n b_i?
Bài 3. Tìm tất cả số nguyên dương \displaystyle n sao cho có \displaystyle n điểm \displaystyle P_1,P_2,\ldots,P_n trên đường tròn đơn vị để \displaystyle \displaystyle\sum_{i=1}^n MP_i^k là hằng số khi $M$ thuộc đường tròn đó với
a) \displaystyle k=2018.
b) \displaystyle k=2019.
Bài kiểm tra số 1 – Ngày thứ hai
Bài 4. Dãy số nguyên dương \displaystyle \{a_n\}_{n\geq 1} được gọi là tốt nếu với mỗi số nguyên dương \displaystyle m,n khác nhau ta có \displaystyle (m,n) \mid a_m^2 + a_n^2\displaystyle (a_m,a_n) \mid m^2 + n^2. Số nguyên dương \displaystyle a được gọi là \displaystyle k-tốt nếu tồn tại dãy tốt \displaystyle \{a_n\} sao cho \displaystyle a_k = a. Tồn tại hay không số nguyên dương \displaystyle k sao cho có đúng \displaystyle 2019 số nguyên dương \displaystyle k-tốt?
Bài 5. Tìm tất cả các hàm \displaystyle f:\mathbb{Q}\to\mathbb{Q} sao cho \displaystyle f(2xy + \frac{1}{2}) + f(x-y) = 4f(x)f(y) + \frac{1}{2},\quad\forall x,y\in\mathbb{Q}.
Bài 6. Cho số thực dương \displaystyle k. Hai người \displaystyle A\displaystyle B chơi một trò chơi như sau: Lúc bắt đầu, có \displaystyle 80 số \displaystyle 0 đặt trên một đường tròn. Ở mỗi lượt chơi, \displaystyle A tăng một vài số trong \displaystyle 80 số sao cho tổng các số mới tăng \displaystyle 1. Sau đó, \displaystyle B chọn \displaystyle 10 số liên tiếp có tổng lớn nhất và giảm tất cả xuống \displaystyle 0. \displaystyle A thắng nếu sau hữu hạn bước \displaystyle A thu được ít nhất một số không bé hơn \displaystyle k. Tìm tất cả \displaystyle k để \displaystyle A có thể thắng.
Bài kiểm tra số 2 – Ngày thứ nhất
Bài 1. \displaystyle AB\displaystyle AC là các tiếp tuyến của một đường \displaystyle \omega với tâm \displaystyle O tại \displaystyle B,C. Điểm \displaystyle P di động trên cung nhỏ \displaystyle BC của đường tròn. Tiếp tuyến tại \displaystyle P của \displaystyle \omega cắt \displaystyle AB,AC lần lượt tại \displaystyle D,E. \displaystyle AO cắt \displaystyle BP,CP lần lượt tại \displaystyle U,V. Đường thẳng qua \displaystyle P vuông góc với \displaystyle AB cắt \displaystyle DV tại \displaystyle M, đường thẳng qua \displaystyle P vuông góc với \displaystyle AC cắt \displaystyle EU tại \displaystyle N. Chứng minh \displaystyle MN đi qua một điểm cố định.
Bài 2. Gọi \displaystyle S là tập tất cả các bộ \displaystyle 10 số tự nhiên có tổng bằng \displaystyle 2019. Với mỗi phần tử của \displaystyle S, nếu một thành phần của nó không bé hơn \displaystyle 9, thì ta có thể thực hiện phép toán: trừ thành phần đó đi \displaystyle 9 và cộng các thành phần còn lại thêm \displaystyle 1. Với mỗi \displaystyle A,B\in S, ký hiệu \displaystyle A\rightarrow B nếu ta có thể thu được \displaystyle B từ \displaystyle A sau hữu hạn lần thực hiện phép toán.
(1) Tìm số nguyên \displaystyle k bé nhất có tính chất: nếu cả hai thành phần nhỏ nhất trong \displaystyle A,B\in S không bé hơn \displaystyle k, thì \displaystyle A\rightarrow B kéo theo \displaystyle B\rightarrow A.
(2) Với số \displaystyle k tìm được trong phần trên, có thể chọn nhiều nhất bao nhiêu phần tử của \displaystyle S sao cho với mỗi \displaystyle A,B khác nhau được chọn, \displaystyle A\not\rightarrow B?
Bài 3. Cho số nguyên dương chẵn \displaystyle n. Xét các số thực không âm \displaystyle a_1,a_2,\cdots,a_n có tổng bằng \displaystyle 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \displaystyle \displaystyle\sum_{1\le i<j\le n}\min\{(i-j)^2,(n+i-j)^2\}a_ia_j.
