Đề thi chọn đội tuyển Trung Quốc tham dự IMO 2017 (China TST 2017) – Phần 5


Các bạn có thể xem phần 4 tại https://nttuan.org/2018/03/07/chinatst2017-test4/

Ngày thứ nhất
Bài 1. Cho số nguyên \displaystyle n\ge 3. Xét dãy \displaystyle a_1,a_2,...,a_n, nếu \displaystyle (a_i,a_j,a_k) thỏa mãn \displaystyle i+k=2j\, (i<j<k)\displaystyle a_i+a_k\ne 2a_j ta nói nó là tốt. Nếu một dãy chứa ít nhất một bộ ba tốt thì nó chứa ít nhất bao nhiêu bộ ba tốt?
Bài 2. Tìm số nguyên dương \displaystyle m nhỏ nhất có tính chất: với mỗi đa thức \displaystyle f(x) với hệ số thực, tồn tại đa thức \displaystyle g(x) với hệ số thực có bậc không lớn hơn $m$ sao cho tồn tại \displaystyle 2017 số khác nhau \displaystyle a_1,a_2,...,a_{2017} thỏa mãn \displaystyle g(a_i)=f(a_{i+1}) với mọi \displaystyle i=1,2,...,2017. Ở đây chỉ số lấy theo modulo \displaystyle 2017.
Bài 3. Với một điểm hữu tỷ \displaystyle (x,y), nếu \displaystyle xy là số nguyên chia hết cho \displaystyle 2 nhưng không chia hết cho \displaystyle 3 ta tô nó màu đỏ, nếu \displaystyle xy là số nguyên chia hết cho \displaystyle 3 nhưng không chia hết cho \displaystyle 2 ta tô nó màu xanh. Tồn tại hay không một đoạn thẳng chứa đúng \displaystyle 2017 điểm xanh và đúng \displaystyle 58 điểm đỏ?

Ngày thứ hai
Bài 4. Cho một đường tròn bán kính \displaystyle 1, hai điểm \displaystyle C, D trên nó và hằng số \displaystyle l thỏa mãn \displaystyle 0<l\le 2. Một dây \displaystyle AB dài \displaystyle 1 của đường tròn di chuyển sao cho \displaystyle ABCD là tứ giác lồi. \displaystyle AC\displaystyle BD cắt nhau tại \displaystyle P. Tìm tập hợp tâm các đường tròn \displaystyle (ABP)\displaystyle (BCP.)
Bài 5. Cho \displaystyle A(x,y), B(x,y),\displaystyle C(x,y) là ba đa thức thuần nhất với hệ số thực và có bậc lần lượt là \displaystyle 2, 3,\displaystyle 4. Biết rằng tồn tại đa thức \displaystyle R(x,y) với hệ số thực sao cho \displaystyle B(x,y)^2-4A(x,y)C(x,y)=-R(x,y)^2. Chứng minh rằng tồn tại hai đa thức \displaystyle F(x,y,z)\displaystyle G(x,y,z) sao cho \displaystyle F(x,y,z)^2+G(x,y,z)^2=A(x,y)z^2+B(x,y)z+C(x,y) với mỗi \displaystyle x, y, z là các số thực thỏa mãn \displaystyle A(x,y)z^2+B(x,y)z+C(x,y)\ge 0.
Bài 6. Một graph với \displaystyle n đỉnh được gọi là \displaystyle k-tốt nếu nó thỏa mãn đồng thời các điều kiện:
1) Có thể đặt \displaystyle 1 quân xe lên mỗi đỉnh sao cho hai quân xe kề nhau có màu khác nhau.
2) Tồn tại chu trình Hamilton \displaystyle v_1,v_2,\cdots,v_n sao cho sau khi di chuyển quân xe trên \displaystyle v_i sang \displaystyle v_{i+1} với mọi \displaystyle i thì hai quân xe bất kỳ kề nhau vẫncó màu khác nhau.
3) Sau hữu hạn lần thực hiện thao tác 2), mỗi quân xe có thể đến mỗi đỉnh.
Gọi \displaystyle T(G) là số \displaystyle k bé nhất để \displaystyle G\displaystyle k-tốt. Nếu \displaystyle k như thế không tồn tại thì ta đặt \displaystyle T(G)=0. Ký hiệu \displaystyle \chi (G) là sắc số của \displaystyle G. Tìm tất cả các số nguyên dương \displaystyle m sao cho tồn tại graph \displaystyle G với \displaystyle \chi (G)\le m, \displaystyle T(G)\ge 2^m và không có chu trình có độ dài nhỏ hơn \displaystyle 2017.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s