Bulgaria MO 2016


Ngày thứ nhất
Bài 1. Tìm tất cả các số nguyên dương \displaystyle m\displaystyle n sao cho \displaystyle (2^{2^{n}}+1)(2^{2^{m}}+1) chia hết cho \displaystyle m\cdot n .
Bài 2. Trong một cuộc thi toán có \displaystyle n học sinh tham gia, mỗi học sinh phải giải \displaystyle 6 bài toán, mỗi bài toán có \displaystyle 3 câu trả lời. Sau khi chấm bài, ban tổ chức thấy rằng với mỗi hai học sinh, số bài toán mà họ có cùng câu trả lời là \displaystyle 0 hoặc \displaystyle 2. Tìm giá trị lớn nhất của \displaystyle n.
Bài 3. Cho các số thực dương a,b,c,d. Chứng minh rằng
\displaystyle \frac {a+\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc}+\sqrt[4]{abcd}}{4} \leq \sqrt[4]{a.\frac{a+b}{2}.\frac{a+b+c}{3}.\frac{a+b+c+d}{4}}.

Ngày thứ hai
Bài 4. Tồn tại hay không số nguyên dương \displaystyle n<10^9 thỏa mãn: \displaystyle n có thể biểu diễn thành tổng bình phương của ba số nguyên dương theo nhiều hơn \displaystyle 1000 cách?
Bài 5. Cho tam giác \displaystyle {ABC} cân tại \displaystyle C. \displaystyle D nằm trên phần kéo dài của \displaystyle AC về phía \displaystyle C sao cho \displaystyle AC>CD. Phân giác của \displaystyle \angle BCD cắt \displaystyle BD tại \displaystyle N\displaystyle M là trung điểm của \displaystyle BD. Tiếp tuyến tại \displaystyle M của \displaystyle (AMD) cắt cạnh \displaystyle BC tại \displaystyle P. Chứng minh rằng \displaystyle A,P,M\displaystyle N cùng nằm trên một đường tròn.
Bài 6. Cho số nguyên dương \displaystyle n. Một hình vuông \displaystyle A có cạnh \displaystyle n được chia thành \displaystyle n^2 ô vuông đơn vị theo cách thông thường. Tất cả các ô đơn vị được tô bởi một trong \displaystyle n màu sao cho mỗi màu dùng đúng \displaystyle n lần. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương \displaystyle N sao cho với mỗi \displaystyle n>N, tồn tại hình vuông \displaystyle B thỏa mãn đồng thời các điều kiện:
(a) Cạnh của \displaystyle B có độ dài \displaystyle \sqrt{n};
(b) Các cạnh của \displaystyle B cùng phương với các cạnh của \displaystyle A;
(c) \displaystyle B chứa \displaystyle 4 hình vuông đơn vị có màu khác nhau.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s