Bài kiểm tra số 2 – Ngày thứ hai
Bài 4. Tồn tại hay không hai tập \displaystyle A\displaystyle B các số nguyên dương thỏa mãn các điều kiện: \displaystyle A là tập hữu hạn có ít nhất hai phần tử, \displaystyle B là tập vô hạn; hai phần tử bất kỳ trong tập \displaystyle A+B:=\{a+b|a\in A,\, b\in B\} nguyên tố cùng nhau; với mỗi hai số nguyên dương \displaystyle m,n nguyên tố cùng nhau, có \displaystyle x\in A+B để \displaystyle x\equiv n \pmod m?
Bài 5. Cho \displaystyle M là trung điểm của cạnh \displaystyle BC của tam giác \displaystyle ABC. Đường tròn đường kính \displaystyle BC, ký hiệu \displaystyle \omega, cắt \displaystyle AB,AC lần hai tại \displaystyle D,E tương ứng. \displaystyle P nằm trong tam giác \displaystyle ABC sao cho \displaystyle \angle PBA=\angle PAC, \displaystyle \angle PCA=\angle PAB\displaystyle 2PM\cdot DE=BC^2. Điểm X nằm ngoài \displaystyle \omega sao cho \displaystyle XM\parallel AP\displaystyle \displaystyle\frac{XB}{XC}=\frac{AB}{AC}. Chứng minh rằng \displaystyle \angle BXC +\angle BAC=90^{\circ}.
Bài 6. Với hai số nguyên dương nguyên tố cùng nhau \displaystyle p,q>1, ta gọi mỗi số nguyên dương không có dạng \displaystyle px+qy (\displaystyle x,y\in\mathbb{N}) là xấu, và ký hiệu \displaystyle S(p,q) là tổng của tất cả các số xấu là lũy thừa của \displaystyle 2019. Chứng minh tồn tại số nguyên dương \displaystyle n sao cho \displaystyle (p-1)(q-1) chia hết \displaystyle nS(p,q) với mọi \displaystyle p,q.
Bài kiểm tra số 3 – Ngày thứ nhất
Bài 1. Cho các số phức \displaystyle x,y,z thỏa mãn \displaystyle |x|^2+|y|^2+|z|^2=1. Chứng minh rằng \displaystyle |x^3+y^3+z^3-3xyz| \le 1.
Bài 2. Cho \displaystyle S là tập các số nguyên dương sao cho với mỗi số nguyên dương \displaystyle n, \displaystyle n \in S khi và chỉ khi \displaystyle \displaystyle\sum_{d|n,d<n,d \in S} d \le n. Tìm tất cả các số nguyên dương \displaystyle n=2^k \cdot p (k\in\mathbb{N}, \displaystyle p là số nguyên tố lẻ) sao cho \displaystyle \displaystyle \sum_{d|n,d<n,d \in S} d = n.
Bài 3. Tồn tại hay không song ánh \displaystyle f:\mathbb{N}^{*} \rightarrow \mathbb{N}^{*} và số nguyên dương \displaystyle k có tính chất: có thể tô mỗi số nguyên dương bởi một trong \displaystyle k màu cho trước sao cho với mỗi hai số nguyên dương phân biệt \displaystyle x\displaystyle y, \displaystyle f(x)+y\displaystyle f(y)+x không cùng màu?
Bài kiểm tra số 3 – Ngày thứ hai
Bài 4. Tìm tất cả các hàm \displaystyle f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R} sao cho các điều kiện sau được thỏa mãn đồng thời:
1) \displaystyle f(0,x) không giảm trên \displaystyle \mathbb{R};
2) \displaystyle \forall x,y \in \mathbb{R}, \quad f(x,y)=f(y,x);
3) \displaystyle \forall x,y,z \in \mathbb{R}, \quad (f(x,y)-f(y,z))(f(y,z)-f(z,x))(f(z,x)-f(x,y))=0;
4) \displaystyle \forall x,y,a \in \mathbb{R}, \quad f(x+a,y+a)=f(x,y)+a.
Bài 5. Cho tam giác \displaystyle ABC với đường cao \displaystyle AD. Gọi \displaystyle E,F là các điểm nằm trên đường thẳng \displaystyle AB sao cho \displaystyle BD=BE=BF. Gọi \displaystyle I,J lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp và tâm đường tròn bàng tiếp đỉnh \displaystyle A của tam giác \displaystyle ABC. Chứng minh rằng tồn tại hai điểm \displaystyle P,Q trên đường tròn ngoại tiếp tam giác \displaystyle ABC thỏa mãn \displaystyle PB=QC\displaystyle \Delta PEI \sim \Delta QFJ.
Bài 6. Cho các số nguyên dương \displaystyle d \ge 3, \displaystyle r>2, \displaystyle l thỏa mãn \displaystyle 2d \le l <rd. Mỗi đỉnh của graph \displaystyle G(V,E) được gán một số nguyên dương trong \displaystyle \{1,2,\cdots,l\} sao cho với mỗi hai đỉnh kề nhau của \displaystyle G, hai số tương ứng lệch nhau không dưới \displaystyle d và không quá \displaystyle l-d. Một cách tô màu các đỉnh của graph được gọi là phù hợp nếu hai đỉnh kề nhau có màu khác nhau. Biết rằng tồn tại tập con thực sự \displaystyle A của \displaystyle V sao cho với mọi cách tô màu phù hợp \displaystyle G bằng \displaystyle r màu, và với mọi màu \displaystyle C, hoặc tất cả các số có màu \displaystyle C nằm trong \displaystyle A, hoặc không có số mang màu \displaystyle C nằm trong \displaystyle A. Chứng minh rằng có cách tô màu phù hợp \displaystyle G bằng \displaystyle r-1 màu.
Bài kiểm tra số 4 – Ngày thứ nhất
Bài 1. Cho tứ giác \displaystyle ABCD nội tiếp đường tròn \displaystyle (O). Các điểm \displaystyle M, \displaystyle N lần lượt là trung điểm của \displaystyle BC, \displaystyle CD. Các điểm \displaystyle E, \displaystyle F lần lượt nằm trên \displaystyle AB, \displaystyle AD sao cho \displaystyle EF đi qua \displaystyle O\displaystyle EO=OF. Đường thẳng \displaystyle EN cắt \displaystyle FM tại \displaystyle P. Gọi \displaystyle S là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \displaystyle PEF. Đường thẳng \displaystyle PO cắt \displaystyle AD\displaystyle BA lần lượt tại \displaystyle Q\displaystyle R. Chứng minh rằng nếu \displaystyle OSPC là một hình bình hành thì \displaystyle AQ=AR.
Bài 2. Xét các graph \displaystyle G(V,E) thỏa mãn: \displaystyle G không chứa tam giác nhưng khi bổ sung một cạnh bất kỳ sẽ chứa ít nhất một tam giác, \displaystyle |V|=2019\displaystyle |E|>2018. Tìm giá trị nhỏ nhất của \displaystyle |E|.
Bài 3. Cho \displaystyle 60 điểm nằm trong mặt phẳng sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng. Chứng minh rằng có thể chia các điểm này thành \displaystyle 20 nhóm, mỗi nhóm \displaystyle 3 điểm sao cho giao của các phần trong của các tam giác có ba đỉnh thuộc cùng một nhóm khác rỗng.
Bài kiểm tra số 4 – Ngày thứ hai
Bài 4. Cho số nguyên dương \displaystyle n. Chứng minh rằng có tập con \displaystyle A của \displaystyle \{1,2,\cdots,2^n\} sao cho \displaystyle A\displaystyle n phần tử và với mỗi hai tập con phân biệt khác rỗng của \displaystyle A, tổng các phần tử của một tập không chia hết cho tổng các phần tử của tập còn lại.
Bài 5. Tìm tất cả các số nguyên dương n có tính chất: với mỗi sáu số thực dương \displaystyle a,b,c,x,y,z thỏa mãn \displaystyle \max(a,b,c,x,y,z)=a , \displaystyle a+b+c=x+y+z\displaystyle abc=xyz, ta đều có \displaystyle a^n+b^n+c^n \ge x^n+y^n+z^n.
Bài 6. Cho hai số nguyên dương \displaystyle n,k thỏa mãn \displaystyle 2 \le n <2^k. Chứng minh rằng tồn tại tập con \displaystyle A của \displaystyle \{0,1,\cdots,n\} sao cho với mỗi hai phần tử \displaystyle x, \displaystyle y khác nhau của \displaystyle A, \displaystyle \displaystyle {y\choose x} là số nguyên chẵn và \displaystyle |A| \ge \frac{{k\choose \lfloor \frac{k}{2} \rfloor}}{2^k} \cdot (n+1).

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google photo

You are commenting using your Google account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s