Đề thi chọn HSG Quốc gia của Trung Quốc năm 2019


Ngày thứ nhất
Bài 1. Xét các số thực \displaystyle a;b;c;d;e\geq -1 thỏa mãn \displaystyle a+b+c+d+e=5. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
\displaystyle S=(a+b)(b+c)(c+d)(d+e)(e+a).
Bài 2. Một tập các số nguyên dương \displaystyle \{a,b,c\} được gọi là tập Pythagorean nếu \displaystyle a,b,c là độ dài các cạnh của một tam giác vuông. Chứng minh rằng với mỗi hai tập Pythagorean \displaystyle P,Q, tồn tại số nguyên \displaystyle m\ge 2 và các tập Pythagorean \displaystyle P_1,P_2,\ldots ,P_m sao cho \displaystyle P=P_1, Q=P_m\displaystyle \forall 1\le i\le m-1, \displaystyle P_i\cap P_{i+1}\neq \emptyset.
Bài 3. Cho \displaystyle O là tâm đường tròn ngoại tiếp của \displaystyle \triangle ABC(\displaystyle AB<AC) và \displaystyle D là điểm trên phân giác của \displaystyle \angle BAC. Điểm \displaystyle E thuộc \displaystyle BC sao cho \displaystyle OE\parallel AD, \displaystyle DE\perp BC. Điểm \displaystyle K nằm trên \displaystyle EB kéo dài sao cho \displaystyle EK=EA. Đường tròn ngoại tiếp của \displaystyle \triangle ADK cắt \displaystyle BC tại \displaystyle P\neq K, và cắt đường tròn ngoại tiếp của \displaystyle \triangle ABC tại \displaystyle Q\neq A. Chứng minh rằng \displaystyle PQ tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp của \displaystyle \triangle ABC.

Ngày thứ hai
Bài 4. Cho một ellipse không phải là đường tròn.
(1) Chứng minh hình thoi ngoại tiếp ellipse có diện tích nhỏ nhất là duy nhất;
(2) Dựng hình thoi trên bằng thước và compass.
Bài 5. Cho số nguyên dương \displaystyle n và bảng vuông \displaystyle n\times n. Trên mỗi ô vuông của bảng có viết một số nguyên. Tại mỗi bước, ta chọn một ô vuông con, sau đó cộng \displaystyle 1 vào tất cả \displaystyle 2n-1 số trên hàng và cột chứa ô đó. Tìm số \displaystyle N(n) lớn nhất sao cho với mỗi cách điền số ban đầu, bằng hữu hạn lần thực hiện thao tác trên, ta thu được một bảng với ít nhất \displaystyle N(n) số chẵn.
Bài 6. Xét các điểm \displaystyle P_1, P_2,\cdots ,P_{2018} nằm trong hay trên biên của một ngũ giác đều cho trước. Tìm vị trí của các điểm đó để biểu thức \displaystyle S=\sum_{1\leq i<j\leq 2018}|P_iP_j| ^2 đạt giá trị lớn nhất.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google photo

You are commenting using your Google account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s