Đề thi chọn đội tuyển Trung Quốc tham dự IMO 2018 (China TST 2018) – Phần 2


Mời các bạn xem phần 1 ở https://nttuan.org/2018/04/02/chinatst2018-test1/


Ngày thứ nhất
Bài 1. Cho tam giác \displaystyle ABC\displaystyle D là một điểm di động trên cạnh \displaystyle BC. Điểm \displaystyle E và điểm \displaystyle F lần lượt thuộc các cạnh \displaystyle AB\displaystyle AC sao cho \displaystyle BE=CD\displaystyle CF=BD. \displaystyle (BDE)\displaystyle (CDF) cắt nhau tại hai điểm khác nhau \displaystyle P\displaystyle D. Chứng minh tồn tại điểm cố định \displaystyle Q sao cho \displaystyle QP là hằng số.
Bài 2. Với mỗi số nguyên dương \displaystyle n, \textit{một phân hoạch nguyên} của \displaystyle n là một cách viết \displaystyle n thành tổng của các số nguyên dương (không kể thứ tự), số phân hoạch nguyên của \displaystyle n ký hiệu bởi \displaystyle p\left ( n \right ). Tìm tất cả các số nguyên dương \displaystyle n sao cho
\displaystyle p\left ( n \right )+p\left ( n+4 \right )=p\left ( n+2 \right )+p\left ( n+3 \right ).
Bài 3. Cho hai số nguyên dương \displaystyle p,q. Có một cái bảng trên đó viết \displaystyle n số nguyên dương. Cho phép thực hiện phép toán sau: Chọn hai số bằng nhau \displaystyle a,a trên bảng và thay chúng bởi \displaystyle a+p,a+q. Tìm giá trị nhỏ nhất của \displaystyle n sao cho ta có thể thực hiện vô hạn lần phép toán trên.

Ngày thứ hai
Bài 4. Cho \displaystyle k, M là các số nguyên dương sao cho \displaystyle k-1 có ít nhất một ước chính phương khác \displaystyle 1. Chứng minh rằng tồn tại số thực dương \displaystyle \alpha sao cho \displaystyle \lfloor \alpha\cdot k^n \rfloor\displaystyle M nguyên tố cùng nhau với mọi số nguyên dương \displaystyle n.
Bài 5. Cho các số nguyên dương \displaystyle n, k sao cho \displaystyle n\ge 4k tìm giá trị nhỏ nhất \displaystyle \lambda=\lambda(n,k) sao cho với các số thực dương \displaystyle a_1,a_2,\ldots,a_n bất kỳ, ta có
\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{n} {\frac{{a}_{i}}{\sqrt{{a}_{i}^{2}+{a}_{{i}+{1}}^{2}+{\cdots}{{+}}{a}_{{i}{+}{k}}^{2}}}} \le \lambda. Ở đây \displaystyle a_{n+i}=a_i với mọi \displaystyle i=1,2,\ldots,k.
Bài 6. Cho \displaystyle M,a,b,r là các số tự nhiên sao cho \displaystyle a,r\ge 2. Giả sử có hàm số \displaystyle f:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z} có các tính chất:
(1) Với mỗi \displaystyle n\in \mathbb{Z}, \displaystyle f^{(r)}(n)=an+b, ở đây \displaystyle f^{(r)}=f(f(...f(.)...)) (\displaystyle r chữ \displaystyle f).
(2) Với mỗi \displaystyle n\ge M, \displaystyle f(n)\ge 0.
(3) Với mỗi \displaystyle n>m>M, \displaystyle n-m|f(n)-f(m).
Chứng minh rằng \displaystyle a là lũy thừa bậc \displaystyle r của một số nguyên.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s