Đề thi chọn đội tuyển Trung Quốc tham dự IMO 2018 (China TST 2018) – Phần 1


Ngày thứ nhất
Bài 1. Cho \displaystyle p;q là các số thực dương có tổng bằng \displaystyle 1. Chứng minh rằng với mỗi bộ \displaystyle n số thực \displaystyle (y_1,y_2,...,y_n), tồn tại bộ \displaystyle n số thực \displaystyle (x_1,x_2,...,x_n) sao cho \displaystyle p\cdot \max\{x_i,x_{i+1}\} + q\cdot \min\{x_i,x_{i+1}\} = y_i với mỗi \displaystyle i=1,2,...,2017, ở đây \displaystyle x_{2018}=x_1.
Bài 2. Một số nguyên dương \displaystyle n được gọi là tốt nếu \displaystyle 2018| d(n). Tìm tất cả các số nguyên dương \displaystyle k sao cho tồn tại cấp số cộng vô hạn có công sai \displaystyle k và mọi số hạng của nó là tốt.
Bài 3. Đường tròn \displaystyle \omega tiếp xúc với các cạnh \displaystyle AB, \displaystyle AC của tam giác \displaystyle ABC tại \displaystyle D, \displaystyle E tương ứng, sao cho \displaystyle D\neq B, \displaystyle E\neq C\displaystyle BD+CE<BC. \displaystyle F, \displaystyle G nằm trên \displaystyle BC sao cho \displaystyle BF=BD, \displaystyle CG=CE. \displaystyle DG cắt \displaystyle EF tại \displaystyle K. \displaystyle L nằm trên cung nhỏ \displaystyle DE của \displaystyle \omega sao cho tiếp tuyến tại \displaystyle L của \displaystyle \omega song song với \displaystyle BC. Chứng minh rằng tâm nội tiếp của \displaystyle \triangle ABC nằm trên \displaystyle KL.

Ngày thứ hai
Bài 4. Cho hai hàm số \displaystyle f,g:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z} thỏa mãn \displaystyle f(g(x)+y)=g(f(y)+x),\quad\forall x,y\in\mathbb{Z}\displaystyle f bị chặn. Chứng minh rằng \displaystyle g là tuần hoàn.
Bài 5. Cho số nguyên dương \displaystyle k. Ta gọi một số nguyên dương \displaystyle n là tốt nếu trong dãy \displaystyle \binom{n}{0},\binom{n}{1},\binom{n}{2},...,\binom{n}{n} có ít nhất \displaystyle 0.99n số chia hết cho \displaystyle k. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương \displaystyle N sao cho trong dãy \displaystyle 1,2,...,N có ít nhất \displaystyle 0.99N số tốt.
Bài 6. Cho hai số nguyên dương \displaystyle m,n\displaystyle m tập con \displaystyle A_1, \displaystyle A_2, \displaystyle \cdots, \displaystyle A_m của một tập có \displaystyle n phần tử. Chứng minh rằng \displaystyle \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{m}|A_i|\cdot |A_i \cap A_j|\geq \frac{1}{mn}\left(\sum_{i=1}^{m}|A_i|\right)^3.

One thought on “Đề thi chọn đội tuyển Trung Quốc tham dự IMO 2018 (China TST 2018) – Phần 1”

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s