Đề thi chọn đội tuyển IMO 2019 của Mỹ


Ngày thứ nhất
Bài 1. Cho tam giác \displaystyle ABC. Gọi \displaystyle M\displaystyle N lần lượt là trung điểm của \displaystyle AB\displaystyle AC. Gọi \displaystyle X là điểm sao cho \displaystyle AX tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác \displaystyle ABC. Ký hiệu \displaystyle \omega_B là đường tròn qua \displaystyle M, \displaystyle B và tiếp xúc với \displaystyle MX, \displaystyle \omega_C là đường tròn qua \displaystyle N, \displaystyle C và tiếp xúc với \displaystyle NX. Chứng minh rằng \displaystyle \omega_B\displaystyle \omega_C cắt nhau trên \displaystyle BC.
Bài 2. Tìm tất cả các số nguyên dương \displaystyle n sao cho tồn tại một song ánh \displaystyle g: \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} để \displaystyle 101 hàm \displaystyle g(x), \quad g(x) + x, \quad g(x) + 2x, \quad \dots, \quad g(x) + 100x là song ánh trên \displaystyle \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}.
Bài 3. Một con rắn độ dài \displaystyle k là một động vật nằm ở bộ \displaystyle (s_1, \dots, s_k) gồm \displaystyle k ô vuông con của bảng \displaystyle n \times n các ô vuông con, các ô vuông con này đôi một khác nhau, đồng thời \displaystyle s_i\displaystyle s_{i+1} có chung cạnh với mọi \displaystyle i = 1, \dots, k-1. Nếu con rắn nằm ở \displaystyle (s_1, \dots, s_k)\displaystyle s là một ô vuông con không thuộc bộ đó và có chung cạnh với \displaystyle s_1, thì nó có thể di chuyển đến \displaystyle (s, s_1, \dots, s_{k-1}). Con rắn được gọi là quay lại nếu lúc đầu nó ở vị trí \displaystyle (s_1, s_2, \dots, s_k) và sau một số hữu hạn lần di chuyển nó ở vị trí \displaystyle (s_k, s_{k-1}, \dots, s_1). Tồn tại hay không số nguyên \displaystyle n > 1 có tính chất: có thể đặt một con rắn độ dài \displaystyle 0.9n^2 trong một bảng \displaystyle n \times n sao cho nó có thể quay đầu.

Ngày thứ hai
Bài 4. Ta nói \displaystyle f: \mathbb{Z}_{\ge 0} \times \mathbb{Z}_{\ge 0} \to \mathbb{Z} là lớn nếu với mỗi số tự nhiên \displaystyle m\displaystyle n,
\displaystyle f(m + 1, n + 1) f(m, n) - f(m + 1, n) f(m, n + 1) = 1. Nếu \displaystyle A = (a_0, a_1, \dots)\displaystyle B = (b_0, b_1, \dots) là hai dãy các số nguyên, ta viết \displaystyle A \sim B nếu tồn tại hàm lớn \displaystyle f thỏa mãn \displaystyle f(n, 0) = a_n\displaystyle f(0, n) = b_n với mỗi số tự nhiên \displaystyle n. Chứng minh rằng nếu \displaystyle A, \displaystyle B, \displaystyle C, và \displaystyle D là bốn dãy thỏa mãn \displaystyle A \sim B, \displaystyle B \sim C, và \displaystyle C \sim D, thì \displaystyle D \sim A.
Bài 5. Cho \displaystyle n là một số nguyên dương. Tasty và Stacy được tặng một cái vòng với \displaystyle 3n viên sapphire và \displaystyle 3n viên lam ngọc sao cho không có ba viên liên tiếp cùng màu. Họ cùng nhau chơi một trò chơi lần lượt loại đi ba viên liên tiếp, theo các điều kiện sau:
1) Tasty phải loại ba viên liên tiếp theo thứ tự lam ngọc, sapphire, lam ngọc ở mỗi lần chơi của mình.
2) Stacy phải loại ba viên liên tiếp theo thứ tự sapphire, lam ngọc, sapphire ở mỗi lần chơi của mình.
Họ thắng nếu loại bỏ được tất cả các viên đá sau \displaystyle 2n lượt chơi. Chứng minh rằng nếu họ có thể thắng khi Tasty đi trước thì họ cũng có thể thắng khi Stacy đi trước.
Bài 6. Cho tam giác \displaystyle ABC với tâm nội tiếp \displaystyle I, và \displaystyle D là điểm trên đường thẳng \displaystyle BC thỏa mãn \displaystyle \angle AID=90^{\circ}. Đường tròn bàng tiếp đỉnh \displaystyle A của tam giác \displaystyle ABC tiếp xúc với \displaystyle BC tại \displaystyle A_1. Xác định các điểm \displaystyle B_1, \displaystyle C_1 tương tự. Chứng minh rằng nếu \displaystyle AB_1A_1C_1 nội tiếp thì \displaystyle AD tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp của tam giác \displaystyle DB_1C_1.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google photo

You are commenting using your Google account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s