IMO 2016 Shortlist – Geometry


Các bạn có thể xem các phần trước ở các link dưới đây:
https://nttuan.org/2017/07/21/imo-2016-shortlist-number-theory/
https://nttuan.org/2017/07/20/imo-2016-shortlist-algebra/
https://nttuan.org/2017/07/23/imo-2016-shortlist-combinatorics/
——–
G1. Cho tam giác BCF vuông tại B. Gọi A là một điểm trên đường thẳng CF sao cho FA=FBF nằm giữa A,C. Lấy D sao cho DA=DCAC là phân giác của \angle{DAB}. Điểm E được chọn sao cho EA=EDAD là phân giác của \angle{EAC}. Gọi M là trung điểm của CF. Gọi X là điểm sao cho AMXE là hình bình hành. Chứng minh BD,FXME đồng quy.
G2. Cho tam giác ABC với đường tròn ngoại tiếp \Gamma, tâm nội tiếp I. Gọi M là trung điểm của BC. Các điểm D, E, F lần lượt nằm trên các cạnh BC, CA, AB sao cho ID \perp BC, IE\perp AI, IF\perp AI. Biết (AEF) cắt \Gamma tại hai điểm phân biệt XA. Chứng minh XDAM cắt nhau trên \Gamma.
G3. Cho B = (-1, 0)C = (1, 0). Một tập con S khác rỗng và bị chặn của mặt phẳng được gọi là tốt nếu
\text{(i)}T trong S sao cho với mỗi Q trong S, đoạn TQ nằm trong S; và
\text{(ii)} với mỗi tam giác P_1P_2P_3, tồn tại duy nhất A trong S và hoán vị \sigma của \{1, 2, 3\} để ABCP_{\sigma(1)}P_{\sigma(2)}P_{\sigma(3)} đồng dạng.
Chứng minh tồn tại hai tập con tốt khác nhau SS' của \{(x, y) : x \geq 0, y \geq 0\} thỏa mãn: nếu A \in SA' \in S' là các điểm tồn tại duy nhất trong \text{(ii)}, thì BA \cdot BA' là hằng số không phụ thuộc tam giác P_1P_2P_3. Continue reading “IMO 2016 Shortlist – Geometry”