IMO 2017 – Day 1


Bài 1. Với số nguyên a_0 > 1, xác định dãy (a_n)_{n\geq 0} bởi
a_{n+1} =\begin{cases}\sqrt{a_n},\quad \sqrt{a_n}\in\mathbb{Z}\\ a_n + 3,\quad \sqrt{a_n}\not\in\mathbb{Z}\end{cases}\forall n\geq 0. Tìm tất cả a_0 để tồn tại A thỏa mãn a_n = A với vô hạn n.
Bài 2. Tìm tất cả các hàm f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} thỏa mãn
f(f(x)f(y)) + f(x+y) = f(xy),\quad \forall x,y\in \mathbb{R}.

Bài 3. Một thợ săn và một con thỏ tàng hình chơi một trò chơi trên mặt phẳng. Con thỏ bắt đầu tại điểm A_0 và người thợ săn bắt đầu tại B_0, hai điểm này trùng nhau. Sau n-1 lượt chơi, con thỏ ở tại điểm A_{n-1} và người thợ săn ở tại điểm B_{n-1}. Ở lượt thứ n, trò chơi được chơi theo các bước sau:
1) Con thỏ di chuyển tàng hình đến điểm A_n sao cho A_{n-1}A_n=1.
2) Thiết bị theo dõi báo một điểm P_n cho người thợ săn thỏa mãn P_nA_n\leq 1.
3) Người thợ săn di chuyển (không được tàng hình) đến một điểm B_n sao cho B_{n-1}B_n=1.
Liệu người thợ săn có thể chọn được cách di chuyển sao cho sau 10^9 lượt chơi, khoảng cách giữa con thỏ và người thợ săn không vượt quá 100, với mọi cách di chuyển của con thỏ và mọi cách báo điểm của thiết bị?

1 thought on “IMO 2017 – Day 1”

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s