Đề thi chọn HSG Quốc gia của Trung Quốc năm 2018 (China MO 2018)


Ngày thứ nhất

Bài 1. Cho số nguyên dương \displaystyle n. Gọi \displaystyle A_n là tập các số nguyên tố \displaystyle p sao cho tồn tại các số nguyên dương \displaystyle a,b thỏa mãn \displaystyle \dfrac{a+b}{p}\displaystyle \dfrac{a^n + b^n}{p^2} là các số nguyên nguyên tố cùng nhau với \displaystyle p. Nếu \displaystyle A_n hữu hạn, gọi \displaystyle f(n) là số phần tử của nó.
a) Chứng minh \displaystyle A_n hữu hạn khi và chỉ khi \displaystyle n \not = 2.
b) Cho \displaystyle m,k là các số nguyên dương lẻ và \displaystyle d=(m,k). Chứng minh
\displaystyle f(d) \leq f(k) + f(m) - f(km) \leq 2 f(d).
Bài 2. Cho \displaystyle n, \displaystyle k là các số nguyên dương và tập
\displaystyle T = \{ (x,y,z) \in \mathbb{N}^3 \mid 1 \leq x,y,z \leq n \}.
Biết \displaystyle 3n^2 - 3n + 1 + k điểm của \displaystyle T được tô đỏ sao cho nếu \displaystyle P, \displaystyle Q là các điểm đỏ và \displaystyle PQ song song với một trong các trục thì tất cả các điểm thuộc PQ đều được tô đỏ. Chứng minh tồn tại ít nhất k hình lập phương đơn vị mà tất cả các đỉnh của chúng đều mang màu đỏ.
Bài 3. Cho \displaystyle q là số nguyên dương không phải là lập phương của một số nguyên. Chứng minh tồn tại hằng số dương \displaystyle C sao cho với mỗi số nguyên dương \displaystyle n, ta có \displaystyle \{ nq^{\frac{1}{3}} \} + \{ nq^{\frac{2}{3}} \} \geq Cn^{-\frac{1}{2}}.

Ngày thứ hai

Bài 4. Cho ABCD là một tứ giác nội tiếp với P là giao điểm của hai đường chéo. (APD) cắt đoạn AB tại AE. (BPC) cắt đoạn AB tại BF. Gọi I, J lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp của các tam giác ADEBCF. Các đoạn IJAC cắt nhau tại K. Chứng minh các điểm A, I, K, E cùng nằm trên một đường tròn.
Bài 5. Cho n \geq 3 là một số lẻ và giả sử rằng mỗi ô của bảng ô vuông n \times n đã được tô bởi một trong hai màu đen hoặc trắng. Hai ô vuông được gọi là kề nhau nếu chúng có cùng màu và chung một đỉnh. Hai ô vuông a,b được gọi là liên thông nếu tồn tại một dãy ô c_1,\ldots,c_k sao cho c_1 = a, c_k = bc_i, c_{i+1} là kề nhau với mọi i=1,2,\ldots,k-1. Tìm số M lớn nhất sao cho tồn tại một cách tô màu có M ô vuông đôi một liên thông.
Bài 6. Cho các số nguyên dương n, k thỏa mãn n>ka_1,a_2,\cdots ,a_n\in (k-1,k). Xét các số thực dương x_1,x_2,\cdots ,x_n có tính chất: Với mỗi \mathbb{I} \subseteq \{1,2,\cdots,n\}, |\mathbb{I} |=k, ta có \displaystyle\sum_{i\in \mathbb{I} }x_i\le \sum_{i\in \mathbb{I} }a_i. Tìm giá trị lớn nhất của x_1x_2\cdots x_n.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s