Japan MO Finals 2019


Bài 1. Tìm tất cả các bộ ba các số nguyên dương \displaystyle (a,\ b,\ c) sao cho
\displaystyle a^2+b+3=(b^2-c^2)^2.
Bài 2. Cho số nguyên lẻ \displaystyle n\geq 3. Ta sẽ chơi một trò chơi trên bảng vuông \displaystyle n\times n như sau: Ở mỗi bước ta chọn một ô vuông con chưa được viết số và viết vào đó một số nguyên thuộc tập \displaystyle [n^2], mỗi số nguyên được dùng đúng một lần. Như vậy trò chơi sẽ kết thúc sau \displaystyle n^2 bước. Khi kết thúc, với mỗi ô vuông con, nếu hàng hoặc cột chứa nó có tổng các số chia hết cho \displaystyle n thì ta nhận được \displaystyle 1 điểm (nếu cả hai có tổng các số trên đó chia hết cho \displaystyle n thì ta có \displaystyle 2 điểm). Hỏi ta có thể nhận được nhiều nhất bao nhiêu điểm?
Bài 3. Tìm tất cả các hàm số \displaystyle f:(0;+\infty)\to (0;+\infty) sao cho
\displaystyle f\left(\frac{f(y)}{f(x)}+1\right)=f\left(x+\frac{y}{x}+1\right)-f(x),\quad \forall x;y\in (0;+\infty).
Bài 4. Cho tam giác \displaystyle ABC với tâm nội tiếp \displaystyle I, đường tròn nội tiếp \displaystyle w, và \displaystyle M là trung điểm của \displaystyle BC. Đường thẳng qua \displaystyle A vuông góc với \displaystyle BC cắt đường thẳng qua \displaystyle M vuông góc với \displaystyle AI tại \displaystyle K. Chứng minh rằng đường tròn đường kính \displaystyle AK tiếp xúc với \displaystyle w.
Bài 5. Một tập \displaystyle S các số nguyên dương được gọi là tốt nếu: Với mỗi ba phần tử phân biệt \displaystyle x,y,z \in S, ít nhất một trong chúng chia hết \displaystyle x+y+z. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương \displaystyle N sao cho: với mỗi tập tốt \displaystyle S, tồn tại số nguyên \displaystyle n_{s}\geq 2 sao cho có nhiều nhất \displaystyle N phần tử của \displaystyle S không là bội của \displaystyle n_s. Tìm giá trị nhỏ nhất của số \displaystyle N như thế.

One thought on “Japan MO Finals 2019”

  1. Anh cảm ơn Thầy Tuân rất nhiều. Cháu đang vô kỳ kiểm tra học kỳ Ii, khi kết thúc. Anh mong nhờ Thầy Tuân dẫn dắt Cháu môn Toán giúp Anh. Anh cảm ơn Anh Cao Yến Anh
    >

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google photo

You are commenting using your Google account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s