IMO 2016 Shortlist – Geometry


Các bạn có thể xem các phần trước ở các link dưới đây:
https://nttuan.org/2017/07/21/imo-2016-shortlist-number-theory/
https://nttuan.org/2017/07/20/imo-2016-shortlist-algebra/
https://nttuan.org/2017/07/23/imo-2016-shortlist-combinatorics/
——–
G1. Cho tam giác BCF vuông tại B. Gọi A là một điểm trên đường thẳng CF sao cho FA=FBF nằm giữa A,C. Lấy D sao cho DA=DCAC là phân giác của \angle{DAB}. Điểm E được chọn sao cho EA=EDAD là phân giác của \angle{EAC}. Gọi M là trung điểm của CF. Gọi X là điểm sao cho AMXE là hình bình hành. Chứng minh BD,FXME đồng quy.
G2. Cho tam giác ABC với đường tròn ngoại tiếp \Gamma, tâm nội tiếp I. Gọi M là trung điểm của BC. Các điểm D, E, F lần lượt nằm trên các cạnh BC, CA, AB sao cho ID \perp BC, IE\perp AI, IF\perp AI. Biết (AEF) cắt \Gamma tại hai điểm phân biệt XA. Chứng minh XDAM cắt nhau trên \Gamma.
G3. Cho B = (-1, 0)C = (1, 0). Một tập con S khác rỗng và bị chặn của mặt phẳng được gọi là tốt nếu
\text{(i)}T trong S sao cho với mỗi Q trong S, đoạn TQ nằm trong S; và
\text{(ii)} với mỗi tam giác P_1P_2P_3, tồn tại duy nhất A trong S và hoán vị \sigma của \{1, 2, 3\} để ABCP_{\sigma(1)}P_{\sigma(2)}P_{\sigma(3)} đồng dạng.
Chứng minh tồn tại hai tập con tốt khác nhau SS' của \{(x, y) : x \geq 0, y \geq 0\} thỏa mãn: nếu A \in SA' \in S' là các điểm tồn tại duy nhất trong \text{(ii)}, thì BA \cdot BA' là hằng số không phụ thuộc tam giác P_1P_2P_3.
G4. Cho tam giác ABC với AB = AC \neq BC và tâm nội tiếp I. BI cắt AC tại D, và đường thẳng qua D vuông góc với AC cắt AI tại E. Chứng minh điểm đối xứng với I qua AC nằm trên (BDE).
G5. Gọi D là hình chiếu vuông góc của A trên đường thẳng Euler của tam giác nhọn ABC. Một đường tròn \omega có tâm S qua A, D, và cắt các cạnh AB, AC tại X, Y tương ứng. Gọi P là chân đường cao qua A của tam giác ABC, và M là trung điểm của BC. Chứng minh tâm của (XSY) cách đều PM.
G6. Cho tứ giác lồi ABCD với \angle ABC = \angle ADC < 90^{\circ}. Các phân giác trong của các góc \angle ABC\angle ADC cắt AC lần lượt tại EF, và cắt nhau tại P. Gọi M là trung điểm của AC\omega là đường tròn ngoại tiếp tam giác BPD. Các đoạn BM, DM cắt \omega lần hai tại X, Y tương ứng. Gọi Q là giao điểm của XEYF. Chứng minh PQ \perp AC.
G7. Cho I là tâm nội tiếp của tam giác không đều ABC. Gọi I_A là tâm đường tròn bàng tiếp đỉnh A của tam giác ABC, I'_A là điểm đối xứng với I_A qua BC, l_A là đường thẳng đối xứng với AI'_A qua AI. Xác định I_B, I'_Bl_B tương tự. Gọi P là giao điểm của l_Al_B.
(1) Chứng minh P nằm trên OI, ở đây O là tâm của (ABC).
(2) Cho một trong các tiếp tuyến qua P của đường tròn nội tiếp của tam giác ABC cắt (ABC) tại X, Y. Chứng minh \angle XIY = 120^{\circ}.
G8. Gọi A_1, B_1C_1 là các điểm trên các cạnh BC, CAAB của tam giác nhọn ABC tương ứng, sao cho AA_1, BB_1CC_1 là các phân giác trong của tam giác ABC. Gọi I là tâm nội tiếp của tam giác ABCH là trực tâm của tam giác A_1B_1C_1. Chứng minh AH + BH + CH \geq AI + BI + CI.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s