IMO 2019 training (1)


Chào các bạn đồng nghiệp,

đây là một số bài toán tôi dùng để luyện cho đội IMO 2019. Tuyển tập này gồm nhiều phần, đây là phần thứ nhất.

P. S. Năm nay chuẩn bị 28 bài, cuối cùng dùng có 7. Nhưng tôi vẫn cứ chia sẻ các bác nhé!


Bài 1. Cho số nguyên dương \displaystyle m. Chứng minh rằng \displaystyle \left| \sum_{n=1}^{m}\frac{\mu(n)}{n} \right| \le 1.
Bài 2. Cho số nguyên tố lẻ \displaystyle p. Chứng minh rằng nếu \displaystyle g_{1}, \cdots, g_{\varphi(p-1)} là các căn nguyên thủy \displaystyle\pmod{p} thì \displaystyle \sum_{i=1}^{\varphi(p-1)}g_{i}\equiv \mu(p-1) \pmod{p}.
Bài 3. Cho dãy số \displaystyle(a_n) thỏa mãn \displaystyle \sum_{d|n} a_d = 2^n,\quad \forall n\in\mathbb{N}^*. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương \displaystyle n, ta có \displaystyle n|a_n.
Bài 4. Cho số nguyên dương \displaystyle m. Xét dãy số \displaystyle a_1, a_2, a_3, \ldots xác định bởi \displaystyle a_1 = 1 và với mỗi \displaystyle n > 1,
\displaystyle a_n = a_{\lfloor n/2 \rfloor} + a_{\lfloor n/3 \rfloor} + \ldots + a_{\lfloor n/n \rfloor} + 1. Chứng minh rằng có vô hạn số nguyên dương \displaystyle n sao cho \displaystyle a_n \equiv n \pmod{2^{m}}.
Bài 5. Cho \displaystyle a_1,a_2,... là một dãy các số nguyên dương thỏa mãn \displaystyle (a_m,a_n)=a_{(m,n)} với mỗi hai số nguyên dương \displaystyle m,n. Chứng minh rằng tồn tại dãy các số nguyên dương \displaystyle b_1,b_2,... sao cho \displaystyle a_n=\prod_{d|n}{b_d} với mọi \displaystyle n\ge 1.
Bài 6. Với mỗi số nguyên \displaystyle n\ge 3, gọi \displaystyle \phi_n là tập tất cả các số nguyên dương không vượt quá \displaystyle n và nguyên tố cùng nhau với \displaystyle n. Xét các đa thức \displaystyle P_n(x)=\sum_{k\in\phi_n} {x^{k-1}},\quad n=3,4,5,...
a) Chứng minh \displaystyle P_n(x)=(x^{r_n}+1)Q_n(x) với một số nguyên dương \displaystyle r_n và một đa thức \displaystyle Q_n(x)\in\mathbb{Z}[x] nào đó;
b) Tìm tất cả \displaystyle n\ge 3 sao cho \displaystyle P_n(x) bất khả quy trên \displaystyle \mathbb{Z}.
Bài 7. Cho số nguyên dương \displaystyle n. Giả sử có đúng \displaystyle M số squarefree \displaystyle k sao cho \displaystyle\left\lfloor\frac nk\right\rfloor là lẻ trong \displaystyle\{ 1, 2,\ldots, n\}. Chứng minh rằng \displaystyle M là lẻ.
Bài 8. Cho \displaystyle P(x) là một đa thức khác hằng với hệ số nguyên. Chứng minh rằng không có hàm \displaystyle T:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z} sao cho số các số nguyên \displaystyle x thỏa mãn \displaystyle T^n(x)=x bằng \displaystyle P(n) với mỗi số nguyên dương \displaystyle n.

One thought on “IMO 2019 training (1)”

  1. Anh cảm ơn Thầy Tuân rất nhiều.

    Vào Th 6, 12 thg 7, 2019 vào lúc 15:26 Nguyen Trung Tuan đã viết:

    > Nguyen Trung Tuan posted: “Chào các bạn đồng nghiệp, đây là một số bài > toán tôi dùng để luyện cho đội IMO 2019. Tuyển tập này gồm nhiều phần, đây > là phần thứ nhất. P. S. Năm nay chuẩn bị 28 bài, cuối cùng dùng có 7. Nhưng > tôi vẫn cứ chia sẻ các bác nhé! Bài 1. Cho số n” >

Leave a Reply to Cao Yến Anh Cancel reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google photo

You are commenting using your Google account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s