IMO 2017 – Day 2


Day 1 https://nttuan.org/2017/07/19/imo-2017-day-1/

—-

Bài 4. Cho R,S là hai điểm phân biệt trên đường tròn \Omega sao cho RS không phải đường kính. Gọi l là tiếp tuyến của \Omega tại R. Lấy T sao cho S là trung điểm của đoạn thẳng RT. Lấy J trên cung nhỏ RS của \Omega sao cho (JST) cắt l tại hai điểm phân biệt. Gọi A là giao điểm gần R nhất của l(JST). AJ cắt lại \Omega tại K. Chứng minh KT tiếp xúc với (JST).
Bài 5. Cho số nguyên N>1. Có N(N+1) cầu thủ bóng đá với chiều cao đôi một khác nhau đứng thành một hàng ngang. Ngài Alex muốn đưa N(N-1) cầu thủ ra khỏi hàng sao cho ở hàng ngang mới nhận được, N điều kiện sau được thỏa mãn đồng thời:
(1) Không có cầu thủ nào đứng giữa hai cầu thủ cao nhất.
(2) Không có cầu thủ nào đứng giữa cầu thủ cao thứ ba và cao thứ tư.
\cdots\cdots\cdots
(N) Không có cầu thủ nào đứng giữa hai cầu thủ thấp nhất.
Chứng minh ngài Alex luôn có thể làm được điều đó. Continue reading “IMO 2017 – Day 2”