Bài kiểm tra số 1 – Ngày thứ nhất
Bài 1. Cho là ngũ giác nội tiếp đường tròn tâm
và có
. Gọi
là trung điểm của
,
là trung điểm của
,
là trực tâm của tam giác
, và
là trọng tâm của tam giác
.
cắt
tại
,
cắt
tại
. Chứng minh
.
Bài 2. Cho số nguyên . Liệu có vô hạn tập
gồm các số nguyên dương sao cho
,
và
là các cấp số cộng, đồng thời
?
Bài 3. Tìm tất cả số nguyên dương sao cho có
điểm
trên đường tròn đơn vị để
là hằng số khi $M$ thuộc đường tròn đó với
a) .
b) .
Bài kiểm tra số 1 – Ngày thứ hai
Bài 4. Dãy số nguyên dương được gọi là tốt nếu với mỗi số nguyên dương
khác nhau ta có
và
Số nguyên dương
được gọi là
-tốt nếu tồn tại dãy tốt
sao cho
. Tồn tại hay không số nguyên dương
sao cho có đúng
số nguyên dương
-tốt?
Bài 5. Tìm tất cả các hàm sao cho
Bài 6. Cho số thực dương . Hai người
và
chơi một trò chơi như sau: Lúc bắt đầu, có
số
đặt trên một đường tròn. Ở mỗi lượt chơi,
tăng một vài số trong
số sao cho tổng các số mới tăng
. Sau đó,
chọn
số liên tiếp có tổng lớn nhất và giảm tất cả xuống
.
thắng nếu sau hữu hạn bước
thu được ít nhất một số không bé hơn
. Tìm tất cả
để
có thể thắng.
Bài kiểm tra số 2 – Ngày thứ nhất
Bài 1. và
là các tiếp tuyến của một đường
với tâm
tại
. Điểm
di động trên cung nhỏ
của đường tròn. Tiếp tuyến tại
của
cắt
lần lượt tại
cắt
lần lượt tại
. Đường thẳng qua
vuông góc với
cắt
tại
, đường thẳng qua
vuông góc với
cắt
tại
. Chứng minh
đi qua một điểm cố định.
Bài 2. Gọi là tập tất cả các bộ
số tự nhiên có tổng bằng
. Với mỗi phần tử của
, nếu một thành phần của nó không bé hơn
, thì ta có thể thực hiện phép toán: trừ thành phần đó đi
và cộng các thành phần còn lại thêm
. Với mỗi
, ký hiệu
nếu ta có thể thu được
từ
sau hữu hạn lần thực hiện phép toán.
(1) Tìm số nguyên bé nhất có tính chất: nếu cả hai thành phần nhỏ nhất trong
không bé hơn
, thì
kéo theo
.
(2) Với số tìm được trong phần trên, có thể chọn nhiều nhất bao nhiêu phần tử của
sao cho với mỗi
khác nhau được chọn,
?
Bài 3. Cho số nguyên dương chẵn . Xét các số thực không âm
có tổng bằng
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Bài kiểm tra số 2 – Ngày thứ hai
Bài 4. Tồn tại hay không hai tập và
các số nguyên dương thỏa mãn các điều kiện:
là tập hữu hạn có ít nhất hai phần tử,
là tập vô hạn; hai phần tử bất kỳ trong tập
nguyên tố cùng nhau; với mỗi hai số nguyên dương
nguyên tố cùng nhau, có
để
?
Bài 5. Cho là trung điểm của cạnh
của tam giác
. Đường tròn đường kính
, ký hiệu
, cắt
lần hai tại
tương ứng.
nằm trong tam giác
sao cho
và
Điểm
nằm ngoài
sao cho
và
. Chứng minh rằng
.
Bài 6. Với hai số nguyên dương nguyên tố cùng nhau , ta gọi mỗi số nguyên dương không có dạng
(
) là xấu, và ký hiệu
là tổng của tất cả các số xấu là lũy thừa của
. Chứng minh tồn tại số nguyên dương
sao cho
chia hết
với mọi
.
Bài kiểm tra số 3 – Ngày thứ nhất
Bài 1. Cho các số phức thỏa mãn
. Chứng minh rằng
Bài 2. Cho là tập các số nguyên dương sao cho với mỗi số nguyên dương
,
khi và chỉ khi
Tìm tất cả các số nguyên dương
(
,
là số nguyên tố lẻ) sao cho
Bài 3. Tồn tại hay không song ánh và số nguyên dương
có tính chất: có thể tô mỗi số nguyên dương bởi một trong
màu cho trước sao cho với mỗi hai số nguyên dương phân biệt
và
,
và
không cùng màu?
Bài kiểm tra số 3 – Ngày thứ hai
Bài 4. Tìm tất cả các hàm sao cho các điều kiện sau được thỏa mãn đồng thời:
1) không giảm trên
;
2) ;
3) ;
4) .
Bài 5. Cho tam giác với đường cao
. Gọi
là các điểm nằm trên đường thẳng
sao cho
. Gọi
lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp và tâm đường tròn bàng tiếp đỉnh
của tam giác
. Chứng minh rằng tồn tại hai điểm
trên đường tròn ngoại tiếp tam giác
thỏa mãn
và
.
Bài 6. Cho các số nguyên dương ,
,
thỏa mãn
. Mỗi đỉnh của graph
được gán một số nguyên dương trong
sao cho với mỗi hai đỉnh kề nhau của
, hai số tương ứng lệch nhau không dưới
và không quá
. Một cách tô màu các đỉnh của graph được gọi là phù hợp nếu hai đỉnh kề nhau có màu khác nhau. Biết rằng tồn tại tập con thực sự
của
sao cho với mọi cách tô màu phù hợp
bằng
màu, và với mọi màu
, hoặc tất cả các số có màu
nằm trong
, hoặc không có số mang màu
nằm trong
. Chứng minh rằng có cách tô màu phù hợp
bằng
màu.
Bài kiểm tra số 4 – Ngày thứ nhất
Bài 1. Cho tứ giác nội tiếp đường tròn
. Các điểm
,
lần lượt là trung điểm của
,
. Các điểm
,
lần lượt nằm trên
,
sao cho
đi qua
và
. Đường thẳng
cắt
tại
. Gọi
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
. Đường thẳng
cắt
và
lần lượt tại
và
. Chứng minh rằng nếu
là một hình bình hành thì
.
Bài 2. Xét các graph thỏa mãn:
không chứa tam giác nhưng khi bổ sung một cạnh bất kỳ sẽ chứa ít nhất một tam giác,
và
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
.
Bài 3. Cho điểm nằm trong mặt phẳng sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng. Chứng minh rằng có thể chia các điểm này thành
nhóm, mỗi nhóm
điểm sao cho giao của các phần trong của các tam giác có ba đỉnh thuộc cùng một nhóm khác rỗng.
Bài kiểm tra số 4 – Ngày thứ hai
Bài 4. Cho số nguyên dương . Chứng minh rằng có tập con
của
sao cho
có
phần tử và với mỗi hai tập con phân biệt khác rỗng của
, tổng các phần tử của một tập không chia hết cho tổng các phần tử của tập còn lại.
Bài 5. Tìm tất cả các số nguyên dương có tính chất: với mỗi sáu số thực dương
thỏa mãn
,
và
, ta đều có
Bài 6. Cho hai số nguyên dương thỏa mãn
. Chứng minh rằng tồn tại tập con
của
sao cho với mỗi hai phần tử
,
khác nhau của
,
là số nguyên chẵn và
Anh cảm ơn Thầy Tuân rất nhiều.
>