IMO 2016 Shortlist – Algebra


A1. Cho \displaystyle a,b,c là các số thực dương thỏa mãn \displaystyle \min\{ab,bc,ca\}\geq 1. Chứng minh rằng
\displaystyle \sqrt[3]{(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)}\leq \left(\frac{a+b+c}{3}\right)^2+1.
A2. Tìm hằng số thực \displaystyle C nhỏ nhất sao cho: Với mỗi \displaystyle 5 số thực dương (không cần phân biệt) \displaystyle a_1, \displaystyle a_2, \displaystyle a_3, \displaystyle a_4\displaystyle a_5, tồn tại các chỉ số \displaystyle i, \displaystyle j, \displaystyle k\displaystyle l đôi một khác nhau để \displaystyle \left|\frac{a_i}{a_j}-\frac{a_k}{a_l}\right|\leq C.
A3. Tìm tất cả các số nguyên \displaystyle n>2 có tính chất: với mỗi \displaystyle 2n số thực \displaystyle a_1, \displaystyle a_2,\cdots, \displaystyle a_n; \displaystyle b_1, \displaystyle b_2,\cdots, \displaystyle b_n thỏa mãn \displaystyle |a_k|+|b_k|=1\,\forall k=1,2,\cdots,n, tồn tại \displaystyle n số \displaystyle x_1,x_2,\cdots,x_n\in\{-1;1\} sao cho \displaystyle \left|\sum_{k=1}^nx_ka_k\right|+\left|\sum_{k=1}^nx_kb_k\right|\leq 1.
A4. Tìm tất cả các hàm số \displaystyle f:(0;+\infty)\to (0;+\infty) sao cho
\displaystyle xf(x^2)f(f(y))+f(yf(x))=f(xy)(f(f(x^2))+f(f(y^2))),\quad \forall x,y\in (0;+\infty).
A5.
(a) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương \displaystyle n, tồn tại phân số \displaystyle a/b thỏa mãn \displaystyle 0<b\leq 1+\sqrt{n}\displaystyle \sqrt{n}\leq\dfrac{a}{b}\leq\sqrt{n+1}.
(b) Chứng minh rằng có vô hạn số nguyên dương \displaystyle n sao cho không tồn tại phân số \displaystyle a/b thỏa mãn \displaystyle 0<b\leq\sqrt{n}\displaystyle \sqrt{n}\leq\dfrac{a}{b}\leq\sqrt{n+1}.
A6. Người ta viết lên bảng phương trình:
\displaystyle (x-1)(x-2)(x-3)...(x-2016)=(x-1)(x-2)(x-3)...(x-2016) với \displaystyle 2016 nhân tử bậc nhất ở mỗi vế. Hãy tìm số nguyên dương \displaystyle k nhỏ nhất để có thể xóa đi \displaystyle k nhân tử trong số \displaystyle 4032 nhân tử nêu trên sao cho mỗi vế còn ít nhất một nhân tử và phương trình thu được không có nghiệm thực.
A7. Tìm tất cả các hàm số \displaystyle f:\mathbb{R}\to \mathbb{R} sao cho \displaystyle f(0)\not=0
\displaystyle f(x+y)^2=2f(x)f(y)+\max\{f(x^2)+f(y^2),f(x^2+y^2)\},\quad \forall x,y\in \mathbb{R}.
A8. Tìm số thực \displaystyle a lớn nhất sao cho với mỗi số nguyên dương \displaystyle n và mỗi \displaystyle n+1 số thực \displaystyle x_0,x_1,\cdots,x_n thỏa mãn \displaystyle 0=x_0<x_1<\cdots< x_n, ta đều có
\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{x_{i+1}-x_i}\geq a\sum_{k=1}^n\frac{k+1}{x_k}.

3 thoughts on “IMO 2016 Shortlist – Algebra”

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